مفهوممدارهای الکتریکی ۱ و ۲ تحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاس

تحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاس و تحلیل فازوری

هر مدار LTI را به‌صورت یک مسئلهٔ جبری در حوزهٔ s حل کنید — امپدانس عناصر به‌همراه منابع شرایط اولیه، توابع شبکه‌ای که همگی فرکانس‌های طبیعی مدار را به اشتراک دارند، پاسخ‌های حالت صفر و ورودی صفر، توابع ناسره‌ای که وارون آن‌ها ضربه و دوبلت است — و تحلیل فازوری (حالت دائمی سینوسی) به‌عنوان حالت خاص s = jω.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

ایدهٔ اصلی

تحلیل در حوزهٔ لاپلاس معادلات انتگرالی–دیفرانسیلِ یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را به جبر در فرکانس مختلط $s=\sigma+j\omega$ تبدیل می‌کند. از هر ولتاژ و جریان تبدیل گرفته می‌شود، هر عنصر با یک امپدانس تعمیم‌یافته $Z(s)$ جایگزین می‌شود، و — نکتهٔ اساسی — هر انرژی ذخیره‌شده به یک منبع شرایط اولیه بدل می‌شود. چون شبکهٔ تبدیل‌یافته همچنان از KVL و KCL پیروی می‌کند، همهٔ روش‌های مدارهای مقاومتی (تحلیل گره، تحلیل مش، تونن/نورتن، جمع آثار، تقسیم ولتاژ/جریان) بدون هیچ تغییری قابل استفاده‌اند.

برخلاف تحلیل فازوری — که تنها حالت دائمی سینوسیِ تک‌فرکانس یک مدار پایدار را پوشش می‌دهد — روش لاپلاس یک‌جا همهٔ این‌ها را در بر می‌گیرد: تحریک دلخواه (پله، شیب، نمایی میرا، سینوسیِ کلیدزنی‌شده، ضربه)، حالت گذرای لحظهٔ وصل، و شرایط اولیهٔ غیرصفر. هرگاه کلیدی تغییر وضعیت دهد، منبعی در $t=0$ اعمال شود، یا شبکه تنها پایدار مرزی باشد، این روش ابزار طبیعی کار است. تحلیل فازوری حالت خاص $s=j\omega$ از همین جبر است (بخش «حالت دائمی سینوسی» را در ادامه ببینید).

مدل عناصر در حوزهٔ s

با قاعدهٔ مشتق $\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-)$ ، هر عنصر به‌صورت زیر تبدیل می‌شود (جملهٔ اولیه به یک منبع مستقل سری یا موازی بدل می‌شود):

عنصر	امپدانس $Z(s)$	رابطه در حوزهٔ s (با انرژی اولیه)
مقاومت $R$	$R$	$V(s)=R\,I(s)$
سلف $L$	$sL$	$V(s)=sL\,I(s)-L\,i_L(0^-)$ — منبع سری $L\,i_L(0^-)$ ، یا منبع جریان موازی $i_L(0^-)/s$
خازن $C$	$\dfrac{1}{sC}$	$I(s)=sC\,V(s)-C\,v_C(0^-)$ — منبع ولتاژ سری $v_C(0^-)/s$ ، یا منبع جریان موازی $C\,v_C(0^-)$

امپدانس‌ها در اتصال سری با هم جمع می‌شوند؛ ادمیتانس‌ها $Y(s)=1/Z(s)$ در اتصال موازی با هم جمع می‌شوند (برای دو عنصر: حاصل‌ضرب تقسیم بر حاصل‌جمع). برای نمونه، یک مدار تانک بدون تلفات $L\parallel C$ دارای $Z(s)=\dfrac{sL}{s^{2}LC+1}$ است با قطب‌هایی روی محور موهومی در $s=\pm j\omega_0$ ، $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ .

تابع تبدیل، فرکانس‌های طبیعی و دو پاسخ

برای یک شبکهٔ تک‌ورودی/تک‌خروجی با شرایط اولیهٔ صفر، تابع تبدیل (تابع شبکه) تابع گویای زیر است:

H(s)=\frac{Y_{\text{out}}(s)}{X_{\text{in}}(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}.

