پرتاب سکه با مرحلهٔ دوم وابسته

نهایی: در ۲ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۲/۷۵ نمره

ایده

نتیجهٔ سکهٔ اول تعیین می‌کند مرحلهٔ دوم چه آزمایشی باشد؛ پس رو و پشت آمدن آن دو حالت‌اند و هرکدام احتمال $\frac{۱}{۲}$ دارد. در هر حالت، اگر سکهٔ اول رو آمده، آن یک رو را به شمار روها اضافه کن و احتمال شرطی را فقط از سکه‌های مرحلهٔ دوم بگیر: شمار حالت‌های مطلوب بر $۲^{k}$ برای $k$ سکه. فضای نمونهٔ کل هم‌شانس نیست؛ پس همهٔ حالت‌ها را در یک کسر نشمار.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۱۷۱/۲۵ نمره

یک سکه را پرتاب می‌کنیم اگر «پشت» بیاید $۳$ سکه دیگر را با هم پرتاب می‌کنیم و اگر «رو» بیاید $۲$ سکه دیگر را با هم پرتاب می‌کنیم. در این آزمایش احتمال اینکه دقیقاً دو سکه «رو» ظاهر شود چقدر است؟

پشت آمدن سکهٔ اول را $B$ ، رو آمدنش را $R$ و «دقیقاً دو سکه رو» را $A$ بنام و قانون احتمال کل را بنویس.
$P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (R) P (A ∣ R)$
اگر پشت بیاید، سه سکه می‌ماند و باید دقیقاً دو تایش رو شود: $۳$ حالت از $۲^{۳} = ۸$ .۰/۵ نمره
$P (B) P (A ∣ B) = \frac{۱}{۲} \times \frac{۳}{۸}$
اگر رو بیاید، یک رو داریم و از دو سکهٔ بعدی دقیقاً یکی باید رو شود: $۲$ حالت از $۲^{۲} = ۴$ .۰/۵ نمره
$P (R) P (A ∣ R) = \frac{۱}{۲} \times \frac{۲}{۴}$
دو حالت را جمع کن.۰/۲۵ نمره
$P (A) = \frac{۳}{۱۶} + \frac{۱}{۴} = \frac{۷}{۱۶}$

پرتاب سکه با مرحلهٔ دوم وابسته

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۲