اگر -۲ یکی از ریشههای معادلۀ x(۳x²+x+a)=-۲ باشد، حاصلضرب ریشههای این معادله کدام است؟

ریاضی سؤال ۱۳۹ کنکور ۱۴۰۵

اگر $- ۲$ یکی از ریشه‌های معادلهٔ $x (۳ x^{۲} + x + a) = - ۲$ باشد، حاصل‌ضرب ریشه‌های این معادله کدام است؟

- \frac{۳}{۴}

- \frac{۲}{۳}

\frac{۱}{۴}

\frac{۱}{۳}

پاسخ تشریحی

پاسخ: گزینهٔ ۲

پرسش از ریشهٔ معادله و تجزیهٔ معادلهٔ درجهٔ سوم است (ریاضی $۱$ ، فصل $۴$ : معادله‌ها و نامعادله‌ها). ریشه در معادله صدق می‌کند، پس $x = - ۲$ را قرار می‌دهیم:

- ۲ (۳ \times ۴ - ۲ + a) = - ۲ \Rightarrow ۱۰ + a = ۱ \Rightarrow a = - ۹

معادله با $a = - ۹$ و بعد از ساده کردن به شکل $۳ x^{۳} + x^{۲} - ۹ x + ۲ = ۰$ در می‌آید. چون $x = - ۲$ ریشه است، عبارت بر $x + ۲$ بخش‌پذیر است و با تقسیم (ریاضی $۱$ ، فصل $۳$ : عبارت‌های جبری) به دست می‌آید:

۳ x^{۳} + x^{۲} - ۹ x + ۲ = (x + ۲) (۳ x^{۲} - ۵ x + ۱)

ریشه‌های معادله، $- ۲$ و ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم $۳ x^{۲} - ۵ x + ۱ = ۰$ هستند. این معادله مبین مثبت دارد، پس دو ریشهٔ حقیقی دارد:

Δ = ۲۵ - ۱۲ = ۱۳ > ۰, x_{۱} x_{۲} = \frac{۱}{۳}

عدد $- ۲$ در معادلهٔ درجهٔ دوم صدق نمی‌کند $(۱۲ + ۱۰ + ۱ \neq = ۰)$ ، پس معادله سه ریشهٔ متمایز دارد. حاصل‌ضرب هر سه ریشه:

(- ۲) \times x_{۱} x_{۲} = (- ۲) \times \frac{۱}{۳} = - \frac{۲}{۳}