سوال ۴۲ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲

معادلهٔ پواسون $\nabla^۲u=۳r$ با شرایط مرزی صفر (همگن) روی ناحیهٔ طوقی شکل زیر دارای جوابی به‌صورت $u(r,\theta)=a_۰+b_۰\ln r+\sum_{n=۱}^{\infty}(a_nr^{۲n}+b_nr^{-۲n}+G_n^*(r))(c_n\cos(۲n\theta)+\sin(۲n\theta))$ است. $\dfrac{G_n^*(r)}{r^۳}$ کدام است؟ توصیف شکل: ناحیهٔ هاشورخورده در ربع اول، بین دو کمان دایره با شعاع‌های $۱$ و $۲$ و محورهای مثبت $x$ و $y$ قرار دارد؛ یعنی $۱<r<۲$ و $۰<\theta<\pi/۲$، و روی تمام مرزها $u=۰$ است.