تقعر تابع کسری و رادیکالی

نهایی: در ۳ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۴ نمره

ایده

اگر $f^{''}$ در نقطه‌ای تعریف نشده است، آن نقطه را هم مثل ریشه‌های $f^{''}$ در جدول علامت بیاور و تقعر هر بازه را از علامت $f^{''}$ بخوان. نقطه‌ای که در دامنهٔ $f$ نیست، نقطهٔ عطف نمی‌شود. نقطه‌ای که در دامنه است، حتی اگر $f^{''}$ در آن وجود نداشته باشد، نقطهٔ عطف است به شرط آن‌که نمودار در آن مماس (قائم هم قبول است) داشته باشد و علامت $f^{''}$ عوض شود.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۲، سؤال ۱۵۱/۲۵ نمره

ابتدا جهت تقعر تابع $f (x) = \frac{۲ x + ۱}{x - ۱}$ را در دامنه آن بررسی نمایید وسپس نقطه عطف آن را در صورت وجود، به‌دست آورید.

مشتق اول را با قاعدهٔ خارج‌قسمت بگیر.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = \frac{۲ ( x - ۱ ) - ( ۲ x + ۱ )}{( x - ۱ ) ^{۲}} = \frac{- ۳}{( x - ۱ ) ^{۲}}$
مشتق دوم را بگیر.۰/۲۵ نمره
$f^{''} (x) = \frac{۶}{( x - ۱ ) ^{۳}}$
جدول علامت $f^{''}$ را بکش: صورت عددی ثابت است و مخرج فقط در $x = ۱$ صفر می‌شود.۰/۵ نمره
$x f^{''} f - \infty - \cap ۱ ⋮ + \cup + \infty$
تقعر در $(- \infty, ۱)$ رو به پایین و در $(۱, + \infty)$ رو به بالاست.
دامنه را ببین: $x = ۱$ در آن نیست، پس نمودار در آن‌جا نقطه‌ای ندارد که عطف باشد.۰/۲۵ نمره
$x = ۱ \in / D_{f}$
پس نقطهٔ عطف وجود ندارد.

تقعر تابع کسری و رادیکالی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۳