رسم نمودار تابع هموگرافیک: حسابان ۲، فصل ۵

ایده

تابع هموگرافیک $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ با $c \neq = ۰$ مجانب افقی $y = \frac{a}{c}$ و مجانب قائم $x = - \frac{d}{c}$ دارد و مشتقش $f^{'} (x) = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{۲}}$ است. مخرجِ $f^{'}$ مثبت است؛ پس اگر $a d - b c \neq = ۰$ ، علامت $f^{'}$ روی هر دو بازهٔ دامنه همان علامت $a d - b c$ است: تابع روی هر بازه فقط صعودی است یا فقط نزولی و اکسترمم ندارد. حدها را کنار مجانب قائم بنویس، جدول رفتار را پر کن و نمودار را در دو شاخه، هر شاخه در یک طرف مجانب قائم، بکش.

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۸۲ نمره

جدول رفتار و نمودار تابع $f (x) = \frac{۲ x + ۴}{x - ۱}$ را رسم کنید.

محل برخورد با محورها را پیدا کن: $x = ۰$ برای محور $y$ و $y = ۰$ برای محور $x$ .۰/۵ نمره
$x = ۰ y = ۰ \Rightarrow f (۰) = \frac{۴}{- ۱} = - ۴ \Rightarrow (۰, - ۴) \Rightarrow ۲ x + ۴ = ۰ \Rightarrow x = - ۲ \Rightarrow (- ۲, ۰)$
حد در بی‌نهایت را از نسبت ضریب‌های $x$ بگیر؛ مجانب افقی همین است.۰/۲۵ نمره
$x \to \pm \infty lim \frac{۲ x + ۴}{x - ۱} = \frac{۲}{۱} = ۲ \Rightarrow y = ۲$
مخرج در $x = ۱$ صفر می‌شود و صورت صفر نیست؛ حدهای یک‌طرفه مجانب قائم را نشان می‌دهند.۰/۲۵ نمره
$x \to ۱^{+} lim \frac{۲ x + ۴}{x - ۱} = \frac{۶}{۰ ^{+}} = + \infty, x \to ۱^{-} lim \frac{۲ x + ۴}{x - ۱} = \frac{۶}{۰ ^{-}} = - \infty \Rightarrow x = ۱$
مشتق اول را با قاعدهٔ خارج‌قسمت بگیر و علامتش را در جدول بنویس.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = \frac{۲ ( x - ۱ ) - ( ۲ x + ۴ )}{( x - ۱ ) ^{۲}} = \frac{- ۶}{( x - ۱ ) ^{۲}} < ۰$
پس $f$ روی هر دو بازهٔ $(- \infty, ۱)$ و $(۱, + \infty)$ نزولی است.
مشتق دوم را بگیر، علامتش را بنویس و جدول را کامل کن.۰/۲۵ نمره
$f^{''} (x) = \frac{۱۲}{( x - ۱ ) ^{۳}}$ $x f^{'} f^{''} f (- \infty, ۱) - - ۲ ↘ - \infty (۱, + \infty) - + + \infty ↘ ۲$
تقعر روی $(- \infty, ۱)$ رو به پایین و روی $(۱, + \infty)$ رو به بالاست.
نمودار را در دو شاخه، هر شاخه در یک طرف مجانب قائم، رسم کن.۰/۵ نمره
شاخهٔ چپ زیر خط $y = ۲$ شروع می‌شود، از $(- ۲, ۰)$ و $(۰, - ۴)$ می‌گذرد و کنار $x = ۱$ به $- \infty$ می‌رود؛ تقعرش رو به پایین است. شاخهٔ راست کنار $x = ۱$ از $+ \infty$ پایین می‌آید و از بالا به خط $y = ۲$ نزدیک می‌شود؛ تقعرش رو به بالاست.

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۵

۹ سؤال دیگر