ریاضی سؤال ۱۲۰ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

در کتاب، پس از مرتب کردن داده‌ها، میانه چارک دوم است؛ چارک اول میانهٔ داده‌های پیش از میانه و چارک سوم میانهٔ داده‌های پس از میانه است (ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۷}$: آمار و احتمال، چارک‌ها). داده‌ها را مرتب می‌کنیم:

میانه $\mathrm{۱۸}$ است و:

پس از افزودن دو عدد، $\mathrm{۱۳}$ داده داریم: میانه داده هفتم است و چارک‌ها میانهٔ شش داده پیش و پس از آن هستند، یعنی میانگین داده‌های سوم و چهارم هر نیمه.
اگر هر دو عدد از $\mathrm{۱۸}$ بزرگ‌تر یا مساوی آن باشند، شش داده پایین‌تر $\mathrm{۱۰},\mathrm{۱۲},\mathrm{۱۴},\mathrm{۱۵},\mathrm{۱۶},\mathrm{۱۸}$ می‌شود و $Q_{\mathrm{۱}}=\frac{\mathrm{۱۴}+\mathrm{۱۵}}{\mathrm{۲}}=۱۴/۵$ تغییر می‌کند. اگر هر دو کوچک‌تر یا مساوی $\mathrm{۱۸}$ باشند، شش داده بالاتر $\mathrm{۱۸},\mathrm{۲۳},\mathrm{۲۵},\mathrm{۳۴},\mathrm{۴۲},\mathrm{۴۵}$ می‌شود و $Q_{\mathrm{۳}}=\frac{\mathrm{۲۵}+\mathrm{۳۴}}{\mathrm{۲}}=۲۹/۵$ تغییر می‌کند. پس یکی از دو عدد، مثلاً $a$، کوچک‌تر یا مساوی $\mathrm{۱۸}$ و دیگری، $b$، بزرگ‌تر یا مساوی $\mathrm{۱۸}$ است. در این حالت میانه همان $\mathrm{۱۸}$ می‌ماند.
نیمهٔ پایین شامل $\mathrm{۱۰},\mathrm{۱۲},\mathrm{۱۴},\mathrm{۱۵},\mathrm{۱۶}$ و $a$ است. $Q_{\mathrm{۱}}$ میانگین داده‌های سوم و چهارم آن است:

برای $Q_{\mathrm{۱}}=\mathrm{۱۴}$ باید $\frac{\mathrm{۱۴}+a}{\mathrm{۲}}=\mathrm{۱۴}$ باشد، پس $a=\mathrm{۱۴}$ است.
نیمهٔ بالا شامل $\mathrm{۲۳},\mathrm{۲۵},\mathrm{۳۴},\mathrm{۴۲},\mathrm{۴۵}$ و $b$ است و به همین ترتیب:

برای $Q_{\mathrm{۳}}=\mathrm{۳۴}$ باید $b=\mathrm{۳۴}$ باشد. میانگین دو عدد: