مماس قائم: حسابان ۲، فصل ۴

ایده

اگر $f$ در $x = a$ پیوسته باشد و مشتق چپ و راست آن هر دو نامتناهی باشند (علامتشان می‌تواند فرق کند)، خط $x = a$ مماس قائم است و $f^{'} (a)$ وجود ندارد. مثلاً برای $f (x) = ۳ x$ در $x = ۰$ حد زیر $+ \infty$ می‌شود. اگر یکی از دو مشتق یک‌طرفه متناهی و دیگری نامتناهی باشد، نقطه گوشه‌ای است، نه مماس قائم.

f^{'} (۰) = x \to ۰ lim \frac{۳ x - ۰}{x} = x \to ۰ lim \frac{۱}{۳ x ^{۲}} = + \infty

f (x) = ۳ x

دو نقطه را به مبدأ نزدیک کن.

دورنزدیک

شیب از چپ ۰/۷۳شیب از راست ۰/۷۳

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۲، سؤال ۱۱۱ نمره

با استفاده از تعریف مشتق تابع، مشتق‌پذیری تابع $f (x) = ۳ x - ۲$ را در نقطه $x = ۲$ بررسی نمایید.

$f (۲) = ۳ ۰ = ۰$ است. حد تعریف مشتق را در $x = ۲$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (۲) = x \to ۲ lim \frac{f ( x ) - f ( ۲ )}{x - ۲} = x \to ۲ lim \frac{۳ x - ۲}{x - ۲}$
کسر را ساده کن: $(x - ۲)^{\frac{۱}{۳}}$ تقسیم بر $(x - ۲)^{۱}$ برابر $(x - ۲)^{- \frac{۲}{۳}}$ است.۰/۲۵ نمره
$x \to ۲ lim \frac{۳ x - ۲}{x - ۲} = x \to ۲ lim \frac{۱}{۳ ( x - ۲ ) ^{۲}}$
مخرج برای هر $x \neq = ۲$ مثبت است و به صفر می‌رود، پس از هر دو طرف حد $+ \infty$ است.۰/۲۵ نمره
$x \to ۲ lim \frac{۱}{۳ ( x - ۲ ) ^{۲}} = + \infty$
حد نامتناهی است، پس مشتق وجود ندارد: تابع در $x = ۲$ مشتق‌پذیر نیست.۰/۲۵ نمره

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۹

۳ سؤال دیگر