ریاضی سؤال ۲۲ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

فرض می‌کنیم طول نقطهٔ $A$ برابر $a$ باشد، با $\mathrm{۰}<a<\sqrt{\mathrm{۲}}$. شیب مماس در این نقطه $y^{\prime }=-\mathrm{۲}a$ است، پس معادلهٔ مماس چنین است:

عرض از مبدأ خط برابر $a^{\mathrm{۲}}+\mathrm{۲}$ و طول از مبدأ آن برابر $\frac{a^{\mathrm{۲}}+\mathrm{۲}}{\mathrm{۲}a}$ است. مساحت مثلث چنین می‌شود:

برای مینیمم کردن مساحت، مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم:

پس $a^{\mathrm{۲}}=\frac{\mathrm{۲}}{\mathrm{۳}}$ است. مشتق در این نقطه از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، بنابراین مساحت مینیمم است. عرض نقطهٔ $A$ برابر است با: