ارزش زمانی پول و بازده مرکب

کل دستگاه ارزش زمانی پول — مرکب کردن و تنزیل، چهار ضریب بهره، همهٔ الگوهای اقساط/عایدی دائمی/رشد، نرخ اسمی در برابر نرخ مؤثر، و بازده مرکب (هندسی) چنددوره‌ای همراه با نامساوی میانگین حسابی–هندسی که بر آن حاکم است.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

ارزش زمانی پول (time value of money, TVM) این اصل است که یک ریالِ امروز از یک ریالِ وعده‌داده‌شده برای تاریخی در آینده باارزش‌تر است، زیرا ریال امروز را می‌توان به کار انداخت و در فاصلهٔ زمانی میان دو تاریخ از آن بازده گرفت. بنابراین جریان‌های نقدی که تاریخ‌های متفاوتی دارند نه قابل مقایسه‌اند و نه قابل جمع؛ آن‌ها تنها زمانی قابل مقایسه می‌شوند که با دو عملیاتی که تمام این مبحث را می‌سازند به یک تاریخ مشترک منتقل شوند — مرکب کردن (compounding) که مبلغ را به جلو می‌برد، و تنزیل (discounting) که آن را به عقب بازمی‌گرداند. نرخ تبدیل میان دو تاریخ همان نرخ تنزیل / نرخ بازده مورد انتظار (discount rate / required rate of return) یعنی $r$ است که از نظر اقتصادی هزینهٔ فرصت سرمایه (opportunity cost of capital) به شمار می‌رود. تصویر آینه‌ای همین اصل در سمت عملکرد این است که بازده‌های دوره‌های متوالی مرکب (ضربی) می‌شوند و نه جمعی، پس میانگین درستِ یک سری بازده در طول زمان میانگین هندسی (geometric mean) است و هرگز میانگین حسابی ساده نیست.

هر چیز دیگری در مدیریت مالی که بیش از یک تاریخ را در بر می‌گیرد — قیمت‌گذاری اوراق قرضه، ارزش‌گذاری سهام، ارزش فعلی خالص و نرخ بازده داخلی، اقساط وام، تصمیم اجاره در برابر خرید، سالانه‌کردن بازده یک سبد — همین یک ایده است که بر الگوی خاصی از جریان‌های نقدی اِعمال شده است.

۱. خاستگاه — Origin

حساب بهرهٔ مرکب بسیار قدیمی‌تر از رشتهٔ مالی است (به حساب بازرگانی و جدول‌های اکچوئری سده‌های هجدهم و نوزدهم تعلق دارد)، پس فرمول‌ها پدیدآورندهٔ واحدی ندارند. آنچه صاحب دارد، نظریهٔ نوینی است که بر آن‌ها بنا شده است:

منبع	سهم
اروینگ فیشر (Irving Fisher)، The Theory of Interest (۱۹۳۰)	بهره به‌عنوان قیمتی که بی‌صبری / ترجیح زمانی (impatience, time preference) را با بهره‌وری فرصت‌های سرمایه‌گذاری آشتی می‌دهد؛ ارزش فعلی به‌عنوان همان عملیات ارزش‌گذاری تثبیت شد.
جان بر ویلیامز (John Burr Williams)، The Theory of Investment Value (۱۹۳۸)	ارزش هر دارایی برابر ارزش فعلی وجه نقدی است که به مالکش خواهد پرداخت — بنیان مدل تنزیل سود تقسیمی.
مایرون گوردون و الی شاپیرو (Myron J. Gordon and Eli Shapiro) (۱۹۵۶)	عایدی دائمی با رشد ثابت، $P_0 = D_1/(r-g)$ ، فرمول پرکاربرد ارزش نهایی.
نامساوی کلاسیک میانگین حسابی–هندسی (AM–GM)	دلیل ریاضی اینکه بازده میانگین مرکب (هندسی) هرگز نمی‌تواند از میانگین حسابی بیشتر شود.

