سوال ۱۰۲ کنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۴

استعداد و آمادگی تحصیلیمتوسطمعماهای منطقی و شمارش

اهمیت

۰/۵

تعداد مقادیر مختلف ممکن برای $a^2+b^2+c^2$ درصورتی‌که $a+b+c=5$ و $a$ ، $b$ و $c$ اعداد صحیح نامنفی باشند، چند است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — ۵

پاسخ تشریحی

پاسخ: گزینهٔ ۳ — پنج مقدار. از تقارن (symmetry) استفاده می‌کنیم: جابه‌جایی $a,b,c$ مجموع مربع‌ها را تغییر نمی‌دهد. پس کافی است حالت‌های $a\ge b\ge c\ge0$ را بشماریم.

$c$	سه‌تایی‌های ممکن $(a,b,c)$	$a^2+b^2+c^2$
$0$	$(5,0,0)$ ؛ $(4,1,0)$ ؛ $(3,2,0)$	$25$ ؛ $17$ ؛ $13$
$1$	$(3,1,1)$ ؛ $(2,2,1)$	$11$ ؛ $9$

کوچک‌ترین مؤلفه از $1$ بیشتر نمی‌شود؛ زیرا $c\ge2$ مستلزم $a+b+c\ge6$ است. بنابراین جدول همهٔ حالت‌ها را پوشش می‌دهد و پنج مجموع مربع به‌دست‌آمده متمایزند.

نکتهٔ کنکوری: مقادیر متمایز عبارت را بشمارید، نه سه‌تایی‌های مرتب را. تقارن، تکرارهای ناشی از جایگشت را پیش از محاسبه حذف می‌کند.

#integer-partitions#systematic-counting#symmetry#distinct-values

کارت‌های مرتبط

الگوریتماستعداد و آمادگی تحصیلی

معماهای مقید: شمارش حالت‌ها، پایستگی، دست‌یافتنی‌بودن و تعویض

حالت کامل و حرکت مجاز را مدل کنید؛ پایان‌های فرایند دسته‌ای، میانگین صحیح، افراز متقارن و برش تو‌در‌تو را بشمارید، کران یا دست‌یافتنی‌بودن را با ساخت معتبر ثابت کنید و برای تعویض با هدف ثابت از چرخه‌ها بهره ببرید.

constraint-puzzlesinvariantsnested-balancesbounded-counting