مبانی آنالیز ریاضیReal Analysis
آنالیز ریاضی بهصورت دقیق و اصولی: فضاهای متریک، دنباله‌ها و سری‌های توابع، همگرایی یکنواخت، پیوستگی و مشتق‌گیری.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 6
هر سری توانی یک شعاع R دارد (کوشی–هادامارد) که در درون آن به‌طور مطلق و روی فشرده‌ها به‌طور یکنواخت همگراست؛ همهٔ کار اصلی در دو نقطهٔ انتهایی است، جایی که همگرایی مطلق، همگرایی مشروط و قضیهٔ آبل از هم جدا میشوند.
همگرایی یکنواخت دقیقاً یعنی sup_x f_n-f → 0 — با ترتیب سورهای ∃ N ∀ x ؛ این همگرایی پیوستگی، پیوستگی یکنواخت، کران‌داری و انتگرال ریمان را روی بازه‌های کران‌دار حفظ می‌کند (و جابه‌جایی ∑leftrightarrow∫ را مجاز می‌سازد)، تنها وقتی به مشتق‌ها منتقل می‌شود که خودِ مشتق‌ها یکنواخت همگرا باشند (خارج‌قسمت‌های تفاضلی به پیمانهٔ پیوستگی f' نیاز دارند)، با آزمون M / لایب‌نیتس یکنواخت / دیریکله / آبل، با کران‌های نُرم سوپریمم از راه نامساوی میانگین حسابی–هندسی یا با یک انقباض به‌دست می‌آید، با برآمدگی‌ای که صرفاً جابه‌جا می‌شود نابود می‌گردد، تعیین می‌کند چه مجموعه‌هایی در (C(K), · _∞) بسته‌اند، و با هم‌پیوستگی، دینی، آرتزلا–آسکولی، هسته‌های تمرکز و استون–وایرشتراس در هم تنیده است.
یک تابع حقیقیِ پیوسته حدها را حفظ می‌کند و روی بازه‌ها سه قضیهٔ نیرومند را به ارث می‌برد — مقدار میانی، مقدار اکسترمم (فشردگی)، و این واقعیت که هر تزریق پیوسته یک یکنوایی اکید و همسان‌ریختی روی تصویر خود است — در حالی که مجموعه‌های تراز، صفر و نقاط ثابت آن دقیقاً همان مجموعه‌های بسته‌اند و رفتارش در نقطهٔ انتهاییِ ناموجود را کران‌داری مجموعه‌های تراز تعیین می‌کند، نه هرگز پیوستگی به‌تنهایی.
یک تابع کران‌دار روی [a,b] دقیقاً وقتی ریمان‌انتگرال‌پذیر است که انتگرال‌های بالایی و پایینی داربوی آن برابر باشند — هم‌ارز با اینکه افرازی وجود داشته باشد که U-L<ε کند، و هم‌ارز با اینکه مجموعهٔ نقاط ناپیوستگی‌اش اندازهٔ لبگ صفر داشته باشد.
هر دنبالهٔ حقیقی یک liminf و یک limsup دارد (کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین حدهای زیردنباله‌ای آن) و دقیقاً وقتی همگراست که این دو بر هم منطبق شوند — و بلوک‌های یکنوا، بازه‌های تودرتو و فرض‌های درهم‌تنیده، ماشین‌های استانداردی‌اند که کنکور برای ساختن آن‌ها به کار می‌گیرد.
سوپریمم همان کوچک‌ترین کران بالاست — که بنا بر اصل تمامیت، برای هر مجموعهٔ ناتهی و کران‌دار از بالا در R وجود دارد، در عمل با مشخصه‌سازی ε به دست می‌آید، و روی خانواده‌ای از مجموعه‌ها با نامساوی ساندویچی sup_iinf A_i≤ b≤inf_isup A_i کنترل می‌شود.