مفهومماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲ ماشین‌های القایی

موتورهای القایی: لغزش، پخش توان، قانون گشتاور–لغزش و راه‌اندازی با روتور قفل‌شده

مدل کامل تک‌فاز ماشین القایی سه‌فاز — سرعت سنکرون، لغزش و سرعت لغزش، تقسیم توان فاصلهٔ هوایی به نسبت 1 : s : (1−s)، قانون‌های گشتاور–لغزش تونن و نرمالیزه (کلاس) همراه با اثر مقاومت روتور، و گشتاور راه‌اندازی از داده‌های آزمایش روتور قفل‌شده.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و دامنهٔ بحث

ماشین القایی (آسنکرون) سه‌فاز پرکاربردترین ماشین صنعت است. جریان‌های سه‌فاز متعادل استاتور یک میدان مغناطیسی دوار پدید می‌آورند که با سرعت سنکرون $n_s$ در فاصلهٔ هوایی می‌چرخد. این میدان از روی هادی‌های روتور عبور می‌کند، در آن‌ها نیروی محرکهٔ الکتریکی و جریان القا می‌کند (فارادی)، و برهم‌کنش این جریان‌های روتور با میدان، گشتاور تولید می‌کند. نکتهٔ اساسی این است که روتور باید کندتر از میدان بچرخد ( $n<n_s$ ) تا حرکت نسبی وجود داشته باشد — از همین رو آسنکرون نامیده می‌شود. این عقب‌ماندگی نسبی همان لغزش $s$ است.

همهٔ مشخصات عملکرد حالت دائمی — جریان‌ها، پخش توان، تلفات، گشتاور — از یک مدار معادل تک‌فاز به دست می‌آید که در آن بار مکانیکی روتور به صورت یک مقاومت وابسته به لغزش $R_2'/s$ ظاهر می‌شود. این ماشین به صورت ژنراتور القایی ( $s<0$ ، چرخانده‌شده با سرعتی بالاتر از $n_s$ ) و به صورت ترمز ( $s>1$ ) نیز کار می‌کند.

۲. کمیت‌ها و فرمول‌های کلیدی

سرعت سنکرون (که در آن $p$ = تعداد قطب‌ها و $f$ = فرکانس تغذیه بر حسب هرتز است):

n_s=\frac{120\,f}{p}\ [\text{rpm}],\qquad \omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=\frac{4\pi f}{p}\ [\text{rad/s}].

لغزش و فرکانس القایی روتور (فرکانس لغزش):

s=\frac{n_s-n}{n_s},\qquad n=(1-s)\,n_s,\qquad f_2=s\,f.

در رابطهٔ $\omega_s=4\pi f/p$ ، $p$ تعداد قطب‌ها است. اگر همین سرعت بر حسب جفت‌قطب $P_p=p/2$ نوشته شود، به صورت $\omega_s=2\pi f/P_p$ درمی‌آید — هرگز تعداد قطب‌ها را به جای تعداد جفت‌قطب‌ها قرار ندهید (این کار $\omega_s$ را نصف و همهٔ گشتاورها را دو برابر می‌کند).

سرعت لغزش. سرعت میدان استاتور نسبت به روتور سرعت لغزش است و در واقع همان لغزش در لباسی دیگر است:

\omega_{sl}=\omega_s-\omega_m=s\,\omega_s,\qquad n_{sl}=n_s-n=s\,n_s\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{\omega_{sl}}{\omega_s}.

بنابراین عبارتی مانند «میدان با سرعت $\omega_{sl}$ رادیان بر ثانیه نسبت به محور حرکت می‌کند» مستقیماً $s$ را می‌دهد (بر حسب رادیان مکانیکی بر ثانیه)، به شرط آنکه $\omega_s=4\pi f/p$ معلوم باشد.

مدار معادل تک‌فاز (روتور ارجاع‌شده به استاتور): شاخهٔ استاتور $R_1+jX_1$ ، یک شاخهٔ موازی مغناطیس‌کنندگی $R_c\parallel jX_m$ ، و شاخهٔ روتور ارجاع‌شده $R_2'/s+jX_2'$ . نکتهٔ ظریف این است که تک‌مقاومت $R_2'/s$ به تلفات مسی واقعی روتور $R_2'$ به‌اضافهٔ یک مقاومت بار مکانیکی تجزیه می‌شود:

\frac{R_2'}{s}=R_2'+R_2'\,\frac{1-s}{s}.

