ریاضی سؤال ۴۰ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

چون $\mathrm{G}$ دور به طول $\mathrm{۹}$ دارد، دور همیلتونی $C_{\mathrm{۹}}$ را داریم. هر یال اضافی (وتر) این دور را به دو دور تقسیم می‌کند. اگر وتر دو رأس با فاصلهٔ $a$ و $\mathrm{۹}-a$ روی دور را وصل کند، دورهایی به طول $a+\mathrm{۱}$ و $\mathrm{۱۰}-a$ پدید می‌آیند.

طول‌های مجاز فقط $\mathrm{۵}$، $\mathrm{۶}$ و $\mathrm{۷}$ هستند. با آزمایش مقدارهای $a$ می‌بینیم فقط $a=\mathrm{۴}$ (یا $a=\mathrm{۵}$) درست است. پس هر وتر باید دو رأسی را وصل کند که روی دور $C_{\mathrm{۹}}$ به فاصلهٔ $\mathrm{۴}$ هستند. این وتر یک دور $\mathrm{۵}$ تایی و یک دور $\mathrm{۶}$ تایی می‌سازد.

برای داشتن دور به طول $\mathrm{۷}$ باید دست‌کم دو وتر داشته باشیم. این وترها نباید دور به طول $\mathrm{۳}$، $\mathrm{۴}$ یا $\mathrm{۸}$ بسازند. رأس‌ها را از $\mathrm{۰}$ تا $\mathrm{۸}$ شماره می‌زنیم و وترهای $\overline{\mathrm{۰۴}}$ و $\overline{\mathrm{۲۶}}$ را در نظر می‌گیریم. دورها به این صورت‌اند:

• بدون وتر:

  دور $C_{\mathrm{۹}}$ ($\mathrm{۱}$ دور به طول $\mathrm{۹}$).

• فقط وتر $\overline{\mathrm{۰۴}}$:

  $\mathrm{۰}\text{-}\mathrm{۱}\text{-}\mathrm{۲}\text{-}\mathrm{۳}\text{-}\mathrm{۴}$ به طول $\mathrm{۵}$ و $\mathrm{۰}\text{-}\mathrm{۴}\text{-}\mathrm{۵}\text{-}\mathrm{۶}\text{-}\mathrm{۷}\text{-}\mathrm{۸}$ به طول $\mathrm{۶}$.

• فقط وتر $\overline{\mathrm{۲۶}}$:

  $\mathrm{۲}\text{-}\mathrm{۳}\text{-}\mathrm{۴}\text{-}\mathrm{۵}\text{-}\mathrm{۶}$ به طول $\mathrm{۵}$ و $\mathrm{۲}\text{-}\mathrm{۶}\text{-}\mathrm{۷}\text{-}\mathrm{۸}\text{-}\mathrm{۰}\text{-}\mathrm{۱}$ به طول $\mathrm{۶}$.

• هر دو وتر:

  $\mathrm{۰}\text{-}\mathrm{۴}\text{-}\mathrm{۳}\text{-}\mathrm{۲}\text{-}\mathrm{۶}\text{-}\mathrm{۷}\text{-}\mathrm{۸}$ به طول $\mathrm{۷}$ و $\mathrm{۰}\text{-}\mathrm{۴}\text{-}\mathrm{۵}\text{-}\mathrm{۶}\text{-}\mathrm{۲}\text{-}\mathrm{۱}$ به طول $\mathrm{۶}$.

پس شمار دورها به ترتیب برای طول‌های $\mathrm{۵}$، $\mathrm{۶}$، $\mathrm{۷}$ و $\mathrm{۹}$ برابر $\mathrm{۲}$، $\mathrm{۳}$، $\mathrm{۱}$ و $\mathrm{۱}$ است و بیشترین شمار مربوط به دورهای به طول $\mathrm{۶}$ است.