ریاضی سؤال ۱۴۰ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴

پرسش از اتحاد مزدوج و لگاریتم است (ریاضی $\mathrm{۱}$، فصل $\mathrm{۳}$: عبارت‌های جبری؛ ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۵}$: توابع نمایی و لگاریتمی). دو معادله هر دو بر حسب $a+\sqrt{b}$ و $c$ نوشته شده‌اند، پس لازم نیست $a$ و $b$ جداگانه پیدا شوند. قرار می‌دهیم $u=\sqrt{a+\sqrt{b}}$ و $v=\sqrt{c}$ که $u$ و $v$ نامنفی‌اند. در این صورت $u^{\mathrm{۲}}=a+\sqrt{b}$ و $v^{\mathrm{۲}}=c$ است:

با اتحاد مزدوج $u^{\mathrm{۲}}-v^{\mathrm{۲}}=(u-v)(u+v)$ داریم:

از دو معادلهٔ $u+v=\mathrm{۳}$ و $u-v=\mathrm{۲}$:

$c>\mathrm{۰}$ است، پس لگاریتم تعریف شده است ($u^{\mathrm{۲}}=\frac{\mathrm{۲۵}}{\mathrm{۴}}$ و $a+\sqrt{b}=\frac{\mathrm{۲۵}}{\mathrm{۴}}$ هم با $c$ سازگار است). بنابراین: