زاویهٔ کانون‌ها از سر قطر کوچک

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۹/۷۵ نمره

ایده

سر قطر کوچک، $B$ ، روی عمودمنصف $F F^{'}$ است، پس $B F = B F^{'} = a$ و در مثلث قائم‌الزاویهٔ $B O F$ وتر $B F$ برابر $a$ است. زاویهٔ $O \hat{B} F$ را با یکی از نسبت‌های $cos = \frac{b}{a}$ ، $sin = \frac{c}{a}$ یا $tan = \frac{c}{b}$ پیدا کن. زاویهٔ $F \hat{B} F^{'}$ دو برابر آن است و $O \hat{F} B = ۹ ۰^{\circ} - O \hat{B} F$ می‌شود.

cos O \hat{B} F = \frac{O B}{B F} = \frac{b}{a}

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۲، سؤال ۱۰۱/۲۵ نمره

در یک بیضی با کانون‌های $F$ و $F^{'}$ ، طول قطر کوچک نصف طول قطر بزرگ است. اندازه زاویه $F \hat{B} F^{'}$ را به‌دست آورید.

بیضی با قطر بزرگ A′A، قطر کوچک BB′ (B بالا و B′ پایین)، مرکز O و کانون‌های F′ (چپ) و F (راست) روی قطر بزرگ

شرط مسئله را روی قطرها بنویس.۰/۲۵ نمره
$B B^{'} = \frac{۱}{۲} A A^{'}$
قطرها را با $۲ b$ و $۲ a$ بنویس و $a$ را بر حسب $b$ پیدا کن.۰/۲۵ نمره
$۲ b = \frac{۱}{۲} (۲ a) \Rightarrow a = ۲ b$
چون $B F^{'} = a$ است، کسینوس زاویهٔ $F^{'} \hat{B} O$ را در مثلث قائم‌الزاویهٔ $B O F^{'}$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$cos F^{'} \hat{B} O = \frac{B O}{B F ^{'}} = \frac{b}{a} = \frac{۱}{۲}$
زاویه را از کسینوس بخوان.۰/۲۵ نمره
$F^{'} \hat{B} O = ۶ ۰^{\circ}$
$B O$ زاویهٔ $F^{'} \hat{B} F$ را نصف می‌کند، پس آن را دو برابر کن.۰/۲۵ نمره
$F^{'} \hat{B} F = ۲ \times ۶ ۰^{\circ} = ۱۲ ۰^{\circ}$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی دی ۱۳۹۷، سؤال ۱۰۱/۵ نمره