KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومالکترومغناطیسمگنتواستاتیک (Magnetostatics)

مغناطیس‌ایستایی: بار متحرک، پتانسیل‌ها و مواد مغناطیسی

میدان‌های جریان پایا، پتانسیل‌های نرده‌ای و برداری، مغناطش و شرایط مرزی را برای بارهای چرخان، کره‌های مغناطیسی، پاسخ مواد و نیروهای دقیق حلقهٔ متناهی به کار ببرید.

کارت مفهوم کنکور ارشد فیزیک

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی: میدان‌های جریان‌های پایا

مغناطیس‌ایستایی مطالعهٔ میدان‌های مغناطیسی است که توسط جریان‌های پایا (مستقل از زمان) تولید می‌شوند. توزیع بار و توزیع جریان هر دو باید مستقل از زمان باشند. به‌ویژه، چگالی بار مستقل از زمان است، بنابراین معادلهٔ پیوستگی به یک جریان با دیورژانس صفر فروکاسته می‌شود،

∂ρ∂t=0  ⇒  ∇⋅J⃗=0.\frac{\partial\rho}{\partial t}=0 \;\Rightarrow\; \nabla\cdot\vec{J}=0 .

در خلأ، با جریان کل به‌عنوان چشمه، معادلات ماکسول به دو قانون ایستا برای B⃗\vec{B} تفکیک می‌شوند: شار بدون منبع است و کرل توسط جریان تعیین می‌شود،

∇⋅B⃗=0,∇×B⃗=μ0 J⃗.\nabla\cdot\vec{B}=0,\qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_0\,\vec{J}.

از آنجا که B⃗\vec{B} سولنوئیدی (بدون واگرایی) است، همواره می‌توان آن را به‌صورت کرل یک پتانسیل برداری A⃗\vec{A} نوشت:

B⃗=∇×A⃗.\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.

این آنالوگ مغناطیسی E⃗=−∇V\vec{E}=-\nabla V در الکتروستاتیک است، اما در اینجا پتانسیل یک بردار است، که بازتاب نبود تک‌قطبی‌های مغناطیسی است (∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec{B}=0 در همه‌جا).

۲. قوانین و فرمول‌های کلیدی

قانون بیو–ساوار (در خلأ، یا با استفاده از جریان کل آزاد و مقید و شرایط مرزی مناسب؛ انتگرال‌گیری روی منابع در r⃗ ′\vec{r}\,'):

B⃗(r⃗)=μ04π∫J⃗(r⃗ ′)×(r⃗−r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣3 dV′.\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\vec{J}(\vec{r}\,')\times(\vec{r}-\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|^{3}}\,dV' .

قانون آمپر (شکل دیفرانسیلی و انتگرالی) — ابزار اصلی هنگامی که تقارن بالا است:

∇×B⃗=μ0J⃗,∮CB⃗⋅dℓ⃗=μ0Ienc.\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J},\qquad \oint_{\mathcal C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}} .

پتانسیل برداری. در پیمانهٔ کولن ∇⋅A⃗=0\nabla\cdot\vec{A}=0، معادلهٔ کرل به یک معادلهٔ پواسون برداری با جوابی کولن‌مانند تبدیل می‌شود:

∇2A⃗=−μ0J⃗  ⇒  A⃗(r⃗)=μ04π∫J⃗(r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣ dV′.\nabla^{2}\vec{A}=-\mu_0\vec{J} \;\Rightarrow\; \vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{J}(\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}\,dV' .

آزادی پیمانه به‌صورت A⃗→A⃗+∇λ\vec{A}\to\vec{A}+\nabla\lambda است، که B⃗\vec{B} را بدون تغییر باقی می‌گذارد.

سیم‌های بلند: پتانسیل برداری محوریِ لگاریتمی

برای سیم بی‌نهایت در امتداد محور قائم مثبت در خلأ، پیمانهٔ کولن با تقارن انتقالی A⃗=Az(s)z^\vec A=A_z(s)\hat z را انتخاب کنید که در آن ss فاصلهٔ استوانه‌ای از سیم است. علامت مهم کرل چنین است

Bϕ=−dAzds=μ0I2πs,Az(s)=−μ0I2πln⁡(ss0).B_\phi=-\frac{dA_z}{ds}=\frac{\mu_0 I}{2\pi s},\qquad A_z(s)=-\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s}{s_0}\right).

طول مرجع مثبت s0s_0 شرط Az(s0)=0A_z(s_0)=0 را تعیین می‌کند. سیم بی‌نهایت منفرد، پتانسیل متناهی با مقدار صفر در بی‌نهایت ندارد: انتگرال چشمهٔ آن به اندازهٔ یک ثابت افزوده واگراست. اختلاف لگاریتمی متناهی با انتگرال‌گیری از میدان معلوم یا تفریق مقدار مرجع از انتگرال چشمه به دست می‌آید. تغییر مرجع، یک پتانسیل محوری ثابت می‌افزاید که تبدیل پیمانه با λ=Cz\lambda=Cz است.

با جریان‌های محوری علامت‌دار، سیم‌ها در مکان‌های عرضی متفاوت را برهم‌نهی کنید. برای جریان‌های مساوی و مخالف، اولی در راستای +z^+\hat z و دومی در راستای −z^-\hat z، در فاصله‌های s1s_1 و s2s_2،

A⃗=[−μ0I2πln⁡(s1s0)+μ0I2πln⁡(s2s0)]z^=μ0I2πln⁡(s2s1)z^.\vec A=\left[-\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s_1}{s_0}\right) +\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s_2}{s_0}\right)\right]\hat z =\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s_2}{s_1}\right)\hat z.

آرگومان لگاریتم بی‌بُعد است و مرجع مشترک حذف می‌شود. برای بررسی علامت و جهت در مختصات دکارتی،

B⃗=(∂yAz)x^−(∂xAz)y^=μ0I2π(z^×s⃗1s12−z^×s⃗2s22).\vec B=(\partial_yA_z)\hat x-(\partial_xA_z)\hat y =\frac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{\hat z\times\vec s_1}{s_1^2}-\frac{\hat z\times\vec s_2}{s_2^2}\right).

