کارت‌های مفهوم و فرمول کنکور ارشد ریاضی

جعبه‌ابزار گروه‌های متناهی که کنکور هر سال از آن استفاده می‌کند: مرتبهٔ عنصرها و ک.م.م در حاصل‌ضرب، ساختار کامل گروه‌های دوری (شبکهٔ زیرگروه‌ها، حساب ب.م.م/ک.م.م، یکه‌ها، خودریختی‌ها)، شمارش عنصرهای با مرتبهٔ داده‌شده، قضیهٔ لاگرانژ با هم‌مجموعه‌ها و فرمول حاصل‌ضرب، و مرکز به‌همراه قضیهٔ $G/Z$.

ایده‌آل‌ها، حلقه‌های خارج‌قسمتی، مشخصه و انتقال آن در امتداد پوشا‌ها، قضیهٔ یکریختی اول، رادیکال پوچ‌توان، دوگانگی یکه/مقسوم‌علیه صفر در حلقه‌های متناهی، حلقه‌های موضعی و قضیهٔ باقیماندهٔ چینی، همگی اول‌بودن، ماکسیمال‌بودن، یکه‌ها، پوچ‌توان‌ها، خودتوان‌ها، شمارش همریختی‌ها و هر تجزیهٔ حلقه به ضرب را به هم پیوند می‌دهند.

هر سری توانی یک شعاع $R$ دارد (کوشی–هادامارد) که در درون آن به‌طور مطلق و روی فشرده‌ها به‌طور یکنواخت همگراست؛ همهٔ کار اصلی در دو نقطهٔ انتهایی است، جایی که همگرایی مطلق، همگرایی مشروط و قضیهٔ آبل از هم جدا می‌شوند.

همگرایی یکنواخت دقیقاً یعنی $\sup_x|f_n-f|\to 0$ — با ترتیب سورهای $\exists N\,\forall x$؛ این همگرایی پیوستگی، پیوستگی یکنواخت، کران‌داری و انتگرال ریمان را روی بازه‌های کران‌دار حفظ می‌کند (و جابه‌جایی $\sum\leftrightarrow\int$ را مجاز می‌سازد)، تنها وقتی به مشتق‌ها منتقل می‌شود که خودِ مشتق‌ها یکنواخت همگرا باشند (خارج‌قسمت‌های تفاضلی به پیمانهٔ پیوستگی $f'$ نیاز دارند)، با آزمون $M$ / لایب‌نیتس یکنواخت / دیریکله / آبل، با کران‌های نُرم سوپریمم از راه نامساوی میانگین حسابی–هندسی یا با یک انقباض به‌دست می‌آید، با برآمدگی‌ای که صرفاً جابه‌جا می‌شود نابود می‌گردد، تعیین می‌کند چه مجموعه‌هایی در $(C(K),\|\cdot\|_\infty)$ بسته‌اند، و با هم‌پیوستگی، دینی، آرتزلا–آسکولی، هسته‌های تمرکز و استون–وایرشتراس در هم تنیده است.

جعبه‌ابزار کامل شمارش — قواعد جمع/ضرب/تقسیم/تناظر یک‌به‌یک و اصل شمول و عدم شمول در شکل کلی، جایگشت‌ها، ترکیب‌ها و چندمجموعه‌ها، شمارش توابع و افرازهای مجموعه (برچسب‌دار در برابر بی‌برچسب، قاعدهٔ کلی تکرر n!/(∏n_i!·∏c_j!)، اعداد استرلینگ و «راه دوازده‌گانه»)، قضیهٔ دوجمله‌ای/چندجمله‌ای با اتحادهای اندیس زوج/فرد آن، شمارش با نماد نشان‌دار (((m+1)^n ± (m-1)^n)/2 برای «یک حرف مشخص تعداد فرد/زوج بار ظاهر شود»)، ستاره و میله با کران بالا، روش فاصله‌ها برای عدم مجاورت، جایگاه‌های ممنوع از راه چندجمله‌ای رخ، درگیرسازی‌های زوجیت/علامت و صافی ریشه‌های واحد، شمارش رشته‌های رقمی و شمارش متممی، جمع بر حسب ارزش مکانی، تقارن دَوَرانی همچون کنش آزاد گروه، بازگشتی‌ها، و اینکه چگونه یک پاسخ فاکتوریلی را با گزینه‌هایی که به شکل توان‌های اول چاپ شده‌اند تطبیق دهیم.

دنباله را به‌صورت ضرایب یک سری توانی رمزگذاری کنید تا فرم بسته به دست آورید و بازگشتی‌ها را حل کنید.

جعبه‌ابزار کامل گراف برای کنکور: سرشماری درجه و یال در گراف‌های ساختاریافته و گراف‌های دستگاه‌مجموعه‌ای، شمارش نسخه‌های یک الگو، همبندی–رأس برشی–اویلری–همیلتونی، کران‌های اکسترمال مانتل/توران، فرمول اویلر برای مسطح‌بودن به همراه کران‌های یالی آن، رنگ‌آمیزی سره و چندجمله‌ای رنگی، زوجیت تطابق کامل و رابطه‌های بازگشتی، و کوتاه‌ترین مسیر / درخت فراگیر در گراف‌های وزن‌دار.