با وجود انرژی اولیه، تبدیل کامل به دو بخش با ماهیت فیزیکی متفاوت تجزیه می‌شود:

Y(s)=\underbrace{H(s)\,X(s)}_{\text{zero-state (forced)}}\;+\;\underbrace{\frac{P(s)}{D(s)}}_{\text{zero-input (natural)}}.

پاسخ حالت صفر (پاسخ اجباری) حاصل تحریک ورودی است، در حالی که مدار در ابتدا بدون انرژی است.
پاسخ ورودی صفر (پاسخ طبیعی) تنها حاصل شرایط اولیه است؛ صورت آن $P(s)$ را انرژی ذخیره‌شده تعیین می‌کند، و قطب‌های آن — ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه $D(s)$ — فرکانس‌های طبیعی شبکه‌اند، یعنی مدهای $e^{p_i t}$ که مدار به‌خودی‌خود از آن‌ها پشتیبانی می‌کند.

چون در $H(s)$ ممکن است حذف قطب و صفر رخ دهد، یک مد طبیعی می‌تواند از دید یک زوج ورودی/خروجیِ مشخص پنهان بماند و با این حال در پاسخ ورودی صفر حضور داشته باشد — فرکانس‌های طبیعی را از مخرج پاسخ ورودی صفر بخوانید، نه صرفاً از $H(s)$ . مرتبهٔ شبکه برابر $\deg D(s)$ است (تعداد عناصر ذخیره‌کنندهٔ انرژیِ مستقل).

محل قطب‌ها رفتار را تعیین می‌کند: قطب‌های اکیداً در نیم‌صفحهٔ چپ حالت گذرای میرا می‌دهند؛ قطب‌های سادهٔ روی محور $j\omega$ نوسان نامیرا و ماندگار می‌دهند (و در «حالت دائمی» باقی می‌مانند)؛ قطب‌های نیم‌صفحهٔ راست رشد می‌کنند.

از معادلهٔ دیفرانسیل به $H(s)$ و برعکس

معادلهٔ دیفرانسیل ورودی–خروجی و تابع تبدیل، اطلاعات یکسانی را در بر دارند. با صفر بودن همهٔ شرایط اولیه، در هر دو طرف $\dfrac{d^{k}}{dt^{k}}$ را با $s^{k}$ جایگزین کنید:

\sum_{k=0}^{n}a_k\,\frac{d^{k}y}{dt^{k}}=\sum_{k=0}^{m}b_k\,\frac{d^{k}x}{dt^{k}} \quad\Longleftrightarrow\quad H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_m s^{m}+\dots+b_1 s+b_0}{a_n s^{n}+\dots+a_1 s+a_0}.

طرف چپ (خروجی) مخرج — یعنی چندجمله‌ای مشخصه — را می‌دهد و طرف راست (ورودی) صورت را. پاسخ ضربه برابر $h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ است (پاسخ حالت صفر به $x=\delta(t)$ )، و پاسخ پله برابر $\mathcal{L}^{-1}\{H(s)/s\}=\int_{0^-}^{t}h(\tau)\,d\tau$ است.

همهٔ توابع شبکهٔ یک مدار قطب‌های یکسانی دارند

مدار و نحوهٔ صفر کردن منبع مستقل آن را ثابت بگیرید (منبع ولتاژ اتصال کوتاه و منبع جریان مدار باز می‌شود). حل معادلات حوزهٔ s با قاعدهٔ کرامر، همان دترمینان $\Delta(s)$ — یعنی چندجمله‌ای مشخصه — را در مخرج هر پاسخ قرار می‌دهد، بنابراین هر تابع شبکهٔ آن مدار به شکل زیر است:

H_k(s)=\frac{N_k(s)}{\Delta(s)},\qquad \deg\Delta(s)=n=\text{order of the circuit}.