پخش توان. اگر $I_2'$ جریان ارجاع‌شدهٔ روتور باشد، توان فاصلهٔ هوایی (توان الکترومغناطیسی)، تلفات مسی روتور و توان مکانیکی تولیدشده عبارت‌اند از

P_{ag}=3\,I_2'^{\,2}\frac{R_2'}{s},\qquad P_{\text{cu,r}}=3\,I_2'^{\,2}R_2'=s\,P_{ag},\qquad P_{\text{mech}}=3\,I_2'^{\,2}R_2'\frac{1-s}{s}=(1-s)\,P_{ag}.

این سه کمیت همواره در نسبت ثابت زیر قرار دارند:

P_{ag}:P_{\text{cu,r}}:P_{\text{mech}}=1:s:(1-s).

اگر این نسبت را وارونه بخوانیم، توان فاصلهٔ هوایی از هر یک از اجزای آن به دست می‌آید — بدون نیاز به مدار معادل:

P_{ag}=\frac{P_{\text{cu,r}}}{s}=\frac{P_{\text{mech}}}{1-s}.

سمت استاتور و توان ورودی. با حرکت از فاصلهٔ هوایی به سمت پایانه‌ها، تلفات استاتور اضافه می‌شود:

P_{in}=P_{ag}+P_{\text{cu,s}}+P_{\text{core}},\qquad P_{\text{cu,s}}=3\,I_{ph}^{2}R_1 ,

که در آن $I_{ph}$ جریان یک سیم‌پیچ فاز و $R_1$ مقاومت یک سیم‌پیچ فاز است: برای استاتور ستاره $I_{ph}=I_L$ و برای استاتور مثلث $I_{ph}=I_L/\sqrt3$ .

گشتاور تولیدشده (توان فاصلهٔ هوایی به ازای هر رادیان مکانیکی سنکرون):

T_{d}=\frac{P_{ag}}{\omega_s}=\frac{P_{\text{mech}}}{\omega_m},\qquad \omega_m=(1-s)\,\omega_s.

قانون گشتاور–لغزش تونن. با ساده‌کردن سمت استاتور به منبع $V_{th}$ پشت امپدانس $R_{th}+jX_{th}$ ، رابطهٔ بستهٔ مشهور زیر به دست می‌آید:

T_d=\frac{3\,V_{th}^{2}}{\omega_s}\cdot\frac{R_2'/s}{\left(R_{th}+\dfrac{R_2'}{s}\right)^{2}+\left(X_{th}+X_2'\right)^{2}}.

گشتاور بیشینه (گشتاور شکست) در لغزشی رخ می‌دهد که $R_2'/s$ با اندازهٔ بقیهٔ امپدانس برابر شود:

s_{\max T}=\frac{R_2'}{\sqrt{R_{th}^{2}+(X_{th}+X_2')^{2}}},\qquad T_{\max}=\frac{3\,V_{th}^{2}}{2\,\omega_s\left[R_{th}+\sqrt{R_{th}^{2}+(X_{th}+X_2')^{2}}\right]}.

توجه کنید که $T_{\max}$ مستقل از $R_2'$ است؛ فقط لغزشی که این گشتاور در آن رخ می‌دهد متناسب با $R_2'$ تغییر می‌کند.

قانون نرمالیزهٔ گشتاور–لغزش (فرمول کلاس). تقسیم $T_d$ بر $T_{\max}$ ولتاژ و راکتانس‌ها را حذف می‌کند؛ آنگاه کل منحنی با دو عدد $T_{\max}$ و $s_m\equiv s_{\max T}$ مشخص می‌شود. با $a=R_{th}/R_2'$ :

\frac{T}{T_{\max}}=\frac{2\left(1+a\,s_m\right)}{\dfrac{s}{s_m}+\dfrac{s_m}{s}+2a\,s_m} \;\;\xrightarrow{\;R_{th}\approx 0\;}\;\; \frac{T}{T_{\max}}=\frac{2}{\dfrac{s}{s_m}+\dfrac{s_m}{s}} .

در شکل ساده‌شده (با صرف‌نظر از مقاومت استاتور، $X=X_{th}+X_2'$ ) این دو پارامتر عبارت‌اند از

s_m=\frac{R_2'}{X},\qquad T_{\max}=\frac{3\,V_{th}^{2}}{2\,\omega_s X}.