مقایسهٔ اندازهٔ مجموعه‌ها با توابع یک‌به‌یک/پوشا/دوسویی، دوگانگی شمارش‌پذیر–ناشمارا، قوانین کامل حساب کاردینال‌ها (جذب، قوانین توان، جعبه‌ابزار پیوستار) و آن دسته از نتایج اصل انتخاب که الف‌صفر را کوچک‌ترین کاردینال نامتناهی می‌کنند.

قوانین بنیادی هم‌ارزی — استلزام مادی، دمورگان و توزیع‌پذیری — که برای بازنویسی و مقایسهٔ گزاره‌های مرکب به کار می‌روند.

مقادیر ویژهٔ ماتریس‌ها، عملگرها روی فضاهای متناهی‌البعد انتزاعی (از راه ماتریس در یک پایه) و عملگرها روی فضاهای تابعی؛ چندجمله‌ای مشخصه و ضرایب آن به‌صورت توابع متقارن؛ کیلی–همیلتون — اتحاد ۲×۲ و دستور کار کلی «وارون و توان‌ها به‌صورت چندجمله‌ای برحسب A» از روی طیف معلوم؛ چندجمله‌ای مینیمال (مقسوم‌علیه‌های چندجمله‌ای مشخصه، روابط پوچ‌ساز، ک.م.م روی بلوک‌های قطری، آزمون قطری‌شدنی بودن)؛ طیف حقیقی در برابر مختلط (دوران‌ها، عملگرهای پادمتقارن و ضرب خارجی)؛ قواعد تبدیل طیفی؛ آنچه تشابه حفظ می‌کند و چگونه بردارهای ویژه را منتقل می‌کند؛ ماتریس‌های جابه‌جاشونده، بردارهای ویژهٔ مشترک و قطری‌سازی هم‌زمان؛ و اینکه دقیقاً چه وقت یک ماتریس قطری‌شدنی است.

تفاضل تقسیم‌شدهٔ $f[x_0,\dots,x_k]$ هم‌زمان یک درایهٔ بازگشتی جدول، ضریب پیشرو $\sum_i f(x_i)/L_n'(x_i)$ یک درون‌یاب، یک نمونهٔ گسسته از $f^{(k)}(\xi)/k!$، و جواب دستگاه پایین‌مثلثی نیوتن است — و روی گره‌های هم‌فاصله به $\Delta^{k}f_0/(k!\,h^{k})$ فرو می‌کاهد.

هندسهٔ چندوجهی و قضیهٔ نمایش، مدل‌سازی شرط‌های انفصالی با شاخص‌های دودویی، جبر سیمپلکس/پایه به‌همراه فاز I و به‌روزرسانی با ماتریس اِتا، فرهنگ‌نامهٔ کامل دوگانی با جدول وضعیت اولیه–دوگان و گواهی‌هایش، مکمل‌های لَختی روی مسئلهٔ حمل‌ونقل، برنامه‌های خطی همگن (مخروطی) که مقدارشان تنها ۰ یا ±∞ است، لم فارکاش در فرم ستونی و سطری به‌علاوهٔ دستور ساختن هر قضیهٔ بدیل، و تحلیل حساسیت — از جمله چگونگی مهاجرت وضعیت هنگام افزودن یا حذف یک قید — یعنی جعبه‌ابزار کاملی که تعیین می‌کند بهینه‌های برنامه‌ریزی خطی کجا، آیا، به چه تعداد و با چه پایداری‌ای وجود دارند.

ماتریس $A$ را با حذف گاوسی به صورت $A=LU$ تجزیه کنید — این تجزیه بدون تعویض سطر موجود است اگر و تنها اگر کهادهای اصلی پیشرو $\Delta_1,\dots,\Delta_{n-1}$ ناصفر باشند، و محور $k$-ام برابر $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ است؛ محورگزینی تنها برای کراندار کردن ضریب رشد به کار می‌رود، پس برای ماتریس متقارن معین مثبت $A$ (که در آن هر محور برابر $\Delta_k/\Delta_{k-1}=\ell_{kk}^{2}>0$ و $\rho=1$ است) تجزیهٔ چولسکی $A=LL^{\mathsf T}$ **بدون** محورگزینی به طور نامشروط پایدار است و تقریباً نصف هزینهٔ حذف گاوسی با محورگزینی را دارد.

قواعد کوادراتور نیوتن-کاتس همراه با جملات خطای دقیق آن‌ها، درجهٔ دقت، و نحوهٔ مقیاس‌بندی خطا با اندازهٔ گام h.

مسئله‌ای روی $[0,\infty)$ را به فضای $s$ می‌بریم — مشتق به ضرب در $s$، انتگرال به تقسیم بر $s$، پیچش به ضرب معمولی، ضرب در $t$ به $-d/ds$، و هر عامل نمایی $e^{-as}$ (به هر شکل پنهان، مثلاً $2^{-s}$) به یک تأخیر زمانی تبدیل می‌شود — سپس مسئله را جبری (یا به‌صورت یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ پایین‌تر برحسب $Y$) حل می‌کنیم، با مربع‌کامل‌کردن وارون می‌گیریم، یا فقط عددِ خواسته‌شده را می‌خوانیم.

حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت به روش مشخصه/عملگری (به همراه تشدید)، حل معادلات اویلر–کوشی از هر مرتبه با چندجمله‌ای شاخص و $t=\ln x$، و تحویل معادلهٔ کلی $y''+Py'+Qy=0$ به ضرایب ثابت به کمک $z=\int\sqrt{Q}\,dx$.

یک نقطه را عادی یا تکین (منظم) دسته‌بندی کنید، سپس جواب را به صورت یک سری توانی یا یک سری فروبنیوس که توان پیشرو آن معادلهٔ اندیسی را برآورده می‌کند بسط دهید.

مجموع و میانگین تعداد زیادی جملهٔ مستقل و هم‌توزیع به‌طور مجانبی نرمال‌اند؛ استانداردسازی کنید و جدول نرمال استاندارد را بخوانید.

توزیع‌های گسستهٔ استاندارد — یکنواخت، برنولی، دوجمله‌ای، پواسون، هندسی، دوجمله‌ای منفی، فوق هندسی — همراه با تابع جرم احتمال، تابع توزیع/دُم، میانگین، واریانس و توابع مولد آن‌ها، به‌علاوهٔ نشانه‌های تشخیص و اتحادهای ساختاری (متمم‌گیری، کانولوشن/واندرموند، رقیق‌سازی، تجزیهٔ دُم برای کمینه‌ها، شرطی‌سازی) که تقریباً هر سؤال کنکوری را حل می‌کنند.

خطی‌بودن، ضرب تحت استقلال، گشتاورها و اتحاد واریانس، فرمول دونقطه‌ای Var(X)=(mu-a)(b-mu)، نامساوی ینسن، کران‌های واریانس تحت قید گشتاوری، امیدهای بریده‌شده به همراه خانوادهٔ مارکوف / کوشی–شوارتز / پیلی–زیگموند، آمیخته‌ها از راه خاصیت برجی، توابع مولد برای E[s^N] و E[X^N]، و قوانین شرطی‌سازی E[E[X|Y]]=E[X] و Var(X)=E[Var(X|Y)]+Var(E[X|Y]).

انتشار بردار سطری $\pi_n=\pi_0P^n$ و شرطی‌کردن تنها بر پایهٔ تأخیر با چپمن–کولموگوروف، آمیختن یک شروع تصادفی با یک ستون از $P$ (یک سری واقعی روی فضای حالت نامتناهی)، خواندن کلاس‌های ارتباطی از روی تکیه‌گاه $P$ با بازگشتی‌بودن/تناوب به‌عنوان خواص کلاسی (بازگشتی $\iff f_{jj}=1\iff\sum_n p_{jj}^{(n)}=\infty$، و هر زنجیرهٔ متناهی دست‌کم یکی دارد)، احتمال‌های بازگشت گشت تصادفی، فرم بستهٔ دوحالتی $p_{ii}^{(n)}=\pi_i+(1-\pi_i)(\operatorname{tr}P-1)^{n}$، جذب از راه ماتریس بنیادی، زنجیره‌های سه‌قطری زایش–مرگ که با توازن جزئی حل می‌شوند، میانگین‌های شاخه‌ای $E[Z_n]=\mu^n$ با قاعدهٔ گشتاور متقاطع $E[Z_n\mid\mathcal{F}_m]=\mu^{n-m}Z_m$، و توزیع ایستای $\pi=\pi P$ به‌همراه حد ارگودیک آن.

گوی‌های باز یک متریک، تمام توپولوژی آن را تعیین می‌کنند؛ بنابراین بازبودن، پیوستگی، همگرایی، فشردگی و همبندی تحت هر تغییرِ متریکِ هم‌ارز ($d\mapsto\tfrac{d}{1+d}$) پابرجا می‌مانند — و «همانیِ $(X,d)\to(X,\rho)$ یک هومئومورفیسم است» دقیقاً همان «مجموعه‌های باز یکسان، دنباله‌های همگرای یکسان یا مجموعه‌های فشردهٔ یکسان» است، ولی اکیداً ضعیف‌تر از کران دوطرفهٔ لیپشیتسی $\alpha^{-1}d\le\rho\le\beta d$؛ در مقابل کوشی‌بودن/کامل‌بودن فقط تحت هم‌ارزیِ *یکنواخت* و کرانداری فقط تحت هم‌ارزیِ *لیپشیتسی* حفظ می‌شوند؛ از همین رو همبندی یک مقدارِ فاصلهٔ ممنوع را به یک کرانِ سراسری ارتقا می‌دهد، تسلطِ یک‌طرفهٔ $d_1\le d_2$ تنها $\tau_{d_1}\subseteq\tau_{d_2}$ را می‌دهد (بازبودن و درون‌ها از درشت$\to$ریز و فشردگی، بستارها و نقاط حدی از ریز$\to$درشت سفر می‌کنند)، $\sum_n d(x_n,x_{n+1})<\infty\Rightarrow$ کوشی $\Rightarrow d(x_n,x_{n+1})\to0$ که هر دو پیکان برگشت‌ناپذیرند، «هر تک‌عضوی باز است» ناهمبندی کامل و فشرده $=$ متناهی را تحمیل می‌کند ولی هرگز کامل‌بودن را، کرانداریِ هر تابع پیوستهٔ **حقیقی‌مقدار** (و نه هر خودنگاشت) مشخصهٔ فشردگی است، و $\bigcap_k\overline{\{x_n:n\ge k\}}$ (مجموعهٔ نقاط انباشت) تنها در فضای فشرده همگرایی را تضمین می‌کند.