زوج‌های ورودی/خروجیِ مختلف تنها صورت $N_k(s)$ را تغییر می‌دهند. نتایج:

قطب‌های هر تابع شبکه زیرمجموعه‌ای از فرکانس‌های طبیعی هستند و چندگانگی هر یک بزرگ‌تر از چندگانگی آن در $\Delta(s)$ نیست.
یک قطب ممکن است از یک $H_k(s)$ مشخص حذف شود (صورت آن یک عامل از $\Delta$ را ساده می‌کند — آن مد در آن‌جا تحریک یا مشاهده نمی‌شود)، اما هرگز قطب تازه یا چندگانگی بالاتر پدید نمی‌آید.
اگر یک تابع شبکه از مداری مرتبهٔ $n$ ، خود $n$ قطب نشان دهد (پس از ساده‌کردن عوامل مشترک)، آن‌گاه همهٔ فرکانس‌های طبیعی همراه با چندگانگی‌شان معلوم‌اند. اگر کمتر از $n$ قطب نشان دهد، قطب‌های غایب از روی آن تابع قابل تعیین نیستند.
این استدلال هیچ قیدی بر صفرها نمی‌گذارد.

مثال کوتاه. یک مدار مرتبهٔ دوم دارای تابع شبکهٔ $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+4)}$ است. دو قطب متمایز در مداری مرتبهٔ دوم داریم، پس $\Delta(s)=(s+1)(s+4)$ و هر دو ریشه ساده‌اند. تابع شبکهٔ دیگری از همین مدار می‌تواند $\dfrac{6}{s+4}$ باشد (مد $e^{-t}$ حذف شده است) یا $\dfrac{s^{2}}{(s+1)(s+4)}$ ، اما هرگز $\dfrac{1}{(s+1)^{2}}$ (چندگانگی بیش از حد) یا $\dfrac{2}{(s+1)(s+5)}$ نیست ( $-5$ فرکانس طبیعی نیست).

روش — گام به گام

مدار را در حوزهٔ s دوباره رسم کنید. $R\to R$ ، $L\to sL$ ، $C\to 1/(sC)$ ؛ اگر سلفی جریان $i_L(0^-)$ یا خازنی ولتاژ $v_C(0^-)$ دارد، منبع شرایط اولیهٔ آن را قرار دهید. (اگر مسئله به‌صورت معادلهٔ دیفرانسیل داده شده است، $H(s)$ را مستقیماً با $d^{k}/dt^{k}\to s^{k}$ بنویسید.)
از منابع تبدیل بگیرید. $u(t)\to 1/s$ ، $e^{-at}u(t)\to 1/(s+a)$ ، $\sin(\omega t)u(t)\to \omega/(s^{2}+\omega^{2})$ ، $\cos(\omega t)u(t)\to s/(s^{2}+\omega^{2})$ ، $\delta(t)\to 1$ .
به‌صورت جبری حل کنید و $V(s)$ یا $I(s)$ مطلوب را با تحلیل گره/مش، تقسیم امپدانسی یا معادل تونن در حوزهٔ $s$ به دست آورید.
درجه‌ها را بررسی کنید. اگر درجهٔ صورت کوچک‌تر از درجهٔ مخرج نباشد، تابع ناسره است: ابتدا تقسیم چندجمله‌ای انجام دهید (بخش بعد). تنها باقی‌ماندهٔ اکیداً سره به کسرهای جزئی تجزیه می‌شود.
$D(s)$ را تجزیه کنید تا قطب‌ها آشکار شوند، سپس بسط به کسرهای جزئی را انجام دهید.
جمله به جمله وارون بگیرید با استفاده از جدول تبدیل‌ها. جمله‌های مربوط به قطب‌های نیم‌صفحهٔ چپ حالت گذرا هستند؛ هرچه روی محور $j\omega$ یا سمت راست آن باشد بخش ماندگار است.

توابع گویای ناسره — ضربه‌ها و مشتق‌های آن‌ها

تجزیه به کسرهای جزئی تنها برای تابع اکیداً سره ( $\deg N<\deg D$ ) کار می‌کند. وقتی $\deg N\ge\deg D$ است، تقسیم کنید:

F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\underbrace{q_k s^{k}+\dots+q_1 s+q_0}_{\text{quotient }Q(s)}+\underbrace{\frac{R(s)}{D(s)}}_{\text{strictly proper}},\qquad k=\deg N-\deg D .

