معادلهٔ درجهٔ دوم برحسب یک نسبت

نهایی: در ۸ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۰/۷۵ نمره

ایده

همهٔ نسبت‌ها را برحسب یک نسبت بنویس: $cos ۲ x = ۲ cos^{۲} x - ۱ = ۱ - ۲ sin^{۲} x$ و $sin^{۲} x = ۱ - cos^{۲} x$ کمک می‌کنند. بعد $t = sin x$ یا $t = cos x$ بگیر و معادلهٔ درجهٔ دوم را حل کن. ریشه‌ای که قدرمطلقش از $۱$ بزرگ‌تر است جواب ندارد و هر ریشهٔ دیگر را مثل یک معادلهٔ ساده حل کن.

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۳، سؤال ۸۱/۲۵ نمره

معادله $cos x (۲ cos x - ۷) = ۴$ را حل کنید.

پرانتز را باز کن و همه‌چیز را به یک طرف ببر تا معادلهٔ درجهٔ دوم برحسب $cos x$ بماند.۰/۲۵ نمره
$cos x (۲ cos x - ۷) = ۴ \Rightarrow ۲ cos^{۲} x - ۷ cos x - ۴ = ۰$
با $t = cos x$ معادله را تجزیه کن و ریشه‌ای را که کسینوس نمی‌تواند باشد رد کن.۰/۲۵ نمره
$۲ t^{۲} - ۷ t - ۴ = (۲ t + ۱) (t - ۴) = ۰ \Rightarrow cos x = ۴ (ناممکن)$
ریشهٔ قابل قبول را بنویس.۰/۲۵ نمره
$cos x = - \frac{۱}{۲}$
عدد را کسینوس یک زاویهٔ آشنا بنویس.۰/۲۵ نمره
$cos x = cos \frac{۲ π}{۳}$
از فرمول $cos x = cos α$ جواب کلی را بنویس.۰/۲۵ نمره
$x = ۲ k π \pm \frac{۲ π}{۳}, k \in Z$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۸

۲ سؤال دیگر