هم‌مجموعه‌ها گروه را به بلوک‌های هم‌اندازه افراز می‌کنند (لاگرانژ)؛ هسته‌ها، مرکزسازها و نرمال‌سازها اندیس‌ها را به مرتبهٔ تصویرها و اندازهٔ رده‌های مزدوجی تبدیل می‌کنند؛ مجموعه‌های حاصل‌ضرب از |HK| = |H||K|/|H∩K| و قاعدهٔ لانهٔ کبوتری |A|+|B| > |G| ⟹ AB = G پیروی می‌کنند؛ زیرگروه‌های مشخصه (پایا تحت هر خودریختی) تعدی‌ناپذیری نرمال‌بودن را ترمیم می‌کنند؛ دو زیرگروه ماکسیمالِ آبلیِ متمایز از یک گروه ناآبلی دقیقاً در Z(G) اشتراک دارند؛ قضیهٔ تناظر و قضایای سیلو نرمال‌بودن و زیرگروه‌های با مرتبهٔ توان-اول را تعیین می‌کنند (یک زیرگروه سیلوِ p یگانه هر عنصر از مرتبهٔ توان-p را جذب می‌کند)؛ و در گروه‌های نامتناهی، بخش‌پذیری تعیین می‌کند که آیا اصلاً زیرگروه سره‌ای با اندیس متناهی می‌تواند وجود داشته باشد یا نه.

یک تابع حقیقیِ پیوسته حدها را حفظ می‌کند و روی بازه‌ها سه قضیهٔ نیرومند را به ارث می‌برد — مقدار میانی، مقدار اکسترمم (فشردگی)، و این واقعیت که هر تزریق پیوسته یک یکنوایی اکید و همسان‌ریختی روی تصویر خود است — در حالی که مجموعه‌های تراز، صفر و نقاط ثابت آن دقیقاً همان مجموعه‌های بسته‌اند و رفتارش در نقطهٔ انتهاییِ ناموجود را کران‌داری مجموعه‌های تراز تعیین می‌کند، نه هرگز پیوستگی به‌تنهایی.

روی یک بازهٔ بسته، پیوستگی به‌همراه مشتق‌پذیری در نقاط درونی ناچار می‌کند مشتق در جایی به شیب متوسط برسد؛ از همین یک واقعیت، آزمون‌های یکنوایی، قضیهٔ حد مشتق، خاصیت مقدار میانی داربو، و ماشین «رل + قضیهٔ مقدار میانی» که تعداد ریشه‌های حقیقی یک معادله را دقیقاً می‌شمارد بیرون می‌آید.

هرگاه ۱-فرم دقیق باشد انتگرال کار به تفاضل مقادیر در دو سر مسیر فرو می‌کاهد، شارِ تاو به کمک قضیهٔ استوکس به گردش روی مرز تبدیل می‌شود، و شار معمولی یا با قضیهٔ دیورژانس (برای سطوح بسته یا سطوحی که به‌آسانی درپوش می‌گیرند) یا با پارامتری‌کردن یک ورقهٔ سطح به‌صورت نمودار روی تصویرش بر یک صفحهٔ مختصات محاسبه می‌شود — تشخیص اینکه در کدام حالت هستید، تمام کار است.

بر سه ساختار بنیادی روی یک مجموعه مسلط شوید — توابع (یک‌به‌یک/پوشا + قوانین تصویر/پیش‌تصویر)، روابط (بازتابی/متقارن/پادمتقارن/تعدی) و اعمال دوتایی (شرکت‌پذیری/عضو همانی/وارون) — و هم‌ارزی‌هایی که کنکور مکرراً می‌آزماید.

یک ماتریس مربعی دقیقاً زمانی وارون‌پذیر است که دترمینانش ناصفر باشد؛ دترمینان یک اسکالر چندخطی و متناوب است که تکینی، مقیاس‌بندی حجم و حل‌پذیری را در یک عدد بسته‌بندی می‌کند.

هر ماتریس حقیقی $A$ به‌صورت $A=QR$ تجزیه می‌شود که در آن $Q$ متعامد (اورتوگونال) و $R$ بالامثلثی است؛ ساخت استاندارد و پایدار آن هر ستون را با ماتریس‌های هاوس‌هولدر $H=I-2\,vv^{\top}/(v^{\top}v)$ روی یک محور مختصات بازتاب می‌دهد، این ماتریس‌ها *به‌طور ضمنی* و به شکل به‌روزرسانی رتبه‌یک با کار $O(n)$ ذخیره و اعمال می‌شوند، و در هر اتحادی که از $A=QR$ ساخته شود، $Q$ فقط از راه $Q^{-1}=Q^{\top}$ جابه‌جا می‌شود.