در اینجا s⃗i\vec s_i در صفحهٔ عرضی از سیم ii به نقطهٔ مشاهده اشاره می‌کند. هر جمله میدان مطابق قاعدهٔ دست راستِ جریان علامت‌دار خود را می‌دهد. روی مکان هندسی نقاط با فاصلهٔ برابر، پتانسیل در این پیمانه صفر است، اما گرادیان آن و میدان مغناطیسی لزوماً صفر نیستند.

دوقطبی مغناطیسی. دور از هر حلقهٔ جریان موضعی با گشتاور m⃗=I a⃗\vec{m}=I\,\vec{a} (بردار مساحت a⃗\vec a)، بسط چندقطبی هیچ جملهٔ تک‌قطبی ندارد؛ سهم پیشرو همان دوقطبی است

A⃗dip=μ04π m⃗×r^r2,B⃗dip=μ04π 1r3[ 3(m⃗⋅r^)r^−m⃗ ].\vec{A}_{\text{dip}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\vec{m}\times\hat{r}}{r^{2}},\qquad \vec{B}_{\text{dip}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{1}{r^{3}}\big[\,3(\vec{m}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{m}\,\big].

مغناطیس‌ایستایی در ماده. با مغناطش مقید M⃗\vec{M} (گشتاور دوقطبی بر واحد حجم)، میدان کمکی را چنین تعریف می‌کنیم

H⃗=B⃗μ0−M⃗⟺B⃗=μ0(H⃗+M⃗),\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}),

که کرل آن تنها به جریان آزاد پاسخ می‌دهد:

∇×H⃗=J⃗free,∮H⃗⋅dℓ⃗=Ifree,enc.\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{\text{free}},\qquad \oint\vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{free,enc}} .

مغناطش معادل جریان‌های مقید است

J⃗b=∇×M⃗,K⃗b=M⃗×n^,\vec{J}_b=\nabla\times\vec{M},\qquad \vec{K}_b=\vec{M}\times\hat{n},

و برای یک محیط خطی، M⃗=χmH⃗\vec{M}=\chi_m\vec{H}، B⃗=μH⃗\vec{B}=\mu\vec{H} با μ=μ0(1+χm)\mu=\mu_0(1+\chi_m).

دسته‌بندی پاسخ مغناطیسی خالص، نه رسانندگی الکتریکی

برای پاسخ خطی و همسانگرد در میدان ضعیف، M⃗=χmH⃗\vec M=\chi_m\vec H برقرار است و پذیرفتاری بی‌بُعدِ خالص همهٔ سهم‌های مداری، اسپینی و الکترون‌های رسانش را دربر می‌گیرد. سهم دیامغناطیسی القایی معمول است، اما لزوماً بر پاسخ کل غلبه ندارد.

دسته پاسخ خالص در میدان ضعیف تصویر میکروسکوپی ملاحظات دما و فاز
دیامغناطیس χm<0\chi_m<0؛ گشتاور القایی خلاف میدان است پاسخ مداری القایی غالب است؛ گشتاور حجمی خودبه‌خودی ندارد معمولاً ضعیف و در یک فاز با وابستگی دمایی کم
پارامغناطیس χm>0\chi_m>0؛ پاسخ هم‌جهت میدان است هم‌راستایی گشتاورهای موضعیِ ازپیش‌موجود یا قطبش اسپین الکترون‌های رسانش گشتاورهای موضعی اغلب χm≃C/T\chi_m\simeq C/T می‌دهند؛ پاسخ پائولی فلزات لزوماً از قانون کوری پیروی نمی‌کند
فرومغناطیس پاسخ بزرگ و عموماً غیرخطی؛ بدون ثابت عمومی χm\chi_m گشتاورهای جفت‌شده با برهم‌کنش تبادلی، حوزه‌های خودبه‌خود مغناطیده تشکیل می‌دهند زیر دمای کوری؛ حوزه‌ها می‌توانند گشتاور خالص نمونه را خنثی کنند؛ پسماند، اشباع و مغناطش باقی‌مانده مهم‌اند

گشتاورهای القایی در پاسخ خطی معمول، با حذف میدان القاکننده از بین می‌روند. گشتاور میکروسکوپی دائمی می‌تواند بدون میدان اعمال‌شده وجود داشته باشد، حتی اگر جهت‌گیری‌های گرمایی آن‌ها مغناطش نمونه را صفر کنند. مغناطش باقی‌ماندهٔ فرومغناطیسی خاصیتی ماکروسکوپی و وابسته به تاریخچه است، نه دلیلی بر نبود گشتاور میکروسکوپی در هر نمونهٔ نامغناطیده. فرومغناطیس بالاتر از دمای کوری عموماً پارامغناطیس می‌شود؛ برای گشتاورهای موضعی، توصیف کوری–وایس دور از ناحیهٔ بحرانی می‌تواند معتبر باشد.

دسته‌بندی‌های نمونه در دمای اتاق عبارت‌اند از:

عناصر در فازهای معمولِ دمای اتاق دسته‌بندی خالص
مس، نقره، جیوه، بیسموت دیامغناطیس
آلومینیوم، سدیم، تنگستن پارامغناطیس
نیکل (همچنین آهن و کبالت) فرومغناطیس

علامت‌ها و نمونه‌های فرومغناطیس در مرجع خواص مغناطیسی دانشگاه ایالتی جورجیا آمده‌اند؛ همچنین جدول پذیرفتاری دمای اتاق در اوپن‌استکس را ببینید. فلز بودن، علامت را تعیین نمی‌کند. جیوهٔ مایع در دمای اتاق دیامغناطیس ضعیف است؛ فاز ابررسانای آن در دمای پایین حالتی متفاوت است و در شرایط مناسبِ میدان کم، نزدیک 4.2 K4.2\,\mathrm K گذار می‌کند. جدول ابررسانایی اوپن‌استکس این گذار را مشخص می‌کند.

