ریاضی سؤال ۱۲۱ کنکور ۱۴۰۵

نمودار تابع $f (x) = \frac{۱}{x + a}$ در دو نقطه نمودار وارونش را قطع می‌کند. اگر اختلاف طول این نقاط $۲ ۱۰$ باشد، کدام مورد می‌تواند مقدار $a$ باشد؟ $(a \neq = ۰)$

۲

۶

۸

۱۰

پاسخ تشریحی

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا وارون $f$ را می‌نویسیم، سپس نقطه‌های برخورد دو نمودار را از برابر قرار دادن ضابطه‌ها به دست می‌آوریم. طول این نقطه‌ها ریشه‌های یک معادلهٔ درجهٔ دوم است و اختلاف آن‌ها $a$ را می‌دهد (ریاضی $۳$ ، فصل $۱$ : تابع وارون).

y = \frac{۱}{x + a} \Rightarrow x + a = \frac{۱}{y} \Rightarrow f^{- ۱} (x) = \frac{۱}{x} - a = \frac{۱ - a x}{x}

برای نقطه‌های برخورد $f (x) = f^{- ۱} (x)$ را حل می‌کنیم، با شرط $x \neq = ۰$ و $x \neq = - a$ برای دامنه:

\frac{۱}{x + a} = \frac{۱ - a x}{x} \Rightarrow x = (۱ - a x) (x + a) = x + a - a x^{۲} - a^{۲} x

a - a x^{۲} - a^{۲} x = ۰ \Rightarrow - a (x^{۲} + a x - ۱) = ۰ a \neq = ۰ x^{۲} + a x - ۱ = ۰

عددهای $۰$ و $- a$ در این معادله صدق نمی‌کنند (مقدار سمت چپ در هر دو $- ۱$ می‌شود)، پس هر دو ریشه در دامنه‌اند. چون $Δ = a^{۲} + ۴ > ۰$ است، همیشه دو نقطهٔ برخورد وجود دارد:

x = \frac{- a \pm a ^{۲} + ۴}{۲} \Rightarrow ∣ x_{۱} - x_{۲} ∣ = a^{۲} + ۴

اختلاف طول نقطه‌ها یعنی اختلاف مؤلفه‌های اول آن‌ها:

a^{۲} + ۴ = ۲ ۱۰ \Rightarrow a^{۲} + ۴ = ۴۰ \Rightarrow a^{۲} = ۳۶ \Rightarrow a = \pm ۶

مقدار $a$ می‌تواند $۶$ یا $- ۶$ باشد و از گزینه‌ها فقط $۶$ آمده است.