تابع قدرمطلقی و نقطهٔ گوشه‌ای

نهایی: در ۱۱ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۵/۵ نمرهکنکور: ۲ سؤال

ایده

قدرمطلق در ریشهٔ عبارتِ درونش دو تکه می‌شود: در یک طرف خودِ عبارت و در طرف دیگر قرینهٔ آن. پس مشتق چپ و راست را جدا و با تعریف حساب کن و علامت عبارت درون قدرمطلق را در هر طرف بررسی کن. اگر $f$ پیوسته باشد و دو مشتق یک‌طرفه متناهی و نابرابر باشند، نقطه گوشه‌ای است و این دو مشتق شیب نیم‌مماس‌های چپ و راست‌اند. اگر برابر شدند، تابع مشتق‌پذیر است.

∣ u ∣ = {u - u u \geq ۰ u < ۰

f (x) = ∣ x^{۲} - ۱∣

دو نقطه را به x = ۱ نزدیک کن.

دورنزدیک

شیب از چپ −۰/۸شیب از راست ۳/۲

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، صبح، سؤال ۱۰۱/۲۵ نمره

به کمک تعریف مشتق، مشتق‌پذیری تابع $f (x) = ∣ x^{۲} - ۱∣$ را در نقطهٔ $x = ۱$ بررسی کنید.

برای مشتق چپ $x < ۱$ است و نزدیک $x = ۱$ عبارت $x^{۲} - ۱$ منفی است، پس $∣ x^{۲} - ۱∣ = - (x^{۲} - ۱)$ . $f (۱) = ۰$ را در تعریف بگذار.۰/۵ نمره
$f_{-}^{'} (۱) = x \to ۱^{-} lim \frac{∣ x ^{۲} - ۱∣ - ۰}{x - ۱} = x \to ۱^{-} lim \frac{- ( x + ۱ ) ( x - ۱ )}{x - ۱} = - ۲$
برای مشتق راست $x > ۱$ است و $x^{۲} - ۱$ مثبت است، پس قدرمطلق همان عبارت است.۰/۵ نمره
$f_{+}^{'} (۱) = x \to ۱^{+} lim \frac{∣ x ^{۲} - ۱∣ - ۰}{x - ۱} = x \to ۱^{+} lim \frac{( x + ۱ ) ( x - ۱ )}{x - ۱} = ۲$
مشتق چپ و راست برابر نیستند، پس تابع در $x = ۱$ مشتق‌پذیر نیست.۰/۲۵ نمره
$f_{+}^{'} (۱) = ۲ \neq = - ۲ = f_{-}^{'} (۱)$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۱

۵ سؤال دیگر

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۱

کنکور ۲