پتانسیل‌های نرده‌ای و قطب‌های مغناطیسی معادل

در جایی که گردش ناشی از جریان آزاد صفر است، میدان کمکیِ بدون کرل را می‌توان با H⃗=−∇ΦM\vec H=-\nabla\Phi_M نمایش داد. ترکیب آن با قانون بدون چشمه بودن شار می‌دهد

∇⋅H⃗=−∇⋅M⃗=ρM,∇2ΦM=−ρM,ρM=−∇⋅M⃗,σM=M⃗⋅n^.\nabla\cdot\vec H=-\nabla\cdot\vec M=\rho_M,\qquad \nabla^2\Phi_M=-\rho_M,\qquad \rho_M=-\nabla\cdot\vec M,\qquad \sigma_M=\vec M\cdot\hat n.

برای جسمی که مغناطش آن در بیرون صفر است، پتانسیل چشمه‌های قطبی آن، جدا از هر میدان همگن اعمال‌شده، برابر است با

ΦM(r⃗)=14π[∫VρM(r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣dV′+∮SσM(r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣dS′].\Phi_M(\vec r)=\frac1{4\pi}\left[\int_V\frac{\rho_M(\vec r\,')}{\lvert\vec r-\vec r\,'\rvert}dV' +\oint_S\frac{\sigma_M(\vec r\,')}{\lvert\vec r-\vec r\,'\rvert}dS'\right].

این قطب‌ها چشمه‌های ریاضی معادل برای میدان کمکی‌اند، نه تک‌قطبی‌های فیزیکی چگالی شار. مجموع آن‌ها برای جسم مغناطیدهٔ محدود صفر است:

∫VρMdV+∮SσMdS=0.\int_V\rho_MdV+\oint_S\sigma_MdS=0.

از بردار عمودِ رو به بیرون استفاده کنید. دیورژانس، هر مؤلفه را نسبت به مختصهٔ خودش مشتق می‌گیرد؛ وابستگی مختلط به مختصات در یک مؤلفه، مؤلفهٔ برداری دیگری نمی‌سازد. توصیف قطبی و جریان مقید، همان مغناطش را بیان می‌کنند: یکی را به‌طور سازگار به کار ببرید و چگالی شار را با تعریف ساختاری بازیابی کنید، نه اینکه هر دو مجموعهٔ چشمه را دوباره بشمارید.

شرایط مرزی در یک فصل مشترک:

Babove⊥=Bbelow⊥,H⃗above∥−H⃗below∥=K⃗free×n^.B^{\perp}_{\text{above}}=B^{\perp}_{\text{below}},\qquad \vec{H}^{\parallel}_{\text{above}}-\vec{H}^{\parallel}_{\text{below}}=\vec{K}_{\text{free}}\times\hat{n}.

در اینجا قوانین خلأ که بر حسب B⃗\vec B نوشته شده‌اند از جریان کل، شامل جریان‌های مقید در صورت وجود، استفاده می‌کنند. در مقابل، معادلهٔ کرل H⃗\vec H فقط از جریان آزاد استفاده می‌کند. رابطهٔ ساختاری محیط خطی و همسانگرد، تعریفی معتبر برای هر جسم مغناطیده نیست؛ مغناطش دائمیِ تجویزشده می‌تواند حتی بدون میدان اعمال‌شده وجود داشته باشد.

بردار عمود n^\hat n در شرط فصل مشترک، از پایین به بالا اشاره می‌کند. به‌طور معادل،

n^×(H⃗above−H⃗below)=K⃗free.\hat n\times(\vec H_{\text{above}}-\vec H_{\text{below}})=\vec K_{\text{free}}.

بدون ورقهٔ جریان سطحی آزاد، مؤلفهٔ مماسی H⃗\vec H پیوسته است، در حالی که مؤلفهٔ مماسی B⃗\vec B می‌تواند با تغییر تراوایی تغییر کند. پرش متناهی چگالی جریان حجمی، ورقهٔ جریان سطحی نیست.

نیرو و گشتاور: حلقهٔ متناهی پیش از تقریب دوقطبی

برای سیم نازک با جریان پایای تجویزشده در میدان خارجی، نیروی دقیق برابر است با

dF⃗=I dℓ⃗×B⃗ext(r⃗),F⃗=I∮dℓ⃗×B⃗ext(r⃗).d\vec F=I\,d\vec\ell\times\vec B_{\mathrm{ext}}(\vec r),\qquad \vec F=I\oint d\vec\ell\times\vec B_{\mathrm{ext}}(\vec r).

المان طول جهت‌دار از جریان قراردادی پیروی می‌کند. میدان یکنواخت نیروی خالص صفر روی حلقهٔ بسته می‌دهد، زیرا ∮dℓ⃗=0\oint d\vec\ell=0، اما گشتاور آن τ⃗=m⃗×B⃗\vec\tau=\vec m\times\vec B است. برای حلقهٔ کوچک در میدانی که در ابعاد آن آهسته تغییر می‌کند، نیروی مرتبهٔ پیشرو F⃗≃∇(m⃗⋅B⃗)\vec F\simeq\nabla(\vec m\cdot\vec B) با ثابت نگه داشتن گشتاور دوقطبی است. برای حلقهٔ متناهی، میدان را در هر نقطهٔ حلقه حساب کنید؛ قانون دوقطبی نقطه‌ای به‌تنهایی محاسبهٔ دقیق اندازهٔ متناهی نیست.

ساخت جریان از حرکت تجویزشدهٔ بار

جریان، بار منتقل‌شده بر واحد زمان است. برای بار نقطه‌ای که مدار بسته را با دورهٔ TT طی می‌کند، جریان علامت‌دار میانگین‌گیری‌شده روی مدار، در جهت مثبت انتخاب‌شدهٔ پیمایش، برابر I=q/TI=q/T است. مداری پیوسته با بار یکنواخت در امتداد آن، جریانی واقعاً پایا می‌دهد. برای توزیع بار سطحی یا حجمی متحرک،

I=qT,K⃗=σv⃗,J⃗=ρv⃗.I=\frac{q}{T},\qquad \vec K=\sigma\vec v,\qquad \vec J=\rho\vec v.

در اینجا σ\sigma و ρ\rho چگالی‌های بار اندازه‌گیری‌شده در آزمایشگاه و v⃗\vec v سرعت برداری موضعی‌اند. جریان سطحی واحد آمپر بر متر و جریان حجمی واحد آمپر بر متر مربع دارد. بار منفی، جهت جریان قراردادی را نسبت به سرعت خود معکوس می‌کند. این جریان‌های انتقالی تجویزشده در معادلات ماکروسکوپی به‌عنوان جریان چشمهٔ آزاد مدل می‌شوند؛ برای همان بار متحرک، جریان مغناطش را دوباره اضافه نکنید.