مسئله‌ای که این دستگاه برای حل آن ابداع شد در یک جمله بیان می‌شود: نمی‌توانید یک ریال دریافتی در $t=0$ را با یک ریال دریافتی در $t=5$ جمع کنید. تنزیل، جریانی از مبالغ تاریخ‌دار را به یک عدد واحد در یک تاریخ واحد تبدیل می‌کند و همین است که خاصیت جمع‌پذیری را بازمی‌گرداند و در نتیجه اساساً امکان مقایسهٔ طرح‌ها، اوراق بهادار و بسته‌های تأمین مالی را فراهم می‌آورد.

در کتاب‌های درسی استاندارد ایرانی (مدیریت مالی — جهانخانی و پارسائیان، و ترجمهٔ Fundamentals of Corporate Finance از راس–وسترفیلد–جردن) این دستگاه در قالب چهار ضرایب / عوامل (interest factors) جدول‌بندی می‌شود: FVIF، PVIF، FVIFA، PVIFA. پرسش‌های کنکور معمولاً دقیقاً با همین نمادها طرح می‌شوند.

۲. ساختار — The structure itself

۲.۱ دو جزء بنیادی: یک مبلغ واحد

FV_n = PV\,(1+r)^{n} \qquad\Longleftrightarrow\qquad PV = \frac{FV_n}{(1+r)^{n}} = FV_n\,(1+r)^{-n}

مرکب کردن و تنزیل همان یک معادله‌اند که برای مجهول‌های متفاوت حل شده است. هر مسئلهٔ ارزش زمانی پول پنج متغیر دارد — $PV$ ، $FV$ ، $r$ ، $n$ و مبلغ پرداخت $PMT$ — و هر چهارتا پنجمی را تعیین می‌کنند.

۲.۲ چهار ضریب (و دو معکوس آن‌ها)

ضریب (factor) ارزش آن الگو وقتی جریان نقدی یک ریال باشد است؛ آن را در مبلغ ریالی واقعی ضرب کنید تا کار تمام شود.

فارسی	English	نماد	فرمول	دامنه
ضریب ارزش آتی یک مبلغ	future-value interest factor	$FVIF(n,r)$	$(1+r)^{n}$	$> 1$
ضریب ارزش فعلی یک مبلغ	present-value interest factor	$PVIF(n,r)$	$\dfrac{1}{(1+r)^{n}}$	$< 1$
ضریب ارزش آتی اقساط مساوی	FV interest factor of an annuity	$FVIFA(n,r)$	$\dfrac{(1+r)^{n}-1}{r}$	$\ge n$
ضریب ارزش فعلی اقساط مساوی	PV interest factor of an annuity	$PVIFA(n,r)$	$\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}$	$< n$ ، ولی $> 1$ برای $n>1$
ضریب بازیافت سرمایه	capital-recovery factor	$CRF(n,r)$	$\dfrac{1}{PVIFA(n,r)}$	قسطی که ارزش فعلی‌اش یک ریال است
ضریب وجوه استهلاکی	sinking-fund factor	$SFF(n,r)$	$\dfrac{1}{FVIFA(n,r)}$	سپرده‌ای که ارزش آتی‌اش یک ریال است

دو اتحاد، این جدول را به هم گره می‌زنند و خودشان هم قابل طرح در آزمون‌اند، چون صورت سؤال اغلب یک ضریب را به شما می‌دهد و ضریب دیگری را می‌خواهد:

PVIFA(n,r)=\frac{1-PVIF(n,r)}{r} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,PVIF(n,r)=1-r\cdot PVIFA(n,r)\,}

FVIFA(n,r)=PVIFA(n,r)\cdot(1+r)^{n}, \qquad CRF(n,r)=SFF(n,r)+r

۲.۳ فهرست الگوهای جریان نقدی

فرض کنید $C$ مبلغ پرداخت، $r$ نرخ دوره‌ای، $g$ نرخ رشد و $n$ تعداد پرداخت‌ها باشد. همهٔ فرمول‌های زیر در $t=0$ و با فرض نخستین پرداخت در $t=1$ نوشته شده‌اند، مگر آنکه در سطر خلافش آمده باشد.