دو مجانب آن، دو نیمهٔ مشخصه را توصیف می‌کنند:

s\ll s_m:\;\; T\approx\frac{2T_{\max}}{s_m}\,s=\frac{3V_{th}^{2}}{\omega_s}\cdot\frac{s}{R_2'}\qquad(\text{linear, stable region}),

s\gg s_m:\;\; T\approx\frac{2T_{\max}\,s_m}{s}=\frac{3V_{th}^{2}}{\omega_s}\cdot\frac{R_2'}{s\,X^{2}}\qquad(\text{hyperbolic, unstable region}).

(رابطهٔ نخست ناحیهٔ خطی و پایدار و رابطهٔ دوم ناحیهٔ هذلولی و ناپایدار است.) پس در سرعت ثابت و در ناحیهٔ عادی لغزش کم، گشتاور با $R_2'$ نسبت عکس دارد، در حالی که در لغزش زیاد (راه‌اندازی) با $R_2'$ نسبت مستقیم دارد. با قرار دادن $s=1$ گشتاور راه‌اندازی به دست می‌آید:

\frac{T_{st}}{T_{\max}}=\frac{2\,s_m}{1+s_m^{2}} ,

که به ازای $s_m=1$ بیشترین مقدار خود ( $T_{st}=T_{\max}$ ) را دارد.

ناوردایی نسبت به مقاومت روتور. در قانون گشتاور تونن، $R_2'$ و $s$ فقط به صورت نسبت $R_2'/s$ ظاهر می‌شوند (به طور دقیق، چه با $R_{th}$ و چه بدون آن). بنابراین تغییر مقاومت مدار روتور از $R_2'$ به $kR_2'$ منحنی را در امتداد محور لغزش با ضریب $k$ می‌کشد: همان گشتاور اکنون در لغزش زیر رخ می‌دهد:

s_{\text{new}}=k\,s_{\text{old}},\qquad s_{m,\text{new}}=k\,s_{m,\text{old}},\qquad T_{\max}\ \text{unchanged}.

آزمایش روتور قفل‌شده (روتور ساکن) و کمیت‌های راه‌اندازی. در حالت سکون $s=1$ است و شاخهٔ روتور $R_2'+jX_2'$ می‌شود که آن‌قدر از $X_m$ کوچک‌تر است که از شاخهٔ مغناطیس‌کنندگی (و تلفات هسته، در ولتاژ کاهش‌یافتهٔ آزمایش) صرف‌نظر می‌شود. با مقادیر تک‌فاز آزمایش $V_{br}$ و $I_{br}$ و توان سه‌فاز $P_{br}$ :

R_1+R_2'=\frac{P_{br}}{3\,I_{br}^{2}},\qquad Z_{br}=\frac{V_{br}}{I_{br}},\qquad X_1+X_2'=\sqrt{Z_{br}^{2}-(R_1+R_2')^{2}} .

چون در $s=1$ هیچ توان مکانیکی تولید نمی‌شود، تمام توان فاصلهٔ هوایی تلفات مسی روتور است و به‌سادگی برابر است با توان اندازه‌گیری‌شده منهای تلفات مسی استاتور:

P_{ag}\big\vert_{s=1}=P_{br}-3\,I_{br}^{2}R_1=3\,I_{br}^{2}R_2',\qquad T_{st}=\frac{P_{ag}\big\vert_{s=1}}{\omega_s}.

این آزمایش در ولتاژ کاهش‌یافته انجام می‌شود. در فرکانس یکسان امپدانس حالت سکون تغییر نمی‌کند، پس جریان متناسب با ولتاژ و هر توان و گشتاور متناسب با مجذور آن تغییر می‌کند:

I_{st}=I_{br}\,\frac{V_{\text{rated}}}{V_{\text{test}}},\qquad T_{st}\big\vert_{\text{rated}}=T_{st}\big\vert_{\text{test}}\left(\frac{V_{\text{rated}}}{V_{\text{test}}}\right)^{2}.

مقاومت استاتور از اندازه‌گیری در پایانه‌ها. $R_1$ از یک اندازه‌گیری DC بین دو پایانهٔ خط، یعنی $R_{tt}$ ، به دست می‌آید؛ تعبیر آن به نوع اتصال بستگی دارد.

اتصال استاتور	مسیر بین دو پایانه	مقاومت سیم‌پیچ هر فاز	جریان فاز
ستاره (Y)	دو سیم‌پیچ سری	$R_1=\dfrac{R_{tt}}{2}$	$I_{ph}=I_L$
مثلث ( $\Delta$ )	یک سیم‌پیچ موازی با دو سیم‌پیچ سری	$R_1=\dfrac{3R_{tt}}{2}$	$I_{ph}=\dfrac{I_L}{\sqrt3}$

در هر دو حالت، کل تلفات مسی استاتور بر حسب کمیت‌های خط به یک عبارت واحد ساده می‌شود:

P_{\text{cu,s}}=3\,I_{ph}^{2}R_1=\tfrac{3}{2}\,I_L^{2}\,R_{tt}.