برای دوران صلب حول جهت مثبت محور، شعاع استوانه‌ای را با ss می‌نویسیم:

v⃗=Ω⃗×r⃗=Ωsϕ^,Kϕ(s)=σ(s)Ωs,Jϕ(s)=ρ(s)Ωs.\vec v=\vec\Omega\times\vec r=\Omega s\hat\phi,\qquad K_\phi(s)=\sigma(s)\Omega s,\qquad J_\phi(s)=\rho(s)\Omega s.

چگالی متقارن نسبت به محور که به این شکل می‌چرخد مستقل از زمان است و جریان سمتی آن دیورژانس صفر دارد. الگوی چگالی که در آزمایشگاه به‌طور آشکار می‌چرخد، لزوماً مغناطیس‌ایستا نیست.

استوانه‌های چرخان: جریان سمتی و میدان محوری

استوانه‌ای بی‌نهایت بلند به شعاع aa با چگالی بار آزاد تجویزشدهٔ ρ(s)\rho(s) و بدون جریان محوری در نظر بگیرید. اثر انتهاها را نادیده بگیرید و میدان زمینهٔ محوری Hbgz^H_{\mathrm{bg}}\hat z را فرض کنید. میدان چشمه محوری است، نه میدان گردشی سیم حامل جریان محوری:

H⃗=Hz(s)z^,(∇×H⃗)ϕ=−dHzds=Jϕ(s)=ρ(s)Ωs.\vec H=H_z(s)\hat z,\qquad (\nabla\times\vec H)_\phi=-\frac{dH_z}{ds}=J_\phi(s)=\rho(s)\Omega s.

بیرون استوانه جریان حجمی وجود ندارد؛ پس میدان محوری ثابت است. مقدار آن باید با شرط مرزی تعیین شود؛ این مقدار HbgH_{\mathrm{bg}} است و تنها در نبود میدان خارجی اعمال‌شده صفر است. بدون ورقهٔ مستقل جریان سطحی آزاد، پیوستگی مؤلفهٔ مماسی H⃗\vec H می‌دهد

Hz(a−)=Hz(a+)=Hbg,Hz(s)=Hbg+∫saρ(u)Ωu du(s<a).H_z(a^-)=H_z(a^+)=H_{\mathrm{bg}},\qquad H_z(s)=H_{\mathrm{bg}}+\int_s^a \rho(u)\Omega u\,du\quad (s<a).

ورقهٔ سطحی هم‌محور Kϕϕ^K_\phi\hat\phi شرط مرزی را به شکل زیر تغییر می‌دهد

Hz(a+)−Hz(a−)=−Kϕ,Hz(s)=Hbg+Kϕ+∫saJϕ(u) du.H_z(a^+)-H_z(a^-)=-K_\phi,\qquad H_z(s)=H_{\mathrm{bg}}+K_\phi+\int_s^a J_\phi(u)\,du.

علامت از ϕ^×s^=−z^\hat\phi\times\hat s=-\hat z به دست می‌آید. پوستهٔ شعاعی نازک حامل جریان حجمی مانند ورقهٔ سلونوئیدی با dKϕ=Jϕ(s) dsdK_\phi=J_\phi(s)\,ds عمل می‌کند؛ این برداشت، روش مستقلی برای فهم انتگرال و علت سهم داشتن پوسته‌های بیرون شعاع مشاهده در میدان محوری آن نقطه است.

چگالی شار را فقط پس از یافتن شدت میدان بازیابی کنید: در جسم غیرمغناطیسی B⃗=μ0H⃗\vec B=\mu_0\vec H؛ در مادهٔ خطی و همسانگرد B⃗=μH⃗\vec B=\mu\vec H؛ و با مغناطش تجویزشده B⃗=μ0(H⃗+M⃗)\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M). جریان ناشی از حرکت تجویزشدهٔ بار، مستقل از این تبدیل ساختاری، کرل H⃗\vec H را تعیین می‌کند.

هندسهٔ چشمه جهت جریان جهت میدان چشمه رابطهٔ مفید
سیم مستقیم بلند محوری سمتی Hϕ=I/(2πs)H_\phi=I/(2\pi s) بیرون سیم
استوانهٔ باردار بلند و چرخان سمتی محوری −dHz/ds=Jϕ-dH_z/ds=J_\phi
ورقهٔ باردار استوانه‌ای و چرخان سمتی محوری Hin−Hout=KϕH_{\mathrm{in}}-H_{\mathrm{out}}=K_\phi
مدار دایره‌ای در امتداد مدار عمود بر مدار در مرکز Bcenter=μ0I/(2a)B_{\mathrm{center}}=\mu_0 I/(2a)

فرمول سیم مستقیم، چشمهٔ محوری و میدان سمتی در امتداد مسیر آمپری دایره‌ای را فرض می‌کند. برای استوانهٔ چرخان، میدان محوری بر آن مسیر عمود است؛ پس گردش روی آن مسیر صفر می‌شود و نمی‌تواند میدان را تعیین کند. حلقهٔ مستطیلی با ضلع‌های محوری در شعاع‌های متفاوت، یا معادلهٔ کرل استوانه‌ای، انتخاب درست است.

۳. روش: چگونه به یک مسئلهٔ مغناطیس‌ایستایی حمله کنیم

  1. بررسی ایستا بودن: تأیید کنید که ∇⋅J⃗=0\nabla\cdot\vec{J}=0 (جریان پایا)، تا معادلات ایستا برقرار باشند.

  2. بهره‌گیری از تقارن با قانون آمپر هنگامی که هندسه (سیم بی‌نهایت، سلونوئید، چنبره، صفحهٔ تخت، کواکسیال) B⃗\vec{B} (یا H⃗\vec{H}) را وادار می‌کند که در امتداد یک حلقهٔ هوشمندانه ثابت باشد. حلقهٔ آمپری را طوری انتخاب کنید که B⃗⋅dℓ⃗\vec{B}\cdot d\vec\ell یا ثابت باشد یا صفر.