وارون بخش چندجمله‌ای، توابع تکین در مبدأ است، با استفاده از

\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1,\qquad \mathcal{L}\left\{\frac{d\delta}{dt}\right\}=s,\qquad \mathcal{L}\left\{\delta^{(n)}(t)\right\}=s^{n},

به‌طوری که

f(t)=q_0\,\delta(t)+q_1\,\delta'(t)+\dots+q_k\,\delta^{(k)}(t)+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{R(s)}{D(s)}\right\}.

درجه‌ها	آنچه $f(t)$ در $t=0$ در بر دارد
$\deg N<\deg D$	بدون ضربه (تابع معمولی)
$\deg N=\deg D$	یک ضربه $q_0\,\delta(t)$ ، با $q_0=F(\infty)$
$\deg N=\deg D+1$	یک ضربه و یک دوبلت $q_1\,\delta'(t)$
$\deg N=\deg D+k$	تکینگی‌هایی تا $\delta^{(k)}(t)$

دو میان‌بر: ضریب بالاترین تکینگی برابر نسبت ضرایب پیشروِ $N$ و $D$ است؛ و برای قطب سادهٔ $p$ ضریب $e^{pt}u(t)$ همچنان ماندهٔ $\left.(s-p)F(s)\right\vert_{s=p}$ است — تقسیم، مانده‌ها را تغییر نمی‌دهد.

مثال کوتاه. مداری از معادلهٔ $\dfrac{dy}{dt}+2y=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+3\dfrac{dx}{dt}+x$ پیروی می‌کند. آن‌گاه

H(s)=\frac{s^{2}+3s+1}{s+2},\qquad s^{2}+3s+1=(s+2)(s+1)-1,

H(s)=s+1-\frac{1}{s+2}\quad\Longrightarrow\quad h(t)=\delta'(t)+\delta(t)-e^{-2t}u(t).

بررسی ضریب جملهٔ نمایی با مانده: $\left.(s^{2}+3s+1)\right\vert_{s=-2}=4-6+1=-1$ . پاسخ پله از $H(s)/s=1+\dfrac{1/2}{s}+\dfrac{1/2}{s+2}$ به دست می‌آید، یعنی $\delta(t)+\tfrac12\left(1+e^{-2t}\right)u(t)$ — یک مرتبه تکینگیِ پایین‌تر، و مشتق آن همان $h(t)$ را بازتولید می‌کند (پرش به ارتفاع $1$ در $t=0$ جملهٔ $\delta(t)$ را فراهم می‌کند).

توابع شبکهٔ ناسره برای عناصر ایدئال از نظر فیزیکی کاملاً عادی‌اند: منبع جریانی که سلفی را تحریک می‌کند $V/I=sL$ دارد، و منبع ولتاژِ دو سر یک خازن $I/V=sC$ دارد؛ در این صورت ورودی ضربه یا پله، یک دوبلت یا یک ضربه تولید می‌کند.

مثال حل‌شدهٔ کوتاه

یک مقسّم سری $R$ – $C$ با $R=1\,\Omega$ ، $C=1\,\text{F}$ با $v_s(t)=u(t)$ تحریک می‌شود و خازن از $v_C(0^-)=V_0$ شروع می‌کند. خروجی $v_C$ است.

با $C=1$ ، رابطهٔ خازن $I(s)=sV_C(s)-V_0$ است. KVL در حلقه ( $V_s=IR+V_C$ ) می‌دهد

\frac{1}{s}=\big(sV_C(s)-V_0\big)\cdot 1+V_C(s)=(s+1)V_C(s)-V_0,

\Rightarrow\quad V_C(s)=\underbrace{\frac{1}{s(s+1)}}_{\text{zero-state}}+\underbrace{\frac{V_0}{s+1}}_{\text{zero-input}}.

جملهٔ اول را به کسرهای جزئی تجزیه می‌کنیم، $\dfrac{1}{s(s+1)}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}$ ، سپس جمله‌ها را ترکیب می‌کنیم:

V_C(s)=\frac{1}{s}+\frac{V_0-1}{s+1}\quad\Longrightarrow\quad v_C(t)=\underbrace{1}_{\text{steady state}}+\underbrace{(V_0-1)e^{-t}}_{\text{transient}},\quad t>0.

