معادلات ماکسول و امواج تخت یکنواخت

۱. ایدهٔ اصلی

چهار معادلهٔ ماکسول نظریهٔ میدان کامل و خودسازگارِ الکترومغناطیس کلاسیک هستند: این معادلات به‌همراه نیروی لورنتس و روابط ساختاری، هر پدیدهٔ الکتریکی و مغناطیسی را از DC تا اپتیک تعیین می‌کنند. دو تای آن‌ها دینامیکی هستند — یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان یک میدان الکتریکی چرخشی را تولید می‌کند (فارادی)، و یک میدان الکتریکی متغیر با زمان، یعنی جریان جابه‌جایی، یک میدان مغناطیسی چرخشی را تولید می‌کند (آمپر–ماکسول). دقیقاً همین جفت‌شدگی متقابل است که به میدان‌ها اجازه می‌دهد از منابع خود جدا شوند و به‌صورت امواج الکترومغناطیسی منتشر شوند. موج تخت یکنواخت — که در آن میدان‌ها روی هر صفحهٔ عمود بر راستای انتشار یکنواخت‌اند — بلوک سازندهٔ بنیادی این تابش و جواب متعارف معادلهٔ موج بدون منبع است.

۲. معادلات کلیدی

معادلات ماکسول (فرم نقطه‌ای، محیط عمومی):

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$

با روابط ساختاری $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$، $\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$، $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$. فرم‌های انتگرالی (قضایای استوکس / دیورژانس):

$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}, \qquad \oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{enc} + \frac{d}{dt}\int_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.$

معادلهٔ موج / هلمهولتز (بدون منبع، بی‌اتلاف، فِیزور $e^{j\omega t}$):

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2\mathbf{E} = 0, \qquad k = \beta = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}.$

موج تخت یکنواخت که در راستای $+z$ منتشر می‌شود و $\mathbf{E}$ در امتداد $\hat{x}$ است:

$\mathbf{E} = \hat{x}\,E_0\,e^{-j\beta z}, \qquad \mathbf{H} = \hat{y}\,\frac{E_0}{\eta}\,e^{-j\beta z}, \qquad \eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.$

$\mathbf{E}$، $\mathbf{H}$ و راستای انتشار $\hat{k}$ یک سه‌گانهٔ متعامد راست‌گرد تشکیل می‌دهند: $\hat{k}\times\mathbf{E} = \eta\mathbf{H}$ و $\hat{k}\cdot\mathbf{E} = \hat{k}\cdot\mathbf{H} = 0$ (یک موج TEM).

۳. روش

(الف) میدان القایی از یک منبع متغیر (مسیر تقارن). هنگامی که به $\mathbf{E}$ (یا $\mathbf{H}$) تولیدشده توسط یک میدان متغیر با زمان نیاز دارید:

۱. تقارن را تشخیص دهید و یک حلقهٔ فارادی/آمپری انتخاب کنید که روی آن اندازهٔ میدان ثابت و مماسی باشد. ۲. شار محصورشده $\Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$ (یا $\int\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}$) را با استفاده از میدان داخلی یکنواخت معلوم بنویسید. ۳. $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\,d\Phi/dt$ را اعمال کنید، برای میدان حل کنید، و وابستگی زمانی داده‌شده را در آخر مشتق بگیرید.

(ب) مسائل موج تخت (مسیر فیزوری).

۱. $\varepsilon,\mu,\sigma$ را فهرست کنید؛ گذردهی مختلط $\varepsilon_c = \varepsilon\left(1 - j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)$ و تانژانت اتلاف $\tan\delta = \sigma/\omega\varepsilon$ را تشکیل دهید. ۲. $\gamma = \alpha + j\beta = j\omega\sqrt{\mu\varepsilon_c}$ و $\eta = \sqrt{\mu/\varepsilon_c}$ را به دست آورید (هر دو در حالت اتلافی مختلط‌اند). ۳. $\mathbf{E}(z) = \hat{x}\,E_0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$ را بنویسید؛ $\mathbf{H}$ را از $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E}$ به دست آورید. ۴. $u_p=\omega/\beta$، $\lambda=2\pi/\beta$، عمق پوستی $\delta_s = 1/\alpha$ و $\mathbf{S}_{avg}=\tfrac{1}{2}\mathrm{Re}(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^{*})$ را استخراج کنید.