الگو — Pattern	زمان‌بندی پرداخت‌ها	ارزش فعلی در $t=0$
اقساط عادی (ordinary annuity)	پایان هر دوره، $t=1..n$	$C\cdot\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}$
اقساط اول دوره (annuity due)	ابتدای هر دوره، $t=0..n-1$	$C\cdot\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}\,(1+r)$
اقساط با تأخیر (deferred annuity)	$n$ پرداخت که از $t=k+1$ آغاز می‌شود	$C\cdot PVIFA(n,r)\cdot(1+r)^{-k}$
عایدی دائمی (perpetuity)	برای همیشه، از $t=1$	$\dfrac{C}{r}$
عایدی دائمی رشدیابنده (growing perpetuity / Gordon)	برای همیشه، با رشد $g<r$	$\dfrac{C_1}{r-g}$
اقساط رشدیابنده (growing annuity)	$n$ پرداخت، با رشد $g$	$\dfrac{C_1}{r-g}\left[1-\left(\dfrac{1+g}{1+r}\right)^{n}\right]$
رشد دومرحله‌ای (two-stage growth)	$g_1$ برای $n$ دوره، سپس $g_2$ برای همیشه	$\underbrace{\dfrac{C_1}{r-g_1}\left[1-\left(\dfrac{1+g_1}{1+r}\right)^{n}\right]}_{\text{explicit stage}}+\underbrace{\dfrac{1}{(1+r)^{n}}\cdot\dfrac{C_{n}(1+g_2)}{r-g_2}}_{\text{terminal value, discounted}}$

سه قاعدهٔ ساختاری بر این جدول حاکم‌اند و بیشتر اشتباهات کنکوری از همین‌ها ناشی می‌شود:

ارزش‌های فعلی جمع‌پذیرند. دو بلوک از یک جریان با جمع ترکیب می‌شوند، هرگز با ضرب. ضرب دو ارزش فعلی هیچ معنای مالی ندارد.
هر فرمول ارزش فعلی بالا، یک دوره پیش از نخستین پرداختش تاریخ‌گذاری شده است. عایدی دائمی که نخستین پرداختش در $t=1$ است، در $t=0$ ارزش‌گذاری می‌شود؛ ارزش نهایی‌ای که از $C_{n+1}$ محاسبه شده در $t=n$ تاریخ دارد و بنابراین باید $n$ دوره تنزیل شود، نه $n+1$ و نه یک دوره.
مخرج عایدی دائمی رشدیابنده $r-g$ است، نه $1+r-g$ ، و شرط $g<r$ را می‌طلبد؛ در مقابل، فرمول اقساط رشدیابنده حتی وقتی $g>r$ باشد نیز معتبر می‌ماند (کروشه و مخرج با هم تغییر علامت می‌دهند).

۲.۴ قراردادهای نرخ: هماهنگ‌کردن نرخ با دوره

اگر سال به $m$ دورهٔ مرکب‌شدن تقسیم شود و نرخ اسمی سالانه (nominal annual rate / APR) اعلام‌شده $r_{nom}$ باشد، نرخ دوره‌ای برابر $r_{nom}/m$ است و

EAR=\left(1+\frac{r_{nom}}{m}\right)^{m}-1 \qquad\xrightarrow[\ m\to\infty\ ]{}\qquad EAR_{\text{cont}}=e^{\,r_{nom}}-1

قرارداد	فارسی	خوانش
نرخ دوره‌ای	نرخ دوره‌ای	همان چیزی که واقعاً در $(1+r)^{n}$ می‌نشیند؛ $n$ باید بر حسب همان دوره‌ها شمرده شود
اسمی / APR	نرخ اسمی سالانه	یک اعلام قیمت است، نه نرخ رشد؛ بدون $m$ بی‌معناست
نرخ مؤثر سالانه (EAR)	نرخ مؤثر سالانه	ضریب رشد واقعی یک‌ساله منهای یک — تنها نرخی که می‌توان دو محصول با $m$ های متفاوت را بر مبنای آن مقایسه کرد
پیوسته	مرکب پیوسته	حد $m\to\infty$ ؛ $FV=PV\,e^{rt}$ و $r_{\text{cont}}=\ln(1+EAR)$

برای یک EAR ثابت، هرچه مرکب‌شدن مکررتر باشد، نرخ اسمی‌ای که آن را تولید می‌کند پایین‌تر است: $r_{\text{cont}} < r_{nom,12} < r_{nom,4} < r_{nom,1}=EAR$ . همین ترتیب به‌تنهایی بسیاری از پرسش‌های «این نرخ اعلام‌شده کدام است؟» را حل می‌کند.

