مشتق‌پذیری و پیوستگی: حسابان ۲، فصل ۴

ایده

اگر $f$ در $x = a$ مشتق‌پذیر باشد، در $a$ پیوسته است؛ پس اگر $f$ در $a$ پیوسته نباشد (مثل $[x]$ در عدد صحیح، یا تابعی که حد چپش با $f (a)$ فرق دارد)، مشتق‌پذیر هم نیست. عکسش درست نیست: $∣ x^{۲} - ۱∣$ در $x = ۱$ پیوسته است ولی مشتق‌پذیر نیست. روی بازهٔ $(a, b)$ مشتق‌پذیری یعنی مشتق‌پذیری در هر نقطهٔ آن؛ روی $[a, b]$ مشتق راست در $a$ و مشتق چپ در $b$ هم لازم است.

x \to a lim (f (x) - f (a)) = x \to a lim (x - a) \cdot \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = ۰ \cdot f^{'} (a) = ۰

f (x) = {۲ x + ۱ ۲ x - ۱ x \geq ۱ x < ۱

دو نقطه را به x = ۱ نزدیک کن.

دورنزدیک

شیب از چپ ۳/۸۷شیب از راست ۲

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۳۹۸، سؤال ۱۰۱/۲۵ نمره

قضیه: ثابت کنید اگر تابع $f$ در $x = a$ مشتق پذیر باشد آن گاه تابع $f$ در $x = a$ پیوسته است.

باید نشان بدهی $x \to a lim f (x) = f (a)$ . تفاضل $f (x) - f (a)$ را برای $x \neq = a$ در $\frac{x - a}{x - a}$ ضرب کن تا خارج‌قسمت تفاضلی ظاهر شود.۰/۲۵ نمره
$x \to a lim (f (x) - f (a)) = x \to a lim (x - a) \cdot \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
حد حاصل‌ضرب را حاصل‌ضرب حدها بنویس؛ هر دو حد وجود دارند، دومی چون $f$ در $a$ مشتق‌پذیر است.۰/۲۵ نمره
$= x \to a lim (x - a) \cdot x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
حد اول صفر و حد دوم همان $f^{'} (a)$ است.۰/۲۵ نمره
$= ۰ \cdot f^{'} (a) = ۰$
پس حد تفاضل صفر است.۰/۲۵ نمره
$x \to a lim (f (x) - f (a)) = ۰$
$f (a)$ عدد ثابتی است، پس صفر شدن حد تفاضل یعنی $lim f (x) = f (a)$ ؛ $f$ در $a$ پیوسته است.۰/۲۵ نمره
$x \to a lim f (x) = f (a)$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۲

۶ سؤال دیگر

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۲

کنکور ۲