نمودار تابع مشتق

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۲/۲۵ نمره

ایده

$f^{'} (x)$ شیب مماس بر نمودار $f$ در نقطهٔ $x$ است. جایی که مماس از چپ به راست بالا می‌رود $f^{'} > ۰$ است و جایی که پایین می‌آید $f^{'} < ۰$ ؛ در رأس سهمی مماس افقی است و $f^{'} = ۰$ . مشتق سهمی تابعی خطی و غیرثابت است: برای سهمی رو به بالا شیب خط $f^{'}$ مثبت و برای سهمی رو به پایین منفی است، و این خط محور $x$ ها را در طول رأس سهمی قطع می‌کند.

f (x) = a x^{۲} + b x + c \Rightarrow f^{'} (x) = ۲ a x + b, f^{'} (- \frac{b}{۲ a}) = ۰

f (x) = \frac{۱}{۲} x^{۲} - x - ۱

نقطه را ببر: ارتفاع نقطهٔ پایین، همان شیب مماس بالاست.

x = −۱شیب مماس −۲

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۱، سؤال ۱۱۰/۷۵ نمره

با توجه به نمودار تابع $f$ ، نمودار $f^{'}$ را با ذکر دلیل مشخص کنید.

نمودار سهمی f با رأس در سمت چپ محور عمودی

چهار نمودار f′ (خط) با برچسب‌های (الف)، (ب)، (پ) و (ت)

$f$ سهمی است، پس $f^{'}$ تابعی خطی و غیرثابت است. سهمی رو به بالاست ( $a > ۰$ )، پس شیب خط $f^{'}$ مثبت است و (الف) که خط افقی است و (پ) که شیب منفی دارد کنار می‌روند.۰/۲۵ نمره
$f (x) = a x^{۲} + b x + c \Rightarrow f^{'} (x) = ۲ a x + b, a > ۰$
رأس سهمی مینیمم است و روی نمودار سمت چپ محور $y$ قرار دارد، یعنی طولش $x_{۰}$ منفی است. در رأس مماس افقی است، پس $f^{'} (x_{۰}) = ۰$ و خط $f^{'}$ محور $x$ ها را در $x < ۰$ قطع می‌کند.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x_{۰}) = ۰, x_{۰} < ۰$
از بین خط‌های با شیب مثبت، (ب) محور $x$ ها را در $x > ۰$ قطع می‌کند و (ت) در $x < ۰$ . پس گزینهٔ (ت) درست است.۰/۲۵ نمره

نمودار تابع مشتق

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