۳. روش — حل مسائل ماشین القایی

$n_s$ و $s$ را به دست آورید. $f$ (از منبع تغذیه، یا از $\omega=2\pi f$ در شکل موج جریان) و $p$ را بخوانید؛ $n_s=120f/p$ و $s=(n_s-n)/n_s$ را محاسبه کنید. یک وارسی سریع: روتور جریانی با فرکانس $f_2=sf$ حمل می‌کند. اگر داده به جای سرعت محور، یک سرعت نسبی (سرعت لغزش) باشد، مستقیماً از $s=\omega_{sl}/\omega_s$ استفاده کنید.
مشخص کنید منظور از توان «دریافتی/ورودی» چیست. توان فاصلهٔ هوایی $P_{ag}$ توانی است که از فاصلهٔ هوایی عبور می‌کند (پس از کسر تلفات مسی استاتور و تلفات هسته). اگر مسئله بگوید ماشین توان $P$ را «دریافت می‌کند» و از تلفات استاتور/هسته صرف‌نظر شده باشد، آنگاه $P_{ag}=P$ .
با نسبت $1:s:(1-s).$ تقسیم کنید. بی‌درنگ بنویسید $P_{\text{cu,r}}=sP_{ag}$ و $P_{\text{mech}}=(1-s)P_{ag}$ . توان خروجی محور برابر $P_{\text{mech}}$ منهای تلفات اصطکاک و تهویه است. اگر به جای آن، تلفات روتور (یا توان تولیدشده) کمیت داده‌شده باشد، رابطه را وارون کنید: $P_{ag}=P_{\text{cu,r}}/s$ .
در صورت نیاز سمت استاتور را اضافه کنید. $P_{in}=P_{ag}+P_{\text{cu,s}}+P_{\text{core}}$ با $P_{\text{cu,s}}=3I_1^2R_1$ ؛ توان ورودی از پایانه‌ها $P_{in}=\sqrt{3}\,V_LI_L\cos\varphi=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi$ است. پیش از به توان دو رساندن هر چیز، بررسی کنید که جریان داده‌شده جریان فاز است یا خط، و مقاومت داده‌شده مقاومت هر فاز است یا مقاومت پایانه به پایانه (جدول بالا)؛ تلفاتی که داده نشده باشد (هسته، اصطکاک) صفر در نظر گرفته می‌شود.
پرسش‌های گشتاور / منحنی. برای یک نقطهٔ کار منفرد از $T_d=P_{ag}/\omega_s$ استفاده کنید، یا معادل تونن را بسازید و قانون گشتاور–لغزش را به کار ببرید؛ برای بررسی گشتاور شکست و اثر مقاومت روتور از $s_{\max T}$ و $T_{\max}$ استفاده کنید.
پرسش‌های نسبتی («چند برابر…»). وقتی فقط سرعت‌ها داده شده‌اند — سرعت کار و سرعت گشتاور بیشینه — به هیچ پارامتر مداری نیاز نیست: هر دو را به لغزش تبدیل کنید، فرمول کلاس را برای هر حالت بنویسید و بر هم تقسیم کنید تا $T_{\max}$ حذف شود. برای تغییر مقاومت روتور با ضریب $k$ ، به جای $s_m$ مقدار $k\,s_m$ را بگذارید و $T_{\max}$ را ثابت نگه دارید. اگر در هر دو حالت $s\ll s_m$ باشد، از میان‌بر $T\propto V^{2}s/R_2'$ استفاده کنید.
گشتاور راه‌اندازی از آزمایش روتور قفل‌شده. (i) مقاومت پایانه‌ها را به $R_1$ تبدیل کنید؛ (ii) $P_{ag}=P_{br}-3I_{br}^{2}R_1$ ؛ (iii) اگر فرکانس یکسان است، در $(V_{\text{rated}}/V_{\text{test}})^{2}$ ضرب کنید؛ (iv) بر $\omega_s=4\pi f/p$ تقسیم کنید.

۴. مثال‌های کوتاه حل‌شده (ساختگی)

مثال A — تقسیم توان و گشتاور در یک نقطهٔ کار

یک موتور القایی سه‌فاز ۶ قطبی، ۶۰ هرتز با سرعت $n=1140$ rpm کار می‌کند و توان فاصلهٔ هوایی آن $P_{ag}=5\,\text{kW}$ است (از تلفات استاتور و هسته صرف‌نظر می‌شود).

سرعت سنکرون و لغزش:

n_s=\frac{120\cdot 60}{6}=1200\ \text{rpm},\qquad s=\frac{1200-1140}{1200}=0.05.

تقسیم توان ( $1:s:(1-s)$ ):

P_{\text{cu,r}}=0.05\cdot 5000=250\ \text{W},\qquad P_{\text{mech}}=0.95\cdot 5000=4750\ \text{W}.

گشتاور تولیدشده ( $\omega_s=2\pi\cdot 1200/60=125.7\ \text{rad/s}$ ):

T_d=\frac{P_{ag}}{\omega_s}=\frac{5000}{125.7}\approx 39.8\ \text{N·m}.

همین گشتاور از سمت محور نیز به دست می‌آید: $\omega_m=0.95\cdot 125.7=119.4\ \text{rad/s}$ و $P_{\text{mech}}/\omega_m=4750/119.4\approx 39.8\ \text{N·m}$ — یک وارسی سازگاری مفید.

مثال B — توان فاصلهٔ هوایی و توان ورودی از سرعت لغزش

یک موتور ۴ قطبی، ۵۰ هرتز با اتصال مثلث دارای مقاومت سیم‌پیچ استاتور $0.5\ \Omega$ در هر فاز است. در یک بار معین، میدان استاتور با سرعت $2\pi$ رادیان بر ثانیه نسبت به روتور حرکت می‌کند، تلفات مسی روتور $600$ وات و جریان فاز استاتور $12$ آمپر است. از تلفات هسته صرف‌نظر می‌شود.

\omega_s=\frac{4\pi\cdot 50}{4}=50\pi\ \text{rad/s},\qquad s=\frac{\omega_{sl}}{\omega_s}=\frac{2\pi}{50\pi}=0.04 .

P_{ag}=\frac{P_{\text{cu,r}}}{s}=\frac{600}{0.04}=15\ \text{kW},\qquad P_{\text{cu,s}}=3\cdot 12^{2}\cdot 0.5=216\ \text{W},\qquad P_{in}=15.216\ \text{kW}.

جریان داده‌شده خودْ جریان فاز بود، پس اتصال مثلث به ضریب $\sqrt3$ نیازی ندارد. اگر $12$ آمپر جریان خط بود، $I_{ph}=12/\sqrt3$ می‌شد و تلفات استاتور فقط $72$ وات بود.

مثال C — گشتاور راه‌اندازی از آزمایش روتور قفل‌شده

یک موتور ۶ قطبی، ۵۰ هرتز، ۳۸۰ ولت با اتصال ستاره، با روتور قفل‌شده در ۹۵ ولت (خط) و ۵۰ هرتز آزمایش می‌شود: $15$ آمپر و $1350$ وات می‌کشد. مقاومت بین دو پایانهٔ استاتور $1.6\ \Omega$ است.

R_1=\frac{1.6}{2}=0.8\ \Omega,\qquad P_{\text{cu,s}}=3\cdot 15^{2}\cdot 0.8=540\ \text{W},\qquad P_{ag,\text{test}}=1350-540=810\ \text{W}.

(به طور معادل $R_2'=810/(3\cdot 15^{2})=1.2\ \Omega$ .) ولتاژ نامی $380/95=4$ برابر ولتاژ آزمایش در همان فرکانس است، پس

I_{st}=4\cdot 15=60\ \text{A},\qquad P_{ag,st}=810\cdot 4^{2}=12\,960\ \text{W}\;\left(=3\cdot 60^{2}\cdot 1.2\right).

\omega_s=\frac{4\pi\cdot 50}{6}=\frac{100\pi}{3}\ \text{rad/s},\qquad T_{st}=\frac{12\,960}{100\pi/3}=\frac{388.8}{\pi}\approx 123.8\ \text{N·m}.

مثال D — اثر مقاومت روتور در سرعت ثابت (کلاس)

یک موتور روتور سیم‌پیچی‌شدهٔ ۶ قطبی، ۵۰ هرتز ( $n_s=1000$ rpm) گشتاور بیشینهٔ خود را در $800$ rpm تولید می‌کند و با سرعت $960$ rpm در حال کار است. سپس مقاومت مدار روتور سه برابر می‌شود و بقیهٔ شرایط تغییر نمی‌کند.

s=\frac{1000-960}{1000}=0.04,\qquad s_m=\frac{1000-800}{1000}=0.2,\qquad s_m'=3\cdot 0.2=0.6 .