۲.۵ سمت بازده: بازده مرکب (چنددوره‌ای)

مفهوم	فارسی	فرمول
بازده یک دورهٔ نگهداری	بازده دورهٔ نگهداری	$r_t=\dfrac{P_t-P_{t-1}+D_t}{P_{t-1}}$
بازده زنجیره‌ای (مرکب) در $n$ دوره	بازده مرکب چند دوره‌ای	$1+R=\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)=\dfrac{P_n}{P_0}$ (قیمت‌های میانی حذف می‌شوند)
بازده میانگین هندسی / CAGR	میانگین هندسی بازده	$R_G=\left[\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)\right]^{1/n}-1=\left(\dfrac{P_n}{P_0}\right)^{1/n}-1$
بازده میانگین حسابی	میانگین حسابی بازده	$R_A=\dfrac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}r_t$
بازده لگاریتمی (مرکب پیوسته)	بازده لگاریتمی	$r_{\ell}=\ln\!\left(\dfrac{P_n}{P_0}\right)$ ، جمع‌پذیر در طول دوره‌ها

رابطهٔ میان این دو میانگین تجربی نیست، بلکه همان نامساوی میانگین حسابی و هندسی (AM–GM inequality) است که بر بازده‌های ناخالص $1+r_t>0$ اعمال شده است:

R_G \le R_A,\qquad\text{with equality if and only if every } r_t \text{ is identical,} \qquad\text{and}\qquad R_G \approx R_A-\frac{\sigma^{2}}{2}

کسری $\sigma^{2}/2$ همان اثر کاهندهٔ نوسان (volatility drag) است: برای یک سری کاملاً یکنواخت صفر است و با واریانس بازده‌ها بزرگ می‌شود. یک نتیجهٔ کاربردی — قاعدهٔ ۷۲ (rule of 72) — این است که پول تقریباً در $72/(100r)$ دوره دو برابر می‌شود.

۳. طرز به‌کارگیری — How to apply it

الف. ارزش‌گذاری یک جریان (تمرین شش‌مرحله‌ای).

خط زمان را رسم کنید و مشخص کنید هر جریان نقدی چه زمانی رخ می‌دهد. نود درصد خطاهای ارزش زمانی پول خطای زمان‌بندی است، نه خطای جبری.
نرخ را با دوره هماهنگ کنید. جریان‌های نقدی ماهانه نرخ ماهانه و $n$ برحسب ماه می‌خواهند. هرگز $r$ سالانه را با $n$ فصلی مخلوط نکنید.
الگو را با جدول بند ۲.۳ طبقه‌بندی کنید: مبلغ واحد، اقساط مساوی، اقساط اول دوره، با تأخیر، عایدی دائمی، رشدیابنده، دومرحله‌ای.
هر بلوک را در تاریخ طبیعی خودش ارزش‌گذاری کنید — به یاد داشته باشید هر فرمول ارزش فعلی یک دوره پیش از نخستین پرداختش می‌نشیند.
هر بلوک را با $(1+r)^{\pm k}$ به تاریخ مشترک منتقل کنید و سپس آن‌ها را جمع کنید.
بزرگی نتیجه را وارسی کنید: $PVIF<1$ ، $PVIFA<n$ ، و ارزش فعلی هرگز نباید از مجموع تنزیل‌نشدهٔ جریان‌های نقدی بیشتر شود.

ب. کار با بازده‌ها.

برای رفتن از قیمت‌ها به بازده چنددوره‌ای، به‌صورت ضربی زنجیر کنید؛ قیمت‌های میانی حذف می‌شوند، پس فقط اولی و آخری اهمیت دارند.
برای سالانه‌کردن ریشه بگیرید: $r_{\text{annual}}=(1+R_{\text{total}})^{1/n}-1$ . تقسیم بازده تجمعی بر $n$ همان بهرهٔ ساده است و همیشه واقعیت را بیش‌ازحد نشان می‌دهد.
برای سالانه‌زدایی یا مقایسهٔ نرخ‌های اعلام‌شده، از مسیر EAR عبور کنید.
هنگام توصیف آنچه واقعاً بر ثروت گذشته است میانگین هندسی را گزارش کنید؛ هنگام برآورد بازده مورد انتظار یک دورهٔ واحد آینده میانگین حسابی را گزارش کنید.