پیوستگی $f$ وجود جواب را می‌دهد (پئانو)؛ افزودن شرط لیپ‌شیتز نسبت به $y$ (که پیوستگی/کران‌داری $\partial f/\partial y$ آن را تضمین می‌کند) آن را به یکتایی ارتقا می‌دهد — جوابی که به‌طور سازنده با تقریب‌های متوالی پیکار و اصل انقباض باناخ ساخته می‌شود، به‌طور پیوسته به داده‌ها وابسته است (گرون‌وال)، و تا یک بازهٔ باز ماکسیمال تعمیم می‌یابد که تنها با انفجار در زمان متناهی یا با خروج از دامنهٔ $f$ می‌تواند آن را ترک کند — و آنجا که لیپ‌شیتز برقرار نباشد، مجموعهٔ جواب‌ها هرگز صرفاً «چند تا» نیست: یک پیوستار کامل است (قیف پئانو، کنِسِر).

خلاصه‌سازی داده‌ها بر حسب مرکز (میانگین خطای مربعی را کمینه می‌کند، میانه خطای قدرمطلق را)، پراکندگی (واریانس/انحراف معیار، دامنهٔ میان‌چارکی، ضریب تغییرات مقیاس‌ناپذیر) و شکل، همراه با دانستن اینکه هر آماره به چه مقیاس اندازه‌گیری‌ای نیاز دارد، میانگین‌ها چگونه به‌صورت میانگین وزنی با وزنِ اندازهٔ گروه ترکیب می‌شوند، و همه‌چیز تحت $y=\alpha x+\beta$ و استانداردسازی چگونه تبدیل می‌شود.

توزیع توأم یک بردار تصادفی همه‌چیز را دربارهٔ آن رمزگذاری می‌کند: نرمال‌سازی ثابتش را تعیین می‌کند، تکیه‌گاه دربارهٔ وابستگی تصمیم می‌گیرد، تجزیه‌پذیری چگالی (یا تابع مولد گشتاور توأم) استقلال را مشخص می‌سازد، شرط‌گذاری مقایسه‌ها و آمیخته‌ها را به مسائل یک‌بعدی بدل می‌کند، و دوخطی بودن کوواریانس — به‌همراه خطوط رگرسیون نرمال دومتغیره — هر پرسش همبستگی را فیصله می‌دهد.

مقادیر مرتب‌شدهٔ یک نمونهٔ مستقل و هم‌توزیع: تابع توزیع تجمعی بیشینه برابر $[F(x)]^n$ است، تابع بقای کمینه برابر $[1-F(x)]^n$، آمارهٔ $k$-اُم چگالی‌ای از نوع بتا دارد، و زوج کمینه–بیشینه چگالی توأم $n(n-1)[F(v)-F(u)]^{n-2}f(u)f(v)$ دارد — که از آن قانون دامنه و تقارن بازتابی به دست می‌آید و برای هر جامعهٔ متقارن ایجاب می‌کند $P\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\le 2c\bigr)=\tfrac12$؛ تعویض‌پذیری نمونهٔ پیوستهٔ مستقل و هم‌توزیع باعث می‌شود احتمال کرانی‌بودن برای هر متغیر یکسان باشد، و پس از مقیاس‌بندی درست بر حسب $n$ مقادیر کرانی به قوانین گامبل / فرشه / وایبول همگرا می‌شوند، مثلاً $n\bigl(X_{(1)}-\theta\bigr)\to\mathrm{Exp}\bigl(f(\theta^{+})\bigr)$ و $X_{(n)}/n^{1/\alpha}\to\Phi_\alpha$ برای دنبالهٔ پارتویی.

یک فرایند پواسون با نرخ $\lambda$ دارای $N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t)$ و شمارش‌های مستقل روی بازه‌های جدا از هم است — پس احتمال‌های تهی‌بودن برابر $e^{-\lambda\lvert I\rvert}$اند و شرط توأم «دست‌کم یک رخداد در هر پنجره» به‌سادگی ضرب می‌شود — در حالی که زمان‌های میان‌ورود آن مستقل و هم‌توزیع نمایی$(\lambda)$اند و به شرط دانستن یک شمارش، ورودها مانند آماره‌های ترتیبی یکنواخت پخش می‌شوند؛ در نتیجه زیرشمارش‌های شرطی به دوجمله‌ای، زمان‌های ورود شرطی به یکنواخت، و پیش‌بینی شمارش آینده به $N(s)+\lambda(t-s)$ فرو می‌کاهند.

برای به‌دست‌آوردن توزیع، گشتاورها، چندک‌ها یا یک کران دنباله برای تابعی از متغیرهای تصادفی، از روش تابع توزیع تجمعی، فرمول‌های ژاکوبی یک‌بعدی و چندبعدی (با جمع روی شاخه‌ها و انتقال تکیه‌گاه)، قاعدهٔ مجموعه‌های تراز برای جزء صحیح و توابع مشخصه، LOTUS برای گشتاورهای خام و هم‌وردایی یکنوا برای چندک‌ها، و تبدیل انتگرال احتمال استفاده کنید؛ استانداردسازی یک نرمال، پیشامدهای درجه‌دو را به دنباله‌های کای‌دو بدل می‌کند، تابع مولد گشتاور همهٔ گشتاورها را رمزگذاری می‌کند و روی مجموع‌های مستقل تجزیه می‌شود، کوواریانس واریانس هر ترکیب خطی را تصحیح می‌کند، و مارکوف/چبیشف همان واریانس را به کران بالایی بدل می‌کنند که کنکور می‌خواهد.