تنها فرکانس طبیعی، قطب $s=-1=-1/RC$ است؛ مقدار نهایی اجباری $v_C(\infty)=1$ دقیقاً برابر $H(0)\cdot 1$ با $H(s)=1/(s+1)$ است. با قرار دادن $V_0=0$ پاسخ پلهٔ حالت صفرِ خالص $1-e^{-t}$ جدا می‌شود، و با $v_s=0,\,V_0\ne 0$ تخلیهٔ طبیعی $V_0e^{-t}$ جدا می‌شود.

حالت دائمی سینوسی — تحلیل فازوری به‌صورت $s=j\omega$

اگر همهٔ فرکانس‌های طبیعی اکیداً در نیم‌صفحهٔ چپ باشند، همهٔ حالت‌های گذرا از بین می‌روند و یک منبع سینوسی با فرکانس $\omega$ همهٔ ولتاژها و جریان‌ها را سینوسی و با همان $\omega$ باقی می‌گذارد. در این صورت هر سیگنال با یک فازور مختلط نمایش داده می‌شود و مدار با $s=j\omega$ و بدون منابع شرایط اولیه حل می‌شود:

A\cos(\omega t+\varphi)\;\longleftrightarrow\;\mathbf{A}=A\angle\varphi=A e^{j\varphi},\qquad Z_R=R,\quad Z_L=j\omega L,\quad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}.

پاسخ به $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ برابر $y(t)=A\,\lvert H(j\omega)\rvert\cos\big(\omega t+\varphi+\angle H(j\omega)\big)$ است. لاپلاس افزون بر این، حالت گذرای راه‌اندازی را نیز می‌دهد که روش فازوری آن را کنار می‌گذارد.

روش گره با فازورها (با در نظر گرفتن منابع وابسته).

یک گرهٔ مرجع انتخاب کنید و فازورهای مجهول گره‌ها را نام‌گذاری کنید.
هر متغیر کنترل‌کنندهٔ منبع وابسته را بر حسب ولتاژهای گره بنویسید (ولتاژ دو سر عنصری که به زمین وصل است همان ولتاژ آن گره است).
در هر گره KCL را با ادمیتانس‌های $1/Z$ بنویسید؛ وارون‌های پرکاربرد $\dfrac{1}{j}=-j$ و $\dfrac{1}{-j}=j$ هستند.
معادلات خطی مختلط را حل کنید، سپس جریان شاخهٔ خواسته‌شده را در جهت پیکان مرجع آن بخوانید و به فرم قطبی تبدیل کنید.

پیش از هر محاسبهٔ جبری دو ساده‌سازی قابل اعمال است: عنصری که با یک منبع جریان ایدئال سری است، هر امپدانسی که داشته باشد، جریان منبع را از خود عبور می‌دهد و بنابراین بر بقیهٔ مدار اثری ندارد (تنها ولتاژ دو سر منبع را تغییر می‌دهد)؛ به‌طور دوگان، عنصری که با یک منبع ولتاژ ایدئال موازی است بر بقیهٔ مدار اثری ندارد. همچنین KCL روی یک سطح بسته (یک کات‌ست) که چند گره را در بر می‌گیرد، اغلب معادله‌ای یک‌خطی است.

نکات محاسباتی فرم قطبی: $-A\angle\theta=A\angle(\theta\pm\pi)$ , $\ j=1\angle\tfrac{\pi}{2}$ , $\ -j=1\angle-\tfrac{\pi}{2}$ , $\ -1=1\angle\pi$ . وارونه کردن پیکان مرجع، فازور را در $-1$ ضرب می‌کند، یعنی زاویهٔ آن را به اندازهٔ $\pi$ جابه‌جا می‌کند.

مثال کوتاه. یک منبع جریان $4\angle 0$ از طریق یک سلف سری $j5\,\Omega$ گرهٔ $V$ را تغذیه می‌کند. از $V$ به زمین یک مقاومت $2\,\Omega$ ، یک خازن $-j2\,\Omega$ و یک منبع جریان وابسته $0.5\,V_x$ با جهت از $V$ به زمین قرار دارد، که $V_x$ ولتاژ گرهٔ $V$ است. عنصر $j5\,\Omega$ با منبع جریان سری است، پس بی‌اثر است. KCL در $V$ :

4=\frac{V}{2}+\frac{V}{-j2}+0.5\,V=V\left(0.5+j0.5+0.5\right)=V\,(1+j0.5),

V=\frac{4}{1+j0.5}=3.2-j1.6=3.58\angle-26.6^{\circ},\qquad I_R=\frac{V}{2}=1.6-j0.8=1.79\angle-26.6^{\circ}.