ج. قاعدهٔ تصمیمی که از این‌جا زاده می‌شود. به‌محض آنکه یک جریان ارزش فعلی پیدا کرد، قواعد سرمایه‌گذاری بی‌درنگ به دست می‌آیند: بپذیرید اگر $NPV=\sum_t CF_t(1+r)^{-t}>0$ ؛ IRR همان نرخی است که آن مجموع را صفر می‌کند؛ و نقطهٔ سربه‌سر مالی (financial break-even) سطح تولیدی است که در آن $NPV=0$ ، یعنی دقیقاً جایی که $IRR=r$ .

۴. مثال حل‌شده — Worked mini-example

بخش ۱ — یک جریان، به چهار شکل. طرحی سالانه $C=30$ میلیون ریال به مدت $n=5$ سال می‌پردازد و بازده مورد انتظار $r=10\%$ است.

اقساط عادی. $PVIFA(5,10\%)=\dfrac{1-(1.1)^{-5}}{0.10}=\dfrac{1-0.62092}{0.10}=3.7908$ ، پس

PV = 30 \times 3.7908 = 113.72 \text{ million rial}

اگر طرح امروز $100$ هزینه داشته باشد، $NPV = 113.72-100 = +13.72 > 0$ ، پس پذیرفته می‌شود.

اقساط اول دوره (پرداخت‌ها در ابتدای هر سال): در $(1+r)$ ضرب کنید:

PV_{\text{due}} = 113.72 \times 1.10 = 125.09

با تأخیر (همان پنج پرداخت، اما نخستین آن‌ها در $t=4$ می‌رسد، یعنی $k=3$ دوره تأخیر):

PV = 113.72 \times (1.1)^{-3} = 113.72 \times 0.7513 = 85.44

دائمی. اگر مبلغ $30$ برای همیشه ادامه یابد، $PV = 30/0.10 = 300$ ؛ و اگر افزون بر آن با نرخ $g=4\%$ برای همیشه رشد کند، $PV = 30/(0.10-0.04) = 500$ .

بخش ۲ — رشد دومرحله‌ای. حال فرض کنید نخستین پرداخت $C_1=30$ باشد که در $3$ سال اول با $g_1=20\%$ و سپس برای همیشه با $g_2=4\%$ رشد می‌کند، با $r=10\%$ .

مرحلهٔ ۱ — اقساط رشدیابنده:

PV_1=\frac{30}{0.10-0.20}\left[1-\left(\frac{1.20}{1.10}\right)^{3}\right]=\frac{30}{-0.10}\bigl[1-1.29827\bigr]=(-300)(-0.29827)=89.48

(فرمول با $g>r$ هم دوام می‌آورد، چون کروشه هم‌زمان با مخرج منفی می‌شود. وارسی مستقیم: $27.27+29.75+32.46=89.48$ .)

مرحلهٔ ۲ — ارزش نهایی. آخرین جریان صریح $C_3=30(1.2)^{2}=43.20$ است، پس $C_4=43.20\times1.04=44.93$ و

TV_3=\frac{C_4}{r-g_2}=\frac{44.93}{0.10-0.04}=748.8 \qquad\Longrightarrow\qquad PV_2=\frac{748.8}{(1.1)^{3}}=\frac{748.8}{1.331}=562.6

جمع کل: $PV = 89.48 + 562.6 = 652.1$ — دو بلوک جمع شده‌اند و ارزش نهایی دقیقاً سه دوره تنزیل شده است، چون تاریخ آن $t=3$ است.

