معادلهٔ ساده: نسبت برابر عدد

نهایی: در ۸ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۸/۷۵ نمره

ایده

عدد را سینوس یا کسینوس یک زاویه بنویس (زاویهٔ آشنا، یا $α$ با $sin α = a$ اگر عدد آشنا نیست) تا معادله به $sin A = sin α$ یا $cos A = cos α$ برسد. بعد $A$ را از فرمول کلی بنویس و $x$ را تنها کن. $sin x cos x = c$ را با ضرب در $۲$ به $sin ۲ x = ۲ c$ برسان. هر دسته به‌ازای هر $k \in Z$ یک جواب می‌دهد، پس جواب‌ها بی‌نهایت‌اند.

sin A = sin α cos A = cos α \Rightarrow A = ۲ k π + α یا A = (۲ k + ۱) π - α \Rightarrow A = ۲ k π \pm α

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۷۱/۵ نمره

معادلهٔ مثلثاتی $sin x . cos x = \frac{۲}{۴}$ را حل کنید و جواب‌های کلی آن را بنویسید.

دو طرف را در $۲$ ضرب کن تا $۲ sin x cos x$ بسازی و آن را $sin ۲ x$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$۲ sin x cos x = \frac{۲}{۲} \Rightarrow sin ۲ x = \frac{۲}{۲}$
عدد را سینوس زاویه‌ای آشنا بنویس.۰/۲۵ نمره
$sin ۲ x = sin \frac{π}{۴}$
دستهٔ اول کمان‌ها را با فرمول $A = ۲ k π + α$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$۲ x = ۲ k π + \frac{π}{۴}$
دستهٔ دوم را با فرمول $A = (۲ k + ۱) π - α$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$۲ x = (۲ k + ۱) π - \frac{π}{۴}$
دستهٔ اول را بر $۲$ تقسیم کن.۰/۲۵ نمره
$x = k π + \frac{π}{۸}$
دستهٔ دوم را هم بر $۲$ تقسیم کن.۰/۲۵ نمره
$x = \frac{( ۲ k + ۱ ) π}{۲} - \frac{π}{۸}, k \in Z$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۸

۲ سؤال دیگر