اگر معادلات، متغیر کنترل‌کننده را صفر کنند، منبع وابسته عملاً خاموش است و مدار به حلقهٔ باقی‌مانده فرو می‌کاهد — میان‌بری پرتکرار در مسائل چهارگزینه‌ای.

حالت‌های رایج و موارد خاص

$LC$ نامیرا / قطب‌های مرزی. یک مدار تانک بدون تلفات قطب‌هایی دقیقاً در $s=\pm j\omega_0$ ایجاد می‌کند. این مدها هرگز میرا نمی‌شوند، بنابراین حالت ماندگار علاوه بر فرکانس تحریک، جمله‌ای در فرکانس تشدید $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ نیز دارد — تحلیل فازوریِ تک‌فرکانس در فرکانس منبع آن را به‌کلی از دست می‌دهد.
قطب‌های تکراری. قطب مضاعف $(s+a)^2$ مد $t\,e^{-at}$ تولید می‌کند؛ قطب مضاعف روی محور $j\omega$ رشد بی‌کران $t\sin(\omega t)$ می‌دهد.
پاسخ ضربه و بهره‌ها. $H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}$ ؛ بهرهٔ DC برابر $H(0)$ است (سلف‌ها → اتصال کوتاه، خازن‌ها → مدار باز) و بهرهٔ لحظه‌ای (فرکانس بالا) برابر $H(\infty)$ است، که وقتی $\deg N=\deg D$ باشد وزن $\delta(t)$ در $h(t)$ نیز هست.
قضایای مقدار. $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$ وقتی برقرار است که $F(s)$ اکیداً سره باشد؛ اگر $F$ ناسره است، ابتدا تقسیم کنید و قضیه را بر باقی‌ماندهٔ اکیداً سره اعمال کنید (بخش چندجمله‌ای همان ضربه‌ها در $t=0$ است). $\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$ تنها وقتی برقرار است که همهٔ قطب‌های $sF(s)$ در نیم‌صفحهٔ چپِ باز باشند.

تلهٔ رایج: فرکانس‌های طبیعی را از مخرج ورودی صفر (چندجمله‌ای مشخصهٔ کامل $D(s)$ ) بخوانید، نه از تابع تبدیل — حذف قطب و صفر در $H(s)$ می‌تواند یک مد تکراری یا مرزیِ واقعی را پنهان کند، هرچند هرگز نمی‌تواند قطبی را که مدار ندارد اضافه کند. هرگز تجزیه به کسرهای جزئی را روی تابع ناسره آغاز نکنید: ابتدا تقسیم کنید، وگرنه جمله‌های $\delta(t)$ و $\delta'(t)$ از دست می‌روند. و هرگز قضیهٔ مقدار نهایی را وقتی قطبی روی محور $j\omega$ قرار دارد به کار نبرید: یک مد $LC$ بدون تلفات باعث می‌شود $f(t)$ تا ابد نوسان کند، پس $\lim_{s\to0}sF(s)$ عددی بی‌معنا برمی‌گرداند.

فرمول‌های کلیدی

Inductor s-domain model

Z_L=sL,\qquad V_L(s)=sL\,I_L(s)-L\,i_L(0^-)

Capacitor s-domain model

Z_C=\frac{1}{sC},\qquad I_C(s)=sC\,V_C(s)-C\,v_C(0^-)

Zero-state + zero-input decomposition

Y(s)=H(s)\,X(s)+\frac{P(s)}{D(s)},\qquad H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}

Natural frequencies (characteristic polynomial)

D(s)=0\ \Rightarrow\ \text{poles } p_i,\quad y_{\text{natural}}(t)=\sum_i c_i\,e^{p_i t}

LC resonance / undamped poles

Z_{L\|C}(s)=\frac{sL}{s^{2}LC+1},\qquad s=\pm j\omega_0,\ \ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Final-value theorem (LHP poles only)

\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)