بخش ۳ — تناوب مرکب‌شدن. نرخ اسمی $24\%$ سالانه با مرکب‌شدن ماهانه یعنی نرخ دوره‌ای $2\%$ :

EAR=(1.02)^{12}-1=0.2682=26.82\% \qquad\text{versus}\qquad e^{0.24}-1=27.12\% \text{ continuously.}

بخش ۴ — یک بازده چنددوره‌ای. قیمت یک دارایی در دو سال $200 \to 300 \to 240$ حرکت می‌کند، پس $r_1=+50\%$ و $r_2=-20\%$ .

1+R=(1.50)(0.80)=1.20=\frac{240}{200} \qquad\Longrightarrow\qquad R=+20\% \text{ cumulative}

R_G=(1.20)^{1/2}-1=9.54\% \text{ per year}, \qquad R_A=\frac{0.50-0.20}{2}=15\% \text{ per year}

همان‌طور که نامساوی AM–GM حکم می‌کند $R_G < R_A$ ، و شکاف میان آن‌ها همان اثر کاهندهٔ نوسان است. توجه کنید پاسخ ساده‌لوحانهٔ «بازده تجمعی را بر $n$ تقسیم کن»، یعنی $20\%/2=10\%$ ، نیز نادرست است: با $10\%$ در سال، دارایی به $200(1.1)^2=242$ می‌رسید، نه $240$ .

۵. اشتباه نشود با… — Confused with

ضریب‌ها

جفت	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
$PVIF$ در برابر $PVIFA$	یک پرداخت در برابر $n$ پرداخت	«یک مبلغ / یک ریال در پایان دورهٔ $n$ » ⇐ $PVIF$ (همیشه $<1$ )؛ «هر دوره / سالانه» ⇐ $PVIFA$ (برای $n>1$ همیشه $>1$ ). پل بزنید، معکوس نکنید: $PVIF = 1-r\cdot PVIFA$
$PVIFA$ در برابر ضریب بازیافت سرمایه	ارزش فعلی یک قسط یک‌ریالی در برابر قسطی که ارزش فعلی‌اش یک ریال است	این دو معکوس یکدیگرند. نوشتن کورکورانهٔ $1/PVIFA$ آنجا که ضریب مبلغ واحد خواسته شده، تلهٔ کلاسیک است
$FVIFA$ در برابر ضریب وجوه استهلاکی	ارزش آتی یک سپردهٔ یک‌ریالی در برابر سپردهٔ لازم برای انباشت یک ریال	باز هم معکوس یکدیگرند؛ $CRF = SFF + r$
$PVIF$ در برابر $FVIF$	تنزیل در برابر مرکب کردن	معکوس‌اند: $PVIF\cdot FVIF = 1$ ؛ یکی کمتر از ۱ و دیگری بیشتر از ۱ است

الگوها

جفت	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
اقساط عادی در برابر اقساط اول دوره	پرداخت در پایان دوره در برابر ابتدای دوره	اقساط اول دوره دقیقاً $(1+r)$ برابر بیشتر می‌ارزد؛ دنبال «اول هر دوره / ابتدای سال» بگردید
عایدی دائمی در برابر اقساط	افق نامتناهی در برابر متناهی	در $C/r$ اصلاً $n$ وجود ندارد
عایدی دائمی رشدیابنده (گوردون) در برابر اقساط رشدیابنده	برای همیشه در برابر $n$ پرداخت	اقساط، کروشهٔ $\left[1-\left(\tfrac{1+g}{1+r}\right)^{n}\right]$ را با خود دارد؛ عایدی دائمی ندارد و شرط $g<r$ می‌خواهد
ارزش فعلی دومرحله‌ای در برابر گوردون تک‌مرحله‌ای	دو بلوک جمع‌شده در برابر یک بلوک	اگر دو نرخ رشد نام برده شده باشد، یک فرمول گوردون نمی‌تواند کل پاسخ باشد
اقساط با تأخیر در برابر اقساط بدون تأخیر	نخستین پرداخت در $t=k+1$ در برابر $t=1$	در $(1+r)^{-k}$ ضرب کنید؛ خودِ ضریب اقساط تغییری نمی‌کند