  3. تقارنی وجود ندارد؟ از بیو–ساوار برای انتگرال مستقیم میدان استفاده کنید، یا ابتدا پتانسیل برداری A⃗\vec{A} را محاسبه کنید (اغلب ساده‌تر است چون انتگرانده یک بردار وزن‌دار اسکالر است، نه یک ضرب خارجی) و سپس B⃗=∇×A⃗\vec{B}=\nabla\times\vec{A} را بگیرید.

  4. میدان دور: اگر فقط به رفتار پیشرو یک حلقهٔ موضعی نیاز دارید، از فرمول دوقطبی با m⃗=Ia⃗\vec{m}=I\vec{a} استفاده کنید.

  5. در مواد مغناطیسی: با H⃗\vec{H} و جریان آزاد عبوری از یک حلقهٔ آمپری کار کنید، سپس B⃗=μ0(H⃗+M⃗)\vec{B}=\mu_0(\vec H+\vec M) را بازیابی کنید. اگر در آن ناحیه J⃗free=0\vec{J}_{\text{free}}=0 باشد، به‌صورت موضعی (یا سراسری در صورت صفر بودن گردش ناشی از جریان پیوندخورده)، پتانسیل اسکالر مغناطیسی H⃗=−∇ΦM\vec{H}=-\nabla\Phi_M را با ∇2ΦM=−ρM\nabla^2\Phi_M=-\rho_M، ρM=−∇⋅M⃗\rho_M=-\nabla\cdot\vec{M}، و بار سطحی σM=M⃗⋅n^\sigma_M=\vec{M}\cdot\hat n معرفی کنید — یک مسئلهٔ مقدار مرزی لاپلاس/پواسون که از نظر شکل با الکتروستاتیک یکسان است.

  6. اعمال شرایط مرزی (B⊥B^\perp پیوسته، H∥H^\parallel با پرش به اندازهٔ KfreeK_{\text{free}}) برای تعیین ثابت‌ها.

  7. هنگامی که حرکت بار تجویز شده است: ابتدا جریان علامت‌دار را از سرعت موضعی بسازید. برای مدار، دورهٔ کامل را بیابید؛ برای سطح از چگالی سطحی و برای حجم از چگالی حجمی استفاده کنید. پایا بودن چشمه در آزمایشگاه را بررسی کنید.

  8. برای دوران استوانه‌ای: چشمهٔ سمتی و میدان محوری را تشخیص دهید، معادلهٔ کرل شعاعی را از میدان خارجی داده‌شده انتگرال بگیرید، هر ورقهٔ سطحی واقعی را لحاظ کنید و سپس با قانون ماده، شدت میدان را به چگالی شار تبدیل کنید.

  9. برای کره در میدان یکنواخت: هماهنگ‌های نرده‌ای منظمِ داخلی و ترکیب میدان یکنواخت و افت‌کنندهٔ خارجی را انتخاب کنید. مشخص کنید پاسخ با تراوایی خطی مدل می‌شود، مغناطش تجویزشده دارد یا شار را طرد می‌کند؛ هرکدام شرط فصل مشترک خود را لازم دارد.

  10. برای حلقه در میدان غیریکنواخت: منحنی جهت‌دار را پارامتری کنید، ضرب برداری را حساب کنید، انتگرال بگیرید و مؤلفه‌ها را با تقارن حذف کنید. نتیجهٔ دوقطبی نقطه‌ای را فقط به‌عنوان حد کنترل‌شدهٔ حلقهٔ کوچک به کار ببرید.

۴. مثال کوچک حل‌شده: پتانسیل برداری یک سلونوئید بی‌نهایت

یک سلونوئید بی‌نهایت به شعاع RR، با nn دور بر واحد طول، حامل جریان II در امتداد ϕ^\hat\phi در نظر بگیرید. قانون آمپر نتیجهٔ کلاسیک را می‌دهد

B⃗={μ0nI z^,s<R,0,s>R.\vec{B}= \begin{cases} \mu_0 n I\,\hat{z}, & s<R,\\ 0, & s>R. \end{cases}

هرچند B⃗=0\vec{B}=0 در بیرون، اما پتانسیل برداری در آنجا صفر نیست. بنا بر تقارن A⃗=Aϕ(s) ϕ^\vec{A}=A_\phi(s)\,\hat\phi، و قانون شار ∮A⃗⋅dℓ⃗=∫B⃗⋅da⃗=Φenc\oint\vec{A}\cdot d\vec\ell=\int\vec{B}\cdot d\vec a=\Phi_{\text{enc}} روی دایره‌ای به شعاع ss می‌دهد 2πs Aϕ=Φenc2\pi s\,A_\phi=\Phi_{\text{enc}}:

Aϕ(s)={μ0nI2 s,s<R,μ0nIR22s,s>R.A_\phi(s)= \begin{cases} \dfrac{\mu_0 n I}{2}\,s, & s<R,\\ \dfrac{\mu_0 n I R^{2}}{2s}, & s>R. \end{cases}

در بیرون، A⃗∝1/s\vec{A}\propto 1/s متناهی است در حالی که B⃗=∇×A⃗=0\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=0 — ناحیهٔ بدون میدان همچنان یک پتانسیل ناصفر حمل می‌کند (بذر اثر آهارونوف–بوهم). این مثال نشان می‌دهد که چرا A⃗\vec{A}، هرچند وابسته به پیمانه، از نظر فیزیکی ضروری است.

مثال کوچک حل‌شده: جریان مداری و میدان مرکزی

بار qq در خلأ به حرکت روی دایره‌ای به شعاع aa با تندی ثابت vv مقید است و از دید محور مثبت، پادساعت‌گرد حرکت می‌کند. در تقریب غیرنسبیتی و شبه‌ایستا،

T=2πav,I=qv2πa,B⃗center=μ0I2az^=μ0qv4πa2z^.T=\frac{2\pi a}{v},\qquad I=\frac{qv}{2\pi a},\qquad \vec B_{\mathrm{center}}=\frac{\mu_0 I}{2a}\hat z =\frac{\mu_0 qv}{4\pi a^2}\hat z.

