نقطهٔ M روی بیضی و مثلث MFF'

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۶ نمره

ایده

برای نقطهٔ $M$ روی بیضی $M F + M F^{'} = ۲ a$ است و $F F^{'} = ۲ c$ ؛ پس محیط مثلث $M F F^{'}$ برابر $۲ a + ۲ c$ می‌شود. اگر $O M = c$ باشد، میانهٔ $M O$ نصف ضلع $F F^{'}$ است و مثلث در $M$ قائم‌الزاویه است؛ آن‌وقت برای طول $M F$ ، $M F^{'} = ۲ a - M F$ را در فیثاغورس بگذار.

M F + M F^{'} = ۲ a, F F^{'} = ۲ c

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، صبح، سؤال ۱۱، بخش ب۱/۲۵ نمره

نقطهٔ $M$ روی بیضی به قطرهای $۳$ و $۵$ واحد به گونه‌ای قرار دارد که فاصلهٔ آن تا مرکز بیضی برابر $۲$ واحد است.

بیضی با کانون‌های F' و F، مرکز O، دو سر قطر بزرگ A' و A، دو سر قطر کوچک B و B' و نقطهٔ M روی بیضی بالای محور

ب)

نشان دهید مثلث $M F F^{'}$ قائم‌الزاویه است.

طول قطرها $۵$ و $۳$ است، پس نصف هر کدام را بگیر.۰/۲۵ نمره
$a = \frac{۵}{۲}, b = \frac{۳}{۲}$
$c$ را از رابطهٔ $c^{۲} = a^{۲} - b^{۲}$ پیدا کن.۰/۲۵ نمره
$c^{۲} = \frac{۲۵}{۴} - \frac{۹}{۴} = ۴ \Rightarrow c = ۲$
فاصلهٔ $M$ از مرکز $۲$ است، پس آن را با $O F$ و $O F^{'}$ مقایسه کن.۰/۲۵ نمره
$O F = O F^{'} = c = ۲ = O M$
چون میانهٔ $M O$ در مثلث $M F F^{'}$ نصف ضلع $F F^{'}$ است، مثلث در $M$ قائم‌الزاویه است.۰/۵ نمره
$M O = \frac{۱}{۲} F F^{'} \Rightarrow F \hat{M} F^{'} = ۹ ۰^{\circ}$

نقطهٔ M روی بیضی و مثلث MFF'

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