تعیین ضابطهٔ تابع هموگرافیک

نهایی: در ۱ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱ نمره

ایده

محل تقاطع مجانب‌های $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ نقطهٔ $(- \frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ است: طولش ریشهٔ مخرج است و عرضش نسبت $a$ به $c$ . هر نقطه‌ای که نمودار از آن می‌گذرد، یک رابطه بین ضریب‌ها می‌دهد. همهٔ ضریب‌ها را بر حسب $c$ بنویس؛ $c$ در ضابطه ساده می‌شود و ضابطه به دست می‌آید.

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۱، سؤال ۱۵۱ نمره

فرض کنید $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ ، محل تقاطع مجانب‌های آن، نقطه $(۲, ۱)$ است. اگر این تابع از نقطه $(- ۱, ۰)$ بگذرد، ضابطه تابع را به‌دست آورید.

طول نقطهٔ تقاطع مجانب‌ها $۲$ است، پس $x = ۲$ ریشهٔ مخرج $c x + d$ است.۰/۲۵ نمره
$c (۲) + d = ۰ \Rightarrow d = - ۲ c$
نمودار از $(- ۱,, ۰)$ می‌گذرد، پس صورت کسر در $x = - ۱$ صفر می‌شود.۰/۲۵ نمره
$f (- ۱) = \frac{- a + b}{- c + d} = ۰ \Rightarrow - a + b = ۰ \Rightarrow a = b$
عرض نقطهٔ تقاطع مجانب‌ها $۱$ است، پس مجانب افقی $y = \frac{a}{c}$ برابر $۱$ است.۰/۲۵ نمره
$x \to + \infty lim \frac{a x + b}{c x + d} = \frac{a}{c} = ۱ \Rightarrow a = c$
$a$ و $b$ و $d$ را بر حسب $c$ بنویس و ضابطه را ساده کن.۰/۲۵ نمره
$f (x) = \frac{c x + c}{c x - ۲ c} = \frac{x + ۱}{x - ۲}$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱

نهایی دی ۱۴۰۱، سؤال ۱۵۱ نمره