۴. مثال کوچک حل‌شده

یک موج تخت یکنواخت $1\ \text{GHz}$ در راستای $+z$ در یک دی‌الکتریک بی‌اتلاف با $\varepsilon_r = 4$، $\mu_r = 1$ منتشر می‌شود؛ دامنهٔ میدان الکتریکی آن $E_0 = 6\ \text{V/m}$ است (قطبش در امتداد $\hat{x}$). مقادیر $\eta$، $\beta$، $\lambda$ و چگالی توان میانگین را بیابید.

امپدانس ذاتی:

$\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} = \frac{120\pi}{2} = 60\pi \approx 188\ \Omega.$

ثابت فاز و طول موج، با استفاده از $u_p = c/\sqrt{\varepsilon_r} = 1.5\times10^{8}$ m/s:

$\beta = \frac{\omega}{u_p} = \frac{2\pi(10^{9})}{1.5\times10^{8}} \approx 41.9\ \text{rad/m}, \qquad \lambda = \frac{2\pi}{\beta} \approx 0.15\ \text{m}.$

دامنهٔ میدان مغناطیسی و شار پوینتینگ میانگین:

$H_0 = \frac{E_0}{\eta} = \frac{6}{60\pi} \approx 31.8\ \text{mA/m}, \qquad S_{avg} = \frac{|E_0|^{2}}{2\eta} = \frac{36}{120\pi} \approx 95.5\ \text{mW/m}^{2}\ \hat{z}.$

۵. حالت‌ها و موارد خاص

• دی‌الکتریک خوب ($\tan\delta \ll 1$): $\alpha \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\mu/\varepsilon}$، $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ — تضعیف ضعیف، $\eta$ تقریباً حقیقی.
• رسانای خوب ($\sigma \gg \omega\varepsilon$): $\alpha = \beta = \sqrt{\pi f\mu\sigma}$، عمق پوستی $\delta_s = 1/\alpha = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}$، و $\eta = \sqrt{\omega\mu/\sigma}\,\angle 45^\circ$، بنابراین $\mathbf{H}$ به اندازهٔ $45^\circ$ از $\mathbf{E}$ عقب می‌افتد.
• حد فارادی (شبه‌ایستا): از جریان جابه‌جایی صرف‌نظر می‌کنیم؛ یک $\mathbf{B}$ متغیر با زمان همچنان یک $\mathbf{E}$ سمتی درون هندسه‌های متقارن القا می‌کند (داخل یک سلونوئید بلند، بین صفحات خازن) — کارمایهٔ اصلی ترانسفورماتورها و القا.
• قطبش: برهم‌نهی دو مؤلفهٔ متعامد با اختلاف فاز، قطبش خطی ($0$ یا $\pi$)، دایره‌ای (دامنهٔ برابر، $\pm\pi/2$) یا بیضوی می‌دهد.
• برخورد عمودی به یک مرز: بازتاب $\Gamma = (\eta_2-\eta_1)/(\eta_2+\eta_1)$ و عبور $\tau = 2\eta_2/(\eta_2+\eta_1)$ — دقیقاً همان جبر تطبیق خط انتقال.

تلهٔ رایج: جریان جابه‌جایی $\partial\mathbf{D}/\partial t$ یک دفترداری اختیاری نیست — حذف آن پیوستگی بار ($\nabla\cdot\mathbf{J} + \partial\rho/\partial t = 0$) را نقض می‌کند و انتشار موج را کاملاً از بین می‌برد. با این حال در یک مسئلهٔ آهسته‌متغیر (شبه‌ایستا) در برابر جریان هدایتی/محصورشده ناچیز است، پس آن را فقط زمانی نگه دارید که $\omega\varepsilon$ با $\sigma$ قابل‌مقایسه باشد یا وقتی چیز دیگری حلقهٔ آمپر را نمی‌بندد (مثلاً شکاف یک خازن در حال شارژ). و همیشه پیش از مشتق‌گیری از یک وابستگی زمانی، یکاها را تبدیل کنید — یک $10^{-3}$ سرگردان از یک میلی‌آمپر، روش کلاسیکی است که یک پاسخ تمیز را خراب می‌کند.