مشتق‌پذیری تابع چندضابطه‌ای

نهایی: در ۱۳ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۷/۷۵ نمرهکنکور: ۵ سؤال

ایده

در نقطهٔ مرزی، مشتق راست را با ضابطهٔ سمت راست و مشتق چپ را با ضابطهٔ سمت چپ حساب کن؛ $f (a)$ را از ضابطه‌ای بگیر که شرطش شامل $x = a$ است. تابع در $a$ دقیقاً وقتی مشتق‌پذیر است که پیوسته باشد و مشتق راست و چپ متناهی و برابر باشند. در سؤال‌های پارامتر، همین دو شرط دو معادله می‌شوند.

f_{+}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}, f_{-}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

f (x) = {x^{۲} + ۱ ۳ x - ۱ x \geq ۱ x < ۱

دو نقطه را به مرز x = ۱ نزدیک کن.

دورنزدیک

شیب از چپ ۳شیب از راست ۳/۰۷

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۹۱/۵ نمره

مشتق پذیری تابع $f (x) = {۳ x - ۴ ۲ x^{۲} - ۳ x < ۱ x \geq ۱$ را درنقطه $x = ۱$ بررسی کنید.

اول پیوستگی را ببین: مقدار تابع در $x = ۱$ را با حد از دو طرف مقایسه کن.۰/۲۵ نمره
$x \to ۱^{-} lim (۳ x - ۴) = - ۱ = f (۱) = x \to ۱^{+} lim (۲ x^{۲} - ۳)$
مشتق راست را با ضابطهٔ $x \geq ۱$ بنویس و $۲ x^{۲} - ۲$ را تجزیه کن تا $x - ۱$ ساده شود.۰/۵ نمره
$f_{+}^{'} (۱) = x \to ۱^{+} lim \frac{( ۲ x ^{۲} - ۳ ) - ( - ۱ )}{x - ۱} = x \to ۱^{+} lim \frac{۲ ( x - ۱ ) ( x + ۱ )}{x - ۱} = ۴$
مشتق چپ را با ضابطهٔ $x < ۱$ بنویس.۰/۵ نمره
$f_{-}^{'} (۱) = x \to ۱^{-} lim \frac{( ۳ x - ۴ ) - ( - ۱ )}{x - ۱} = x \to ۱^{-} lim \frac{۳ ( x - ۱ )}{x - ۱} = ۳$
دو مشتق یک‌طرفه برابر نیستند، پس تابع در $x = ۱$ مشتق‌پذیر نیست.۰/۲۵ نمره
$f_{+}^{'} (۱) = ۴ \neq = ۳ = f_{-}^{'} (۱)$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۳

۷ سؤال دیگر

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۳

کنکور ۵