Differential equation to transfer function

\sum_{k=0}^{n}a_k\,y^{(k)}=\sum_{k=0}^{m}b_k\,x^{(k)}\ \Longleftrightarrow\ H(s)=\frac{\sum_{k=0}^{m}b_k s^{k}}{\sum_{k=0}^{n}a_k s^{k}},\qquad h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}

Improper rational function (divide first)

\frac{N(s)}{D(s)}=Q(s)+\frac{R(s)}{D(s)},\quad \deg R<\deg D,\qquad \mathcal{L}^{-1}\{s^{n}\}=\delta^{(n)}(t)

Common characteristic polynomial of all network functions

H_k(s)=\frac{N_k(s)}{\Delta(s)},\qquad \{\text{poles of }H_k\}\subseteq\{\text{natural frequencies}\}

Phasor impedances (s = jω)

Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}

Sinusoidal steady-state response

A\cos(\omega t+\varphi)\ \to\ A\,\lvert H(j\omega)\rvert\cos\big(\omega t+\varphi+\angle H(j\omega)\big)

Initial-value theorem (strictly proper F)

f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)

#laplace-transform#s-domain-impedance#transfer-function#natural-frequencies#impulse-response#improper-rational-function#phasor-analysis#zero-input-response

سوالات تمرینی · 8/11

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۷

در مدار زیر، کدام عبارت ولتاژ V(t) در حالت دائمی را توصیف می‌کند؟ یک منبع جریان sin(۲t)u(t) که ولتاژ V(t) روی آن (با قطب مثبت در بالا) اندازه‌گیری می‌شود، جریان خود را به یک گره تزریق می‌کند. از این…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۵۲

شبکه N در مدار زیر، از عناصر RLC خطی تغییرناپذیر با زمان پسیو تشکیل شده است. برای یک دسته شرایط اولیهٔ خاص برای سلف‌ها و خازن‌ها، داریم: V_o(s) = (k(s+1))/((s+2)(s+3)) V_s(s) + (2s+1)/((s+2)^2(s+3)).…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۵۳

در مدار زیر، کدام مورد، درخصوص تابع شبکه H(s)=(V_o(s))/(V_s(s)) ، نادرست است؟ توصیف مدار (همهٔ عناصر ایده‌آل، شرایط اولیهٔ صفر). مدار از دو بخش همسان تشکیل شده که فقط ریل پایین (زمین) را مشترک دارند…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۲ — سؤال ۴۴

مدار زیر را با روش مش در حوزهٔ لاپلاس تحلیل کرده و به دستگاه زیر رسیده‌ایم: a, b ; c, d I_1 ; I_2 = e ; f مدار: منبع v_s(t) در شاخهٔ سمت چپ قرار دارد. از سر بالای آن یک مقاومت R به گرهٔ A می‌رود؛ سلف…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۲ — سؤال ۴۷

مقدار مؤثر پاسخ ماندگار حالت صفر مدار توصیف شده توسط تابع تبدیل H(s)=dfrac s^۴+۲s^۳+۷s^۲+۵s+۹ (s+۱)(s^۲+۱) به ورودی x(t)=sin(۲t) ، کدام است؟

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۲ — سؤال ۴۸

در مدار زیر در مورد تابع شبکهٔ H(s)=(V_o(s))/(I_s(s)) ، کدام گزاره نادرست است؟ توصیف مدار: منبع جریان مستقل i_s گره A را تغذیه می‌کند (مسیر بازگشت آن ریل زمین پایین است). بین گره A و زمین یک مقاومت ۱…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۱ — سؤال ۵۶

پاسخ یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان به ازای ورودی شیب واحد به شکل v_o(t)=(۱-e^(-t)-te^(-t))u(t) می‌باشد. پاسخ حالت دائمی مدار به ازای ورودی i_s(t)=[۱+۲sin(t-(π)/۴)]u(t) کدام است؟

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاسکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۱ — سؤال ۵۹

شبکه N از عناصر RLC خطی تغییرناپذیر با زمان و پسیو تشکیل شده است. در مدار، منبع ولتاژ v_s(t) از طریق یک سلف (که جریان i_L از آن می‌گذرد) به‌صورت سری به سرِ چپِ شبکه N متصل است و یک خازن با ولتاژ v_c…

همهٔ 11 سؤال →