برای انتخاب ابتکاری q=−2q∗q=-2q_* با q∗>0q_*>0، میدان برابر −μ0q∗v/(2πa2)z^-\mu_0q_*v/(2\pi a^2)\hat z و خلاف نتیجهٔ بار مثبت است. اندازهٔ آن با تندی و معکوس مجذور شعاع متناسب است.

یک بار مداری منفرد، چشمه‌ای پایا در کل فضا نیست. بااین‌حال، میدان مرتبهٔ پیشروِ بار متحرک در مرکز، در سراسر مدار دایره‌ای ثابت است، زیرا سرعت همواره بر بردار از بار به مرکز عمود است:

B⃗center=μ0q4πv⃗×R^a2.\vec B_{\mathrm{center}}=\frac{\mu_0 q}{4\pi}\frac{\vec v\times\hat R}{a^2}.

در اینجا R^\hat R از بار به‌سوی مرکز اشاره می‌کند. این نتیجه در آن نقطه با حلقهٔ جریان معادل سازگار است. دور از مرکز، نتیجهٔ حلقه عموماً یک میانگین مداری است؛ میدان‌های دقیق نسبیتی، تأخیر انتشار و تابش به الکترودینامیک وابسته به زمان نیاز دارند.

مثال کوچک حل‌شده: ورقهٔ باردار استوانه‌ای چرخان

پوستهٔ استوانه‌ای بی‌نهایت بلند به شعاع aa دارای بار سطحی یکنواخت σ∗\sigma_* است و با سرعت زاویه‌ای Ωz^\Omega\hat z می‌چرخد. فرض کنید مادهٔ آن مغناطش ندارد و میدان زمینهٔ محوری داده شده است. آنگاه

K⃗=σ∗Ωaϕ^,H⃗out=Hbgz^,H⃗in=(Hbg+σ∗Ωa)z^.\vec K=\sigma_*\Omega a\hat\phi,\qquad \vec H_{\mathrm{out}}=H_{\mathrm{bg}}\hat z,\qquad \vec H_{\mathrm{in}}=(H_{\mathrm{bg}}+\sigma_*\Omega a)\hat z.

این یک سلونوئید پیوسته است. پرش مرزی میدان درونی را تعیین می‌کند؛ نیازی به انتگرال جریان حجمی نیست. شدت میدان افزوده‌شده واحد بار بر مساحت ضرب‌در تندی، یا آمپر بر متر، دارد. ضرب در تراوایی خلأ، چگالی شار افزوده‌شده را می‌دهد.

مثال کوچک حل‌شده: بار حجمی چرخان و غیریکنواخت

استوانهٔ بلند و غیرمغناطیسی ابتکاری به شعاع aa را با چگالی زیر در نظر بگیرید

ρ(s)=ρc(1−s2a2)(0≤s<a),v⃗=Ωsϕ^.\rho(s)=\rho_c\left(1-\frac{s^2}{a^2}\right)\quad (0\le s<a),\qquad \vec v=\Omega s\hat\phi.

ورقهٔ سطحی مستقلی وجود ندارد و شدت میدان خارجی را Hbgz^H_{\mathrm{bg}}\hat z تعیین می‌کنیم. انتگرال‌گیری از نمایهٔ واقعی جریان می‌دهد

Jϕ(s)=ρcΩs(1−s2a2),Hz(s)−Hbg=ρcΩ[a2−s22−a4−s44a2]=ρcΩ4a2(a2−s2)2.J_\phi(s)=\rho_c\Omega s\left(1-\frac{s^2}{a^2}\right),\qquad H_z(s)-H_{\mathrm{bg}} =\rho_c\Omega\left[\frac{a^2-s^2}{2}-\frac{a^4-s^4}{4a^2}\right] =\frac{\rho_c\Omega}{4a^2}(a^2-s^2)^2.

در نصف شعاع،

H⃗(a/2)=(Hbg+9ρcΩa264)z^,B⃗(a/2)=μ0H⃗(a/2).\vec H(a/2)=\left(H_{\mathrm{bg}}+\frac{9\rho_c\Omega a^2}{64}\right)\hat z,\qquad \vec B(a/2)=\mu_0\vec H(a/2).

برای بررسی معادلهٔ حاکم، از شدت میدان مشتق می‌گیریم:

−dHzds=ρcΩs(1−s2a2)=Jϕ(s).-\frac{dH_z}{ds}=\rho_c\Omega s\left(1-\frac{s^2}{a^2}\right)=J_\phi(s).

میدان چشمه در سطح صفر است و برای بار مثبت و دوران مثبت، در محور بیشینه می‌شود. مقیاس شدت آن ρcΩa2\rho_c\Omega a^2 است که واحد آمپر بر متر دارد. شیب میدان نیز در اینجا در سطح صفر می‌شود، زیرا چگالی انتخاب‌شده به‌طور پیوسته به صفر می‌رسد.

مثال مرز ماده: میدان اعمال‌شدهٔ مماسی در برابر عمودی

تیغهٔ خطی بی‌نهایت ابتکاری با تراوایی μ=5μ0\mu=5\mu_0، خلأ در بیرون و بدون جریان سطحی آزاد را در نظر بگیرید. اگر چگالی شار اعمال‌شده در خلأ مماسی باشد، B⃗out=B∗x^\vec B_{\mathrm{out}}=B_*\hat x، پیوستگی شدت میدان مماسی می‌دهد

H⃗in=B∗μ0x^,B⃗in=5B∗x^,M⃗in=4B∗μ0x^.\vec H_{\mathrm{in}}=\frac{B_*}{\mu_0}\hat x,\qquad \vec B_{\mathrm{in}}=5B_*\hat x,\qquad \vec M_{\mathrm{in}}=\frac{4B_*}{\mu_0}\hat x.

اگر میدان خارجی تجویزشده به‌جای آن بر وجه‌ها عمود باشد، B⃗out=B∗z^\vec B_{\mathrm{out}}=B_*\hat z، پیوستگی چگالی شار عمودی می‌دهد

B⃗in=B∗z^,H⃗in=B∗5μ0z^,M⃗in=4B∗5μ0z^.\vec B_{\mathrm{in}}=B_*\hat z,\qquad \vec H_{\mathrm{in}}=\frac{B_*}{5\mu_0}\hat z,\qquad \vec M_{\mathrm{in}}=\frac{4B_*}{5\mu_0}\hat z.

