ریاضی سؤال ۳۰ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۲

شعاع دایرهٔ بزرگ را $R$ و شعاع دایرهٔ کوچک را $r$ می‌گیریم. در مماس درون، طول خط‌المرکزین برابر با تفاضل شعاع‌هاست:

قطر عمودی دایرهٔ بزرگ برابر با $\mathrm{۲}R$ و قطر عمودی دایرهٔ کوچک برابر با $\mathrm{۲}r$ است. هر دو دایره در پایین‌ترین نقطه بر هم مماس‌اند، پس فاصلهٔ بالاترین نقاط آن‌ها برابر با $\mathrm{۲}R-\mathrm{۲}r$ است:

بنابراین $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }=\mathrm{۴}$ است.

بررسی با عدد $\mathrm{۵}$: اگر فاصلهٔ نقطهٔ برخورد دایرهٔ کوچک با خط افقی تا $\mathrm{O}$ برابر با $x$ باشد، آنگاه $R=x+\mathrm{۵}$ و $r=x+\mathrm{۱}$ است. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$ و این نقطه داریم:

پس $r=۸/۵$ و $R=۱۲/۵$ است و داده‌ها با هم سازگارند.