تابع مشتق با تعریف

نهایی: در ۱ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱/۲۵ نمره

ایده

تابع مشتق $f^{'}$ به هر $x$ مقدار مشتق $f$ را در همان نقطه نسبت می‌دهد. در تعریف، $x$ را ثابت بگیر و $h \to ۰$ کن؛ $f^{'}$ فقط در نقطه‌هایی از دامنهٔ $f$ تعریف می‌شود که این حد وجود داشته باشد. وقتی حد به شکل $\frac{۰}{۰}$ درآمد، باید ساده کنی: برای رادیکال، صورت و مخرج را در مزدوج ضرب کن؛ برای $\frac{۱}{x}$ ، کسرها را هم‌مخرج کن.

f^{'} (x) = h \to ۰ lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۱۰۱/۲۵ نمره

با استفاده از تعریف مشتق نشان دهید اگر $f (x) = x$ , $x > ۰$ آنگاه $f^{'} (x) = \frac{۱}{۲ x}$ .

تعریف تابع مشتق را بنویس: $x$ ثابت است و $h \to ۰$ .۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = h \to ۰ lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
$f (x) = x$ را جای‌گذاری کن. صورت و مخرج هر دو به صفر میل می‌کنند، پس باید ساده کنی.۰/۲۵ نمره
$= h \to ۰ lim \frac{x + h - x}{h}$
صورت و مخرج را در مزدوجِ صورت ضرب کن.۰/۲۵ نمره
$= h \to ۰ lim \frac{( x + h - x ) ( x + h + x )}{h ( x + h + x )}$
صورت به شکل $(A - B) (A + B) = A^{۲} - B^{۲}$ است؛ حاصلش $h$ می‌شود.۰/۲۵ نمره
$= h \to ۰ lim \frac{x + h - x}{h ( x + h + x )}$
$h$ را ساده کن و $h = ۰$ بگذار.۰/۲۵ نمره
$= h \to ۰ lim \frac{۱}{x + h + x} = \frac{۱}{۲ x}$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۱۰۱/۲۵ نمره