تفاوت از مؤلفه‌های مرزی متفاوت ناشی می‌شود، نه از ضخامت تیغه. در هر دو حالت، پذیرفتاری برابر تراوایی نسبی منهای یک است. برای میدان مایل، شرایط مماسی و عمودی را جداگانه اعمال کنید.

روش پتانسیل نرده‌ای کروی: کرهٔ مادی و طرد شار

کره‌ای به شعاع aa را در میدان خلأ اعمال‌شدهٔ H⃗∗=H∗z^\vec H_*=H_*\hat z، با زاویهٔ قطبی θ\theta از محور مثبت، در نظر بگیرید. در نواحی حجمی بدون چشمه، پتانسیل نرده‌ای از معادلهٔ لاپلاس پیروی می‌کند. جداسازی بر حسب هماهنگ‌های لژاندر، معادلهٔ شعاعی و دو شاخهٔ آن را می‌دهد:

ddr(r2duldr)−l(l+1)ul=0,ul(r)=alrl+blr−l−1.\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{du_l}{dr}\right)-l(l+1)u_l=0,\qquad u_l(r)=a_l r^l+b_l r^{-l-1}.

منظم بودن در مبدأ، شاخهٔ تکین داخلی را حذف می‌کند. میدان یکنواخت اعمال‌شده الگوی زاویه‌ای دوقطبی P1(cos⁡θ)=cos⁡θP_1(\cos\theta)=\cos\theta دارد؛ مرز خطی کروی، هماهنگ‌های زاویه‌ای را مخلوط نمی‌کند. در بیرون، شاخهٔ میدان یکنواخت و دوقطبی افت‌کننده را نگه دارید. تا یک ثابت دلخواه،

Φin=Arcos⁡θ,Φout=Drcos⁡θ+Cr2cos⁡θ,D=−H∗.\Phi_{\mathrm{in}}=Ar\cos\theta,\qquad \Phi_{\mathrm{out}}=Dr\cos\theta+\frac{C}{r^2}\cos\theta,\qquad D=-H_*.

با مشتق‌گیری، به‌جای حدس زدن علامت میدان، به دست می‌آید

Hr,in=−Acos⁡θ,Hθ,in=Asin⁡θ,Hr,out=(−D+2Cr3)cos⁡θ,Hθ,out=(D+Cr3)sin⁡θ.H_{r,\mathrm{in}}=-A\cos\theta,\quad H_{\theta,\mathrm{in}}=A\sin\theta,\qquad H_{r,\mathrm{out}}=\left(-D+\frac{2C}{r^3}\right)\cos\theta,\quad H_{\theta,\mathrm{out}}=\left(D+\frac{C}{r^3}\right)\sin\theta.

مادهٔ خطی معمولی، بدون ورقهٔ جریان سطحی آزاد. با تراوایی داخلی μ\mu و خلأ در بیرون، پیوستگی شدت میدان مماسی و شار عمودی را اعمال کنید:

A=D+Ca3,−μA=μ0(−D+2Ca3).A=D+\frac{C}{a^3},\qquad -\mu A=\mu_0\left(-D+\frac{2C}{a^3}\right). A=−3μ0H∗μ+2μ0,C=μ−μ0μ+2μ0H∗a3,H⃗in=3μ0μ+2μ0H∗z^.A=-\frac{3\mu_0H_*}{\mu+2\mu_0},\qquad C=\frac{\mu-\mu_0}{\mu+2\mu_0}H_*a^3,\qquad \vec H_{\mathrm{in}}=\frac{3\mu_0}{\mu+2\mu_0}H_*\hat z.

تراوایی‌های برابر، جملهٔ دوقطبی را حذف می‌کنند. کرهٔ با تراوایی زیاد، شدت میدان داخلی کمتر اما چگالی شار بیشتری دارد. حد ایده‌آل μ→0\mu\to0 شار داخلی صفر می‌دهد، اما شدت میدان کمکی در این مدل ساختاری برابر H⃗in→(3H∗/2)z^\vec H_{\mathrm{in}}\to(3H_*/2)\hat z است که با مغناطش موازنه می‌شود. شار صفر به‌تنهایی شدت میدان کمکی صفر را نتیجه نمی‌دهد.

کرهٔ طردکنندهٔ شار با نمایش جریان سطحی پوشاننده. مدل ایده‌آل متفاوت و صریحی انتخاب کنید: مغناطش حجمی وجود ندارد و تمام پوشانندگی با جریان سطحی نمایش داده می‌شود، پس در هر دو ناحیهٔ حجمی B⃗=μ0H⃗\vec B=\mu_0\vec H است. برای رسانای کامل، شار اولیهٔ داخلی را صفر فرض کنید، یا حالت مایسنر حجمی با عمق نفوذ ناچیز را در نظر بگیرید. آنگاه در این نمایش جریان سطحی، H⃗in=0\vec H_{\mathrm{in}}=0 است، پس A=0A=0. شرط فصل مشترک خارجیِ درست، پیوستگی شار عمودی است، نه پیوستگی شدت میدان مماسی:

Br,out(a)=Br,in(a)=0,−D+2Ca3=0,C=Da32=−H∗a32.B_{r,\mathrm{out}}(a)=B_{r,\mathrm{in}}(a)=0,\qquad -D+\frac{2C}{a^3}=0,\qquad C=\frac{Da^3}{2}=-\frac{H_*a^3}{2}.

بنابراین

Φout=−H∗(r+a32r2)cos⁡θ,Hr=H∗(1−a3r3)cos⁡θ,Hθ=−H∗(1+a32r3)sin⁡θ.\Phi_{\mathrm{out}}=-H_*\left(r+\frac{a^3}{2r^2}\right)\cos\theta,\qquad H_r=H_*\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)\cos\theta,\qquad H_\theta=-H_*\left(1+\frac{a^3}{2r^3}\right)\sin\theta.

