انتقال مهره از ظرفی به ظرف دیگر

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۹/۲۵ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

مهره‌ای از ظرف اول به ظرف دوم می‌رود و رنگش را نمی‌دانیم؛ پس دو حالت داری: منتقل‌شده از رنگِ مورد سؤال است ( $G$ ) یا نیست ( $B$ ). احتمال هر حالت را از ترکیب ظرف اول بخوان. بعد از انتقال ظرف دوم یک مهره بیشتر دارد: ترکیب تازه‌اش را برای هر حالت بنویس و مخرج را همان شمار تازه بگیر.

P (A) = P (G) P (A ∣ G) + P (B) P (A ∣ B)

نمونهٔ نهایی

نهایی مرداد ۱۴۰۵، سؤال ۱۷۱/۵ نمره

دو جعبهٔ یکسان داریم. جعبهٔ اول شامل $۸$ لامپ سالم و $۴$ لامپ معیوب و جعبهٔ دوم شامل $۹$ لامپ سالم و $۲$ لامپ معیوب است. از جعبهٔ اول به تصادف یک لامپ انتخاب کرده و در جعبهٔ دوم قرار می‌دهیم، سپس یک لامپ از جعبهٔ دوم انتخاب می‌کنیم. احتمال آنکه این لامپ سالم باشد را محاسبه کنید.

سالم بودن لامپِ منتقل‌شده را $A$ ، معیوب بودنش را $B$ و سالم بودن لامپِ بیرون‌آمده از جعبهٔ دوم را $C$ بنام و قانون احتمال کل را بنویس.
$P (C) = P (A) \times P (C ∣ A) + P (B) \times P (C ∣ B)$
اگر لامپ سالم منتقل شود، جعبهٔ دوم $۱۱ + ۱ = ۱۲$ لامپ دارد که $۹ + ۱ = ۱۰$ تایش سالم است.۰/۵ نمره
$P (A) \times P (C ∣ A) = \frac{۸}{۱۲} \times \frac{۱۰}{۱۲}$
اگر لامپ معیوب منتقل شود، جعبهٔ دوم باز $۱۲$ لامپ دارد و سالم‌هایش همان $۹$ تاست.۰/۵ نمره
$P (B) \times P (C ∣ B) = \frac{۴}{۱۲} \times \frac{۹}{۱۲}$
دو حالت را جمع کن.۰/۲۵ نمره
$P (C) = \frac{۸}{۱۲} \times \frac{۱۰}{۱۲} + \frac{۴}{۱۲} \times \frac{۹}{۱۲}$
حاصل را حساب کن و ساده کن.۰/۲۵ نمره
$P (C) = \frac{۱۱۶}{۱۴۴} = \frac{۲۹}{۳۶} ≃ ۰/۸۰$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶

کنکور ۱

کنکور تجربی ۱۴۰۳، نوبت اول، سؤال ۱۳۲