پیوستگی یک ویژگی **موضعی** است که با تصویرهای وارون تعریف می‌شود — در جهت جلو تنها نامساوی بستاری $f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}$ را در اختیار می‌گذارد، پس یک نگاشت پیوستهٔ پوشا مجموعه‌های چگال را به مجموعه‌های چگال و مجموعه‌های همبند را به مجموعه‌های همبند می‌برد (و از همین‌جا دوگانگی «تصویر متریک همبند یا یک نقطه است یا ناشمارا» به دست می‌آید)، در حالی که تصویر مجموعه‌های باز، بسته، کران‌دار، کوشی یا هیچ‌جا چگال بدرفتاری می‌کند — حال آنکه پیوستگی یکنواخت یک $\delta$ را برای کل فضا تثبیت می‌کند، زیر جمع و ترکیب پایدار است ولی زیر ضرب و تقسیم نه، و ویژگی‌ای متریک است نه توپولوژیک، چنان‌که یک هومئومورفیسم می‌تواند آن را نابود کند.

یک همریختی عمل گروه را حفظ می‌کند، هستهٔ آن یک زیرگروه نرمال و تصویرش یک زیرگروه است، و قضیهٔ یکریختی اول این دو را از طریق $G/\ker f\cong\operatorname{im} f$ به هم مرتبط می‌سازد.

ایده‌آل‌های یک‌طرفه در برابر دوطرفه (به‌همراه قاعدهٔ سطر/ستون در حلقهٔ ماتریسی)، حساب ایده‌آل‌ها، خارج‌قسمت‌ها، و سلسله‌مراتب PID / اقلیدسی / UFD که تعیین می‌کند چه هنگام هر ایده‌آلی اصلی است.

برای یک خم فضایی منظم، خمیدگی $\kappa\ge 0$ میزان خم‌شدن درون‌صفحه‌ای و پیچش $\tau$ میزان تاب‌خوردن برون‌صفحه‌ای را می‌سنجد؛ یک مارپیچ دایره‌ای هر دو را ثابت دارد، پس $\tau/\kappa$ ثابت است (قضیهٔ لانکره).

انتگرال ناسره حدِ انتگرال‌های سره است و باید در هر نقطهٔ دردسرساز به‌طور جداگانه همگرا شود: تکینگی‌ها را بیابید، مرتبهٔ مجانبی را بخوانید و محک $p$ را همراه با مقایسه (حدی) به کار ببرید، همگرایی واقعی را از صرفِ مقدار اصلی کوشی تمیز دهید، هر جابه‌جایی سری/حد با انتگرال را توجیه کنید، سپس با الگوی گاما/مختلط‌سازی، انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء ناسره با کسرهای جزئی ادغام‌شده در یک لگاریتم واحد، اتحاد تابع وارون، یا بهینه‌سازی بر پایهٔ علامت انتگرال‌ده محاسبه کنید — و هرگاه مقداری خواسته نشده باشد، فرضِ نقطه‌ای (معمولاً یک کران دوطرفه روی انتگرال‌ده) را با اثبات نقطه‌ای و سپس انتگرال‌گیری به یک نامساوی انتگرالی تبدیل کنید.

سری، حدِ مجموع‌های جزئیِ آن است: رفتار مجانبیِ غالبِ جملهٔ عمومی، یعنی $c\,n^{-p}$، را بخوانید تا آزمون مقایسه/نسبت/ریشه/انتگرال را برگزینید، سری را بی‌درنگ واگرا اعلام کنید هرگاه جملهٔ $n$‌ام آن نتواند به $0$ میل کند، همگرایی را زیر هر بازوزن‌دهیِ *کران‌دار* حفظ کنید، و هرگاه صورتِ سؤال مقدار دقیق را بخواهد، تلسکوپی (مجموع یا حاصل‌ضرب) کنید یا سری هندسی را جمع بزنید.

اصل انتخاب به شما اجازه می‌دهد بی‌نهایت انتخاب دلخواه را همزمان انجام دهید؛ این اصل با لم زورن و قضیهٔ خوش‌ترتیبی هم‌ارز است و مهارت کنکوری، تشخیص این است که یک اثبات واقعاً چه زمانی به آن نیاز دارد.

ضرب پیاپی در $A$ یک بردار آغازین را به سمت بردار ویژهٔ مقدار ویژه با بزرگ‌ترین قدرمطلق سوق می‌دهد، که آنگاه با خارج‌قسمت رایلی یا نسبت مؤلفه‌ها خوانده می‌شود.

