سوال ۴۲ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳

برای حل مسئلهٔ موج زیر تغییر متغیر $u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)$ را چنان به کار می‌گیریم که $v_x(۰,t)=v_x(\pi,t)=۰$. اگر $v(x,t)=\dfrac{۱}{۲}G_۰(t)+\sum_{n=۱}^{\infty}G_n(t)\cos nx$ جواب مسئلهٔ متناظر با تغییر متغیر باشد، آنگاه $G_n(t)$، $(n\ge۱)$ در کدام معادلهٔ دیفرانسیل صدق می‌کند؟