نرخ‌ها و بازده‌ها

جفت	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
بهرهٔ ساده (simple) در برابر بهرهٔ مرکب (compound)	بهره فقط بر اصل در برابر بهره بر بهره	$FV=PV(1+rn)$ در برابر $FV=PV(1+r)^{n}$ ؛ با بهرهٔ ساده، $50\%$ برای دو سال پول را دو برابر می‌کند، ولی مرکب کردن آن را $2.25\times$ می‌کند
اسمی در برابر مؤثر	یک اعلام قیمت در برابر نرخ رشد واقعی	با $m>1$ همیشه $EAR>r_{nom}$ ؛ فقط در مرکب‌شدن سالانه بر هم منطبق می‌شوند
تجمعی (HPR) در برابر سالانه‌شده	کل افق در برابر هر سال	با ریشهٔ $n$ اُم سالانه کنید، هرگز با تقسیم
میانگین حسابی در برابر هندسی بازده	بازده مورد انتظار یک دورهٔ آینده در برابر رشد محقق‌شدهٔ ثروت	$R_G\le R_A$ همیشه، و تساوی فقط وقتی بازده همهٔ دوره‌ها یکسان باشد — پس صورت سؤالی که «همواره / always» دارد، نامساوی ضعیف $\le$ را می‌طلبد
هندسی در برابر لگاریتمی (پیوسته)	$(P_n/P_0)^{1/n}-1$ در برابر $\ln(P_n/P_0)$	بازده‌های لگاریتمی در طول دوره‌ها جمع می‌شوند اما نرخ مؤثر را کمتر نشان می‌دهند؛ $r_\ell=\ln(1+R_G)<R_G$

نکتهٔ کنکوری: چهار وجه تمایز، تقریباً هر پرسش ارزش زمانی پول را فیصله می‌دهد و هر کدام ارزش آن را دارد که به‌صورت یک جمله حفظ شود. (۱) با ریشه سالانه کنید، هرگز با تقسیم — دو برابر شدن در $n$ سال یعنی $2^{1/n}-1$ ( $100\%$ در یک سال، $41.4\%$ در دو سال، $26.0\%$ در سه سال)، و بازده‌ها مرکب می‌شوند نه جمع، پس $+50\%$ و پس از آن $-50\%$ شما را $-25\%$ فقیرتر می‌کند، نه سربه‌سر. (۲) ارزش‌های فعلی جمع می‌شوند، هرگز ضرب نمی‌شوند — هر گزینه‌ای که دو بلوک ارزش‌گذاری را با $\times$ به هم بچسباند، در نگاه اول غلط است. (۳) مخرج عایدی دائمی رشدیابنده $r-g$ است، نه $1+r-g$ ، و ارزش نهایی‌ای که تولید می‌کند در $t=n$ تاریخ دارد، پس دقیقاً $n$ دوره تنزیل می‌شود. (۴) $PVIF<1<PVIFA$ — اگر صورت سؤال «PVIFA» را به شما داد و ارزش یک ریال واحد را خواست، به‌جای معکوس‌کردن با $PVIF=1-r\cdot PVIFA$ پل بزنید. زیر نمرهٔ منفی، این‌ها را نخست به‌عنوان حذف‌کننده به کار ببرید: مرتبهٔ بزرگی و ساختار معمولاً پیش از هر محاسبه‌ای سه گزینه را حذف می‌کنند.

فرمول‌های کلیدی

Future value of a single sum

FV_n = PV\,(1+r)^{n}

Present value of a single sum (PVIF)

PV = \frac{FV_n}{(1+r)^{n}},\qquad PVIF(n,r)=\frac{1}{(1+r)^{n}}

Present value of an ordinary annuity (PVIFA)

PVIFA(n,r)=\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}

Future value of an ordinary annuity (FVIFA)

FVIFA(n,r)=\frac{(1+r)^{n}-1}{r}

Bridge between the single-sum and annuity factors

PVIF(n,r)=1-r\cdot PVIFA(n,r)

Annuity due

PV_{\text{due}}=C\cdot PVIFA(n,r)\,(1+r)

Deferred annuity (first payment at t = k+1)

PV = C\cdot PVIFA(n,r)\,(1+r)^{-k}

Perpetuity

PV=\frac{C}{r}

Growing perpetuity (Gordon growth), g < r

PV=\frac{C_1}{r-g}

Growing annuity

PV=\frac{C_1}{r-g}\left[1-\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{n}\right]