\frac{T}{T_{\max}}=\frac{2}{\dfrac{0.04}{0.2}+\dfrac{0.2}{0.04}}=\frac{2}{5.2}=0.385,\qquad \frac{T'}{T_{\max}}=\frac{2}{\dfrac{0.04}{0.6}+\dfrac{0.6}{0.04}}=\frac{2}{15.07}=0.133 .

در همان سرعت، گشتاور به $T'/T=5.2/15.07\approx 0.345\approx\tfrac13$ کاهش می‌یابد؛ دقیقاً همان چیزی که قاعدهٔ لغزش کم $T\propto 1/R_2'$ پیش‌بینی می‌کند. در مقابل، گشتاور راه‌اندازی افزایش می‌یابد:

\frac{T_{st}}{T_{\max}}=\frac{2\cdot 0.2}{1+0.2^{2}}=0.385\;\longrightarrow\;\frac{T_{st}'}{T_{\max}}=\frac{2\cdot 0.6}{1+0.6^{2}}=0.882 .

و اگر گشتاور بار تغییر نکند، موتور در $s_{\text{new}}=3\cdot 0.04=0.12$ ، یعنی $880$ rpm، به تعادل می‌رسد.

۵. حالت‌های متداول و موارد خاص

روتور سیم‌پیچی‌شده (کنترل با مقاومت روتور). افزودن مقاومت خارجی به روتور $R_2'$ را افزایش می‌دهد: چون $s_{\max T}\propto R_2'$ ولی $T_{\max}$ تغییر نمی‌کند، کل منحنی گشتاور به سمت لغزش‌های بالاتر جابه‌جا می‌شود — این کار گشتاور راه‌اندازی را تقویت می‌کند (با راندن $s_{\max T}\to 1$ )، جریان هجومی را محدود می‌کند و کنترل سرعتی ابتدایی فراهم می‌آورد. روتور سیم‌پیچی‌شده را می‌توان از بیرون نیز تغذیه کرد یا توان آن را بازیافت کرد (بازیافت انرژی لغزش، ژنراتور القایی دوسو تغذیه).
ناحیه‌های کار بر حسب لغزش. $0<s<1$ : موتوری. $s<0$ (چرخانده‌شده با سرعتی بالاتر از $n_s$ ): ژنراتور القایی — علامت $P_{ag}$ و $P_{\text{mech}}$ عوض می‌شود. $s>1$ (روتور در جهت عکس چرخانده می‌شود): ترمز جریان مخالف (پلاگینگ)، با تلفات زیاد از نوع $R_2'$ .
آزمایش‌های استاندارد. بی‌باری: $s\to 0$ پس $R_2'/s\to\infty$ (شاخهٔ روتور باز) ← $X_m,R_c$ و تلفات چرخشی را می‌دهد؛ روتور قفل‌شده: $s=1$ ← $R_1+R_2',\,X_1+X_2'$ و، از طریق $P_{br}-3I_{br}^{2}R_1$ ، توان فاصلهٔ هوایی راه‌اندازی و گشتاور راه‌اندازی را می‌دهد.
مقیاس‌بندی با ولتاژ و فرکانس. در فرکانس ثابت و لغزش ثابت، هر جریان متناسب با $V$ و هر توان و گشتاور (از جمله $T_{st}$ و $T_{\max}$ ) متناسب با $V^{2}$ تغییر می‌کند؛ $s_m$ تغییر نمی‌کند. به همین دلیل راه‌اندازی ستاره–مثلث گشتاور راه‌اندازی را به $\tfrac13$ و سرِ $x$ اتوترانسفورماتور آن را به $x^{2}$ کاهش می‌دهد. اگر آزمایش روتور قفل‌شده در فرکانسی متفاوت انجام شده باشد، پیش از استفاده، راکتانس‌ها را با نسبت فرکانس‌ها مقیاس کنید.
مقاومت روتور در سرعت ثابت در برابر لحظهٔ راه‌اندازی. افزایش $R_2'$ گشتاور را در هر لغزشی کمتر از نقطهٔ تقاطع منحنی قدیم و جدید، یعنی $s<\sqrt{s_m s_m'}$ (ناحیهٔ عادی کار)، کاهش و بالاتر از آن نقطه افزایش می‌دهد. بنابراین گشتاور راه‌اندازی ( $s=1$ ) فقط تا زمانی افزایش می‌یابد که $s_m s_m'<1$ باشد؛ راندن $s_m'$ به مقادیری بسیار بزرگ‌تر از ۱ دوباره آن را کاهش می‌دهد.
مدار تقریبی. انتقال شاخهٔ مغناطیس‌کنندگی به پایانه‌ها (یا صرف‌نظر از $R_1,X_1$ ) محاسبهٔ دستی را ساده می‌کند؛ برای لغزش کوچک و $X_m$ بزرگ قابل قبول است.
روتورهای میله‌عمیق / دوقفسه‌ای. $R_2'$ مؤثر با فرکانس روتور ( $f_2=sf$ ) افزایش می‌یابد و بدون مقاومت خارجی، گشتاور زیاد در راه‌اندازی و تلفات کم در نزدیکی سرعت نامی به دست می‌دهد.

