پیوستگی توابع حقیقی

یک تابع حقیقیِ پیوسته حدها را حفظ می‌کند و روی بازه‌ها سه قضیهٔ نیرومند را به ارث می‌برد — مقدار میانی، مقدار اکسترمم (فشردگی)، و این واقعیت که هر تزریق پیوسته یک یکنوایی اکید و همسان‌ریختی روی تصویر خود است — در حالی که مجموعه‌های تراز، صفر و نقاط ثابت آن دقیقاً همان مجموعه‌های بسته‌اند و رفتارش در نقطهٔ انتهاییِ ناموجود را کران‌داری مجموعه‌های تراز تعیین می‌کند، نه هرگز پیوستگی به‌تنهایی.