جعبه‌ابزار کاملِ «تشخیص بده، سپس اعمال کن» برای معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اول — جداشدنی، خطی (عامل انتگرال‌ساز)، کامل، برنولی/ریکاتی، ضابطهٔ مادر $\mu'/\mu=(M_y-N_x)/(z_xN-z_yM)$ که تعیین می‌کند آیا عامل انتگرال‌ساز برحسب هر متغیر آزمونِ $z$ ($x$، $y$، $xy$، $x\pm y$، $x/y$، $x^{2}+y^{2}$) وجود دارد یا نه، و تغییر متغیرهای $v=y/x$، $v=ax+by+c$، $x=x(y)$ — به‌علاوهٔ کاهش‌مرتبه‌هایی که یک معادلهٔ مرتبهٔ دوم را به یکی از این‌ها تبدیل می‌کنند، شرط‌های جانبی (کران‌داری در نقطهٔ تکین) که ثابت را قفل می‌کنند، و قاعدهٔ انتخاب شاخه که از یک خم انتگرالیِ ضمنی، تنها جوابِ گذرنده از نقطهٔ اولیه را بیرون می‌کشد.

یک مسئلهٔ اشتورم–لیوویل $(py')'+qy+\lambda w y=0$ با شرایط مرزی جداشده دارای مقادیر ویژهٔ حقیقی، ساده و گسسته است که توابع ویژهٔ آن کامل بوده و نسبت به وزن $w$ (ضریب $\lambda$) متعامد‌اند — هرگز نسبت به $p$.

یک مجموعه فشرده است اگر و تنها اگر هر پوشش باز آن زیرپوشش متناهی داشته باشد؛ فشردگی خاصیتی ذاتی است (مستقل از فضای دربرگیرنده) و حکم کارساز آن این است که تصویر پیوستهٔ یک مجموعهٔ فشرده فشرده می‌ماند — همین یک حکم قضیهٔ هاینه–برل، قضیهٔ مقدار اکسترمم، همسان‌ریختی‌های خودکار و پیوستگی یکنواخت را می‌دهد، از جمله انتقال پیوستگی یکنواخت به عقب از طریق یک فضای فشردهٔ میانی.

در یک فضای متریک، عملگرهای نقطه‌مجموعه‌ای با اتحاد $\overline A=A\cup A'=A^{\circ}\sqcup\partial A$، با دوگانی متمم‌گیری $(A^{\circ})^{c}=\overline{A^{c}}$ (پس $X\setminus A$ دقیقاً وقتی چگال است که $A^{\circ}=\varnothing$)، با فرهنگ‌نامهٔ فاصله $\overline A=\{d(\cdot,A)=0\}$، $A^{\circ}=\{d(\cdot,X\setminus A)>0\}$ و با آزمون‌های مرزی (بسته $\iff\partial A\subseteq A$، باز $\iff\partial A\cap A=\varnothing$، هم‌باز‌وبسته $\iff\partial A=\varnothing$ — که دقیقاً همان آزمون همبندی است) به هم گره خورده‌اند؛ $\overline A$، $A'$، $\partial A$ و مجموعهٔ نقاط تراکم بنا به ساختارشان بسته‌اند، حال آن‌که مجموعهٔ نقاط منزوی $A\setminus A'$ لزوماً بسته نیست، $\overline{B(a,r)}$ می‌تواند اکیداً کوچک‌تر از گوی بسته باشد، دو مجموعهٔ بستهٔ مجزا می‌توانند در فاصلهٔ $0$ از هم بنشینند مگر آن‌که یکی فشرده باشد، $\partial A$ تنها وقتی درون تهی دارد که $A$ باز یا بسته باشد، و چگالی یعنی $\overline D=X$، یعنی «$D$ هر مجموعهٔ باز ناتهی را قطع می‌کند».

هر جایگشت به‌طور یکتا به دورهای مجزا تجزیه می‌شود، و همان نوع دوری به‌تنهایی مرتبهٔ آن (یک ک.م.م)، علامت آن، رستهٔ مزدوجی آن و تعداد جایگشت‌های هم‌شکل با آن را تعیین می‌کند — در حالی که مزدوج‌سازی و همریختی علامت به شما امکان می‌دهند تمام آرایه‌هایی را که یک سؤال کنکوری $S_n$ پیرامون آن می‌پیچد پاک کنید.

یک تابع کران‌دار روی $[a,b]$ دقیقاً وقتی ریمان‌انتگرال‌پذیر است که انتگرال‌های بالایی و پایینی داربوی آن برابر باشند — هم‌ارز با اینکه افرازی وجود داشته باشد که $U-L<\varepsilon$ کند، و هم‌ارز با اینکه مجموعهٔ نقاط ناپیوستگی‌اش اندازهٔ لبگ صفر داشته باشد.

هر دنبالهٔ حقیقی یک $\liminf$ و یک $\limsup$ دارد (کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین حدهای زیردنباله‌ای آن) و دقیقاً وقتی همگراست که این دو بر هم منطبق شوند — و بلوک‌های یکنوا، بازه‌های تودرتو و فرض‌های درهم‌تنیده، ماشین‌های استانداردی‌اند که کنکور برای ساختن آن‌ها به کار می‌گیرد.

