سوال ۹۶ کنکور ارشد علوم کامپیوتر ۱۴۰۴

فرض کنید $L = \{R, C\}$ زبان مرتبه اول باشد که در آن $R$ نماد معمولی دوموضعی و $C$ ثابت است. دو $L$-ساختار $M = (\mathbb{Z}, <_m, -1)$ و $N = (\mathbb{N}, <, ۰)$ را درنظر می‌گیریم، به‌طوری‌که $\mathbb{N}$ مجموعه اعداد صحیح نامنفی، $\mathbb{Z}$ مجموعه اعداد صحیح، $<$ کوچک‌تری معمولی اعداد صحیح نامنفی و $<_m$ به‌صورت زیر است:

$x <_m y \iff \begin{cases} x,y \ge ۰\,, & x < y \\ x,y < ۰\,, & -x < -y \\ x \ge ۰\,, & y < ۰ \end{cases}$

اگر $\alpha : N \to M$ یک نشاندن (embedding) از $N$ به $M$ باشد، کدام‌یک از دو گزاره زیر همواره درست است؟

الف) $\alpha(۱) = -۲$

ب) $\alpha$ پوشا است.