تلهٔ رایج: تلفات مسی روتور کسری از توان فاصلهٔ هوایی است، نه از توان ورودی: $P_{\text{cu,r}}=s\,P_{ag}$ ، نه $s\,P_{in}$ . به همین ترتیب، مقاومت مکانیکی $R_2'(1-s)/s$ توان تولیدشده $(1-s)P_{ag}$ را حمل می‌کند که تا پیش از کسر تلفات اصطکاک و تهویه هنوز توان خروجی محور نیست. و همواره در $T_d=P_{ag}/\omega_s$ از سرعت مکانیکی سنکرون $\omega_s=4\pi f/p$ استفاده کنید — تقسیم بر $\omega_m$ واقعی در این رابطه اشتباه کلاسیک است (این ترکیب $P_{ag}/\omega_m$ را می‌دهد که گشتاور نیست).

نکتهٔ کنکوری: سه میان‌بر بیشتر پرسش‌های عددی را پوشش می‌دهد. (1) $P_{ag}=P_{\text{cu,r}}/s$ — و «سرعت نسبی میدان و روتور» همان $s\,\omega_s$ است. (2) در ناحیهٔ لغزش کم $T\propto V^{2}s/R_2'$ است، پس در سرعت ثابت، تغییر مقاومت روتور با ضریب $k$ گشتاور را با ضریب $1/k$ تغییر می‌دهد، در حالی که در گشتاور ثابت، لغزش را با ضریب $k$ تغییر می‌دهد. (3) در حالت سکون $T_{st}=(P_{br}-3I^{2}R_1)/\omega_s$ است که در $(V_{\text{rated}}/V_{\text{test}})^{2}$ ضرب می‌شود — با $R_1=R_{tt}/2$ برای سیم‌پیچ ستاره و $\omega_s=4\pi f/p$ که در آن $p$ تعداد قطب‌ها است.

فرمول‌های کلیدی

Synchronous speed

n_s=\frac{120f}{p},\qquad \omega_s=\frac{4\pi f}{p}

Slip and rotor frequency

s=\frac{n_s-n}{n_s},\qquad f_2=s\,f

Air-gap power split

P_{ag}:P_{\text{cu,r}}:P_{\text{mech}}=1:s:(1-s)

Air-gap power and developed torque

P_{ag}=3\,I_2'^{\,2}\frac{R_2'}{s},\qquad T_d=\frac{P_{ag}}{\omega_s}

Thévenin torque–slip law

T_d=\frac{3\,V_{th}^{2}}{\omega_s}\cdot\frac{R_2'/s}{\left(R_{th}+\frac{R_2'}{s}\right)^{2}+\left(X_{th}+X_2'\right)^{2}}

Maximum-torque slip

s_{\max T}=\frac{R_2'}{\sqrt{R_{th}^{2}+(X_{th}+X_2')^{2}}}

Pull-out (maximum) torque

T_{\max}=\frac{3\,V_{th}^{2}}{2\,\omega_s\left[R_{th}+\sqrt{R_{th}^{2}+(X_{th}+X_2')^{2}}\right]}

Slip speed

\omega_{sl}=\omega_s-\omega_m=s\,\omega_s

Air-gap power from rotor loss; input power

P_{ag}=\frac{P_{\text{cu,r}}}{s},\qquad P_{in}=P_{ag}+3\,I_{ph}^{2}R_1+P_{\text{core}}

Kloss formula (stator resistance neglected)

\frac{T}{T_{\max}}=\frac{2}{\dfrac{s}{s_m}+\dfrac{s_m}{s}},\qquad s_m=\frac{R_2'}{X_{th}+X_2'}

Kloss formula with stator resistance

\frac{T}{T_{\max}}=\frac{2\left(1+a\,s_m\right)}{\dfrac{s}{s_m}+\dfrac{s_m}{s}+2a\,s_m},\qquad a=\frac{R_{th}}{R_2'}