سوپریمم همان کوچک‌ترین کران بالاست — که بنا بر اصل تمامیت، برای هر مجموعهٔ ناتهی و کران‌دار از بالا در $\mathbb{R}$ وجود دارد، در عمل با مشخصه‌سازی $\varepsilon$ به دست می‌آید، و روی خانواده‌ای از مجموعه‌ها با نامساوی ساندویچی $\sup_i\inf A_i\le b\le\inf_i\sup A_i$ کنترل می‌شود.

دامنه را با جدول علامت تثبیت کن، نوع صورت مبهم را نام‌گذاری کن، سپس آن را با تطبیق مرتبهٔ صفرشدن (تیلور/مجانبی) یا با هوپیتال ـ پس از وارسی فرض‌هایش ـ از بین ببر؛ همین حسابداریِ مرتبه‌ها، توانِ مجهول را نیز به دست می‌دهد و درجهٔ پیوستگی/هموارییِ تابعِ ترمیم‌شده را می‌خواند.

هر انتگرال دوگانه/سه‌گانه دقیقاً با یکی از چهار حرکت حل می‌شود — تکراری‌کردن آن (فوبینی)، تغییر دستگاه مختصات (تغییر متغیر با $\lvert J\rvert$)، روی‌هم‌چیدن به شکل $\iint_{D}(\text{top}-\text{bottom})\,dA$، یا برش‌زدن آن در امتداد مجموعه‌های تراز تابع زیر انتگرال — و کار کنکور این است که پنهان کند کدام حرکت کم‌هزینه است، معمولاً پشت مثلثی که باید رسمش کنی یا دایره‌ای قطبی که بازهٔ $\theta$ آن $[0,2\pi]$ نیست.

هر بار که یک متغیر ظاهر می‌شود جملهٔ زنجیره‌ای خودش را می‌سازد — $u_x=f_x+f_z z_x$ با $z_x=-F_x/F_z$ از قضیهٔ تابع ضمنی — در حالی که یک راستا در مرتبهٔ اول با $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$ و در مرتبهٔ دوم با $D^{2}_{\mathbf u}f=\mathbf u^{\mathsf T}H_f\mathbf u$ خوانده می‌شود، و مشتق‌های جزئی مختلط تنها در جایی که پیوسته‌اند جابه‌جاپذیرند.

یک رابطهٔ بازگشتی خطی با ضرایب ثابت با تجزیهٔ چندجمله‌ای مشخصهٔ آن حل می‌شود — ریشه‌های متمایز $\sum A_i r_i^{\,n}$ می‌دهند، ریشه‌ای با مرتبهٔ تکرار $m$ جملات $n^j r^{\,n}$ را می‌افزاید — و نرخ رشد، از جمله $\lim a_n/a_{n-1}$، همان ریشه با بزرگ‌ترین قدر مطلق است که ضریبش در شرایط اولیه صفر نشده باشد.

روی هر مشبکهٔ کامل، هر نگاشت یکنوا نقطهٔ ثابت دارد: کوچک‌ترین آن‌ها اینفیمم همهٔ نقاط پیش‌ثابت $F(x)\le x$ و بزرگ‌ترین آن‌ها سوپریمم همهٔ نقاط پس‌ثابت $x\le F(x)$ است (کناستر–تارسکی) — بدون نیاز به پیوستگی، متناهی بودن یا اصل انتخاب.

رتبه، بُعد مشترک فضای سطری و فضای ستونی است و هر پرسش مربوط به بُعد — یک پوشش (span)، یک دستگاه از معادلات تعریف‌کننده، حل‌پذیری، یا پوچی — به یک شمارش فرو می‌کاهد: $\dim\operatorname{span}=\operatorname{rank}$، $\dim\{x:Ax=0\}=n-\operatorname{rank}$، که با $\mathcal{C}(A)^{\perp}=\mathcal{N}(A^{\top})$ به هم دوخته می‌شوند.

اثر، مجموع درایه‌های قطری است — یک تابعک خطی و ناوردا نسبت به ترانهاده که در $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ صدق می‌کند، پس یک ناوردای تشابهی برابر با مجموع مقادیر ویژه است، همهٔ جابه‌جاگرها را صفر می‌کند و ضرب داخلی فروبنیوس $\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(AB^{\mathsf{T}})$ را تعریف می‌کند.

گرد کردن هر عدد حقیقی را روی شبکه‌ای می‌نشاند که فاصلهٔ محلی‌اش یک واحد در آخرین رقم است، عدد شرطی دقیقاً همان ضریبی است که مسئله با آن این خطای اجتناب‌ناپذیر داده را در پاسخ تقویت می‌کند، و الگوریتم پایدارِ پسرو تنها قول می‌دهد که مسئله‌ای مجاور را به‌طور دقیق حل کرده است.

کمینه‌ساز کمترین مربعات برای $\|Ax-b\|_2$ همواره وجود دارد (همان تصویر عمودی $b$ بر $\mathcal{R}(A)$ است) و دقیقاً هنگامی یکتاست که ستون‌های ماتریس ضرایب مستقل خطی باشند؛ در این حالت جواب معادلات نرمال $A^{T}Ax=A^{T}b$ است.