سوال ۴۰ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲

معادلهٔ دیفرانسیل $x^۲y^{\prime\prime}-x(\alpha+x)y^\prime+(\beta+x^۲)y=۰$ دارای جوابی به‌صورت $y=c_۱y_۱(x)+c_۲y_۲(x)$ حول $x=۰$ است، که در آن $y_۱(x)=x^۲\left(۱+\sum_{n=۱}^{\infty}a_nx^n\right)$، $y_۲(x)=y_۱(x)\ln|x|+x^۲\sum_{n=۱}^{\infty}b_nx^n$. مقدار $\alpha+\beta$، کدام است؟ ($c_۱$ و $c_۲$ ثابت و $a_n$ و $b_n$ دنباله هستند.)