Low-slip (linear) torque

T\approx\frac{2T_{\max}}{s_m}\,s=\frac{3V_{th}^{2}}{\omega_s}\cdot\frac{s}{R_2'}\qquad(s\ll s_m)

Starting torque relative to pull-out

\frac{T_{st}}{T_{\max}}=\frac{2\,s_m}{1+s_m^{2}}

Starting torque from the blocked-rotor test

T_{st}=\frac{P_{br}-3\,I_{br}^{2}R_1}{\omega_s}\left(\frac{V_{\text{rated}}}{V_{\text{test}}}\right)^{2}

Stator copper loss from terminal resistance

P_{\text{cu,s}}=\tfrac{3}{2}\,I_L^{2}R_{tt},\qquad R_1=\tfrac{R_{tt}}{2}\ (\text{Y}),\quad R_1=\tfrac{3R_{tt}}{2}\ (\Delta)

#induction-motor#slip#equivalent-circuit#air-gap-power#torque-speed#maximum-torque#kloss-formula#blocked-rotor-test

سوالات تمرینی · 8/18

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲متوسطماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۷۹

جریان فاز a استاتور یک موتور القایی سه‌فاز ۶ قطبی، ۲۰۰ ولت با اتصال ستاره در سرعت نامی ۱۰۰۰ دور بر دقیقه، به‌صورت i_as = 22√6 sin (۱۲۰π t + (π)/۳) است. اگر توان عبوری از شکاف هوایی ۶۰۰۰ وات باشد…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲سختماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۸۰

یک موتور القایی سه‌فاز روتور سیم‌پیچی شده، ۴ قطب، ۵۰ هرتز و ۴۴۰ ولت از سمت روتور و توسط یک اتوترانسفورماتور تغذیه می‌شود. استاتور این موتور به مقاومت‌های متغیر متصل است. موتور القایی مزبور به یک…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲متوسطماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۷۶

یک موتور القایی سه‌فاز روتور سیم‌پیچی‌شده ۲۲۰ اسب بخار، ۵۰ هرتز و ۸ قطب برای کنترل یک هواکش به‌کار می‌رود. گشتاور هواکش با مربع سرعت تغییر می‌کند. در بار کامل، لغزش موتور ۰/۰۴ است. نمودار گشتاور ــ…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲متوسطماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۷۷

حداکثر گشتاور یک موتور القایی سه‌فاز ۸ قطب، ۶۰ هرتز برابر ۵۰۰ نیوتن ــ متر است که در سرعت ۷۲۰ دور بر دقیقه رخ می‌دهد. توان مکانیکی تبدیل‌شده برای این موتور در سرعت ۸۱۰ دور بر دقیقه، چند وات است؟ (از…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲آسانماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۷۸

توان عبوری از شکاف هوایی در یک ماشین القایی سه‌فاز، ۶ قطبی، ۵۰ هرتز در سرعت ۹۵۰ دور بر دقیقه، برابر ۴۰۰ کیلووات و در سرعت ۸۰۰ دور بر دقیقه، برابر ۶۰۰ کیلووات است. نسبت تلفات اُهمی روتور در سرعت ۸۰۰…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲سختماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۷۸

دو موتور القایی روتور سیم‌پیچی‌شده ۵۰ Hz به‌صورت زنجیره‌ای (استاتور موتور دومی از روتور موتور اولی تغذیه می‌شود.) باری را با هم می‌چرخانند. موتور اولی دارای ۱۰ قطب و موتور دومی دارای ۴ قطب است. اگر…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲متوسطماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۷۹

یک ماشین القایی سه‌فاز ۶ قطب، ۵۰ هرتز توسط یک موتور DC چرخانده می‌شود. توان الکتریکی گرفته‌شده از حلقه‌های لغزان، ۳۶ کیلووات با ضریب توان ۰٫۸ پس‌فاز است که حدود فرکانس آن ۱۲۰ تا ۲۴۰ هرتز است. بازه…

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲متوسطماشین‌های القاییکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۸۰

جریان یکی از فازهای روتور یک موتور القایی سه‌فاز روتور سیم‌پیچی‌شده، ۶ قطبی، ۵۰ هرتز به‌صورت i_r = ۱۰√۲ sin(۲π t + φ_r) است. اگر توان عبوری از شکاف هوایی ۹۰ کیلووات باشد، مقاومت هر فاز روتور، چند…

همهٔ 18 سؤال →