Two-stage growth: explicit stage plus discounted terminal value

PV=\frac{C_1}{r-g_1}\left[1-\left(\frac{1+g_1}{1+r}\right)^{n}\right]+\frac{1}{(1+r)^{n}}\cdot\frac{C_n(1+g_2)}{r-g_2}

Capital-recovery and sinking-fund factors

CRF(n,r)=\frac{1}{PVIFA(n,r)},\qquad SFF(n,r)=\frac{1}{FVIFA(n,r)},\qquad CRF=SFF+r

Effective annual rate from a nominal rate

EAR=\left(1+\frac{r_{nom}}{m}\right)^{m}-1\;\xrightarrow[m\to\infty]{}\;e^{\,r_{nom}}-1

Holding-period return

r_t=\frac{P_t-P_{t-1}+D_t}{P_{t-1}}

Chain-linked multi-period compound return

1+R=\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)=\frac{P_n}{P_0}

Geometric mean return (CAGR)

R_G=\left(\frac{P_n}{P_0}\right)^{1/n}-1=\left[\prod_{t=1}^{n}(1+r_t)\right]^{1/n}-1

Arithmetic mean return and the AM-GM ordering

R_A=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}r_t,\qquad R_G\le R_A,\qquad R_G\approx R_A-\frac{\sigma^{2}}{2}

Net present value

NPV=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^{t}}

#time-value-of-money#present-value#annuity-factors#growing-perpetuity#compound-return#geometric-mean-return#effective-annual-rate

سوالات تمرینی · 8/13

مدیریت مالیمتوسطارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۵۴

ارزش فعلی جریان‌های نقدی به مقدار یک واحد پولی که در ۳ دوره اول ۱۵ درصد و پس از آن ۵ درصد رشد ثابت دارد، با نرخ تنزیل ۴۰ درصد برابر کدام است؟

مدیریت مالیآسانارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۵۵

ارزش فعلی یک ریال، ۵ دوره بعد با نرخ ۱۰ درصد، کدام است؟ (با فرض: PVIFa(۵, ٪۱۰) = ۳/۸)

مدیریت مالیمتوسطارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۵۸

ارزش یک دارایی هنری در طول ۲ سال گذشته ۲ برابر شده است. بازده سالانه این دارایی چند درصد بوده است؟

مدیریت مالیمتوسطارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۶۲

قیمت پایانی سهم A در ابتدای هریک از ۳ هفته گذشته به شرح زیر بوده است. بازده مرکب پیوسته سهم A از ۱۴۰۴/۲/۱ تا ۱۴۰۴/۲/۱۵ کدام است؟ تاریخ قیمت ـ ریال --- --- ۱۴۰۴/۲/۱ ۱۰،۰۰۰ ۱۴۰۴/۲/۸ ۱۵،۰۰۰ ۱۴۰۴/۲/۱۵…

مدیریت مالیآسانارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۶۵

میانگین هندسی بازده همواره ……………… .

مدیریت مالیمتوسطارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۵۴

باشگاهی برای عقد قرارداد ده‌ساله به مبلغ کل ۱۰۰ میلیارد تومان، به یک ورزشکار، ۳ پیشنهاد به شرح زیر ارائه کرده است. ترتیب اولویت پیشنهادها برای ورزشکار کدام است؟ الف ـ مبلغ قرارداد در ده قسط مساوی…

مدیریت مالیآسانارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۵۸

ارزش آتی یک مجموعه اقساط مساوی به مدت ۳۰ سال، که در پایان هر سال با نرخ ۲۵ درصد سرمایه‌گذاری می‌شود، معادل ۱۸۵ میلیون ریال است. اگر این اقساط به جای پایان دوره، در ابتدای دوره سرمایه‌گذاری شود، ارزش…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۱۰

در طرح A بلافاصله پس از بازنشستگی، ۲۰ میلیارد ریال به شما پرداخت می‌شود. در طرح B پس از بازنشستگی به‌طور دائم ماهیانه ۱۰۰ میلیون ریال پرداخت می‌شود. با این فرض که ریسک و مبلغ سرمایه‌گذاری شما در هر…

همهٔ 13 سؤال →