ضریب دوقطبی منفی است: گشتاور آن خلاف میدان اعمال‌شده است. چون پتانسیل نرده‌ای دوقطبی Φdip=mcos⁡θ/(4πr2)\Phi_{\mathrm{dip}}=m\cos\theta/(4\pi r^2) است، گشتاور القایی برابر m⃗=−2πa3H∗z^\vec m=-2\pi a^3H_*\hat z می‌شود. در سطح، میدان عمودی صفر است اما میدان مماسی صفر نیست. جریان ورقه‌ای لازم برابر است با

K⃗s=r^×(H⃗out−H⃗in)=−32H∗sin⁡θ ϕ^.\vec K_s=\hat r\times(\vec H_{\mathrm{out}}-\vec H_{\mathrm{in}}) =-\frac32H_*\sin\theta\,\hat\phi.

برای کرهٔ ابتکاری به شعاع a=2 cma=2\,\mathrm{cm} در چگالی شار اعمال‌شدهٔ خلأ B∗=μ0H∗=2 mTB_*=\mu_0H_*=2\,\mathrm{mT}، میدان خارجی در استوای سطح، بزرگی 3B∗/2=3 mT3B_*/2=3\,\mathrm{mT} دارد و مماسی است. این نتیجه هم تقویت میدان را بررسی می‌کند و هم نشان می‌دهد طرد شار، تمام میدان خارجی را صفر نمی‌کند.

رسانای کامل در برابر ابررسانا. برای رسانای کامل ساکن، میدان الکتریکی صفر و قانون فارادی می‌دهند ∂B⃗/∂t=0\partial\vec B/\partial t=0: میدان اولیه حفظ می‌شود، نه اینکه لزوماً طرد شود. جواب با شار داخلی صفر، به فرض اضافیِ حالت اولیهٔ بدون میدان نیاز دارد. ابررسانا در حالت مایسنر، هنگام ورود به این حالت شار حجمی را در محدودهٔ عمق نفوذ و میدان بحرانی طرد می‌کند؛ به‌دام‌افتادن شار و حالت مختلط نوع دوم به فیزیک اضافی نیاز دارند. اوپن‌استکس توضیح می‌دهد چرا طرد شار فقط از مقاومت صفر نتیجه نمی‌شود.

مدل گزارهٔ داخلی شرط فصل مشترک استفاده‌شده در اینجا
مادهٔ خطی بدون ورقهٔ آزاد B⃗=μH⃗\vec B=\mu\vec H مؤلفهٔ عمودی BB و مماسی HH پیوسته‌اند
رسانای کامل با حالت اولیهٔ بدون میدان، مدل جریان سطحی B⃗=0\vec B=0، H⃗=0\vec H=0 در حجم مؤلفهٔ عمودی BB پیوسته است؛ مؤلفهٔ مماسی HH با جریان پوشاننده می‌پرد
دیامغناطیس ایده‌آل مؤثر μ→0\mu\to0 B⃗=0\vec B=0؛ میدان کمکی HH می‌تواند ناصفر باشد مدل ماده با مغناطش مقید
رسانای کامل با شار ازپیش‌موجود B⃗\vec B اولیه را حفظ می‌کند داده‌های مرزی باید حالت اولیه را شامل شوند

نتیجهٔ خارجیِ شار صفر در دو نمایش دیامغناطیسی یکسان است، اما شیوهٔ تفکیک شدت میدان کمکی، مغناطش و جریان پوشانندهٔ آزاد یا مقید تفاوت دارد. ثابت داخلی یک مدل را با شرط مرزی مماسی مدل دیگر ترکیب نکنید.

مثال کوتاه حل‌شده: مغناطش غیریکنواخت، قطب‌ها و جریان‌های مقید

کره‌ای ابتکاری به شعاع aa با مغناطش تجویزشدهٔ M⃗=γzz^\vec M=\gamma z\hat z در داخل و صفر در بیرون در نظر بگیرید که در آن γ\gamma ثابت با یکای مغناطش بر طول است. روش قطب مغناطیسی می‌دهد

ρM=−∂z(γz)=−γ,n^=xx^+yy^+zz^a,σM=γz2a=γacos⁡2θ.\rho_M=-\partial_z(\gamma z)=-\gamma,\qquad \hat n=\frac{x\hat x+y\hat y+z\hat z}{a},\qquad \sigma_M=\frac{\gamma z^2}{a}=\gamma a\cos^2\theta.

هر دو سهم حجمی و سطحی لازم‌اند. انتگرال‌های آن‌ها خنثی می‌شوند:

QM,V=−γ4πa33,QM,S=γa3∫cos⁡2θ dΩ=γ4πa33.Q_{M,V}=-\gamma\frac{4\pi a^3}{3},\qquad Q_{M,S}=\gamma a^3\int\cos^2\theta\,d\Omega=\gamma\frac{4\pi a^3}{3}.

توصیف معادلِ جریان مقید می‌دهد

J⃗b=∇×(γzz^)=0,K⃗b=γza(xy^−yx^)=γasin⁡θcos⁡θ ϕ^.\vec J_b=\nabla\times(\gamma z\hat z)=0,\qquad \vec K_b=\frac{\gamma z}{a}\left(x\hat y-y\hat x\right) =\gamma a\sin\theta\cos\theta\,\hat\phi.

جریان حجمی صفر به معنای میدان صفر نیست: جریان سطحی باقی می‌ماند. روش قطبی، میدان کمکی را با پتانسیل حجمی و سطحی می‌یابد و سپس برای بازیابی چگالی شار، مغناطش را اضافه می‌کند؛ روش جریان، چگالی شار را مستقیماً با بیو–ساوار می‌یابد. پاسخ‌های آن‌ها باید یکسان باشند. چگالی قطب حجمی یکای آمپر بر متر مربع و چگالی قطب سطحی یکای آمپر بر متر دارد؛ این‌ها یکاهای چشمهٔ قطبی ریاضی‌اند، نه چگالی بار الکتریکی.

کرهٔ با مغناطش یکنواخت به‌عنوان بررسی خاص. با مغناطش یکنواخت تجویزشدهٔ M⃗=Mz^\vec M=M\hat z و بدون میدان اعمال‌شده، چگالی قطب حجمی صفر است و σM=Mcos⁡θ\sigma_M=M\cos\theta داریم. جواب نرده‌ای برابر است با

Φin=M3rcos⁡θ,Φout=Ma33r2cos⁡θ,H⃗in=−13M⃗,B⃗in=23μ0M⃗.\Phi_{\mathrm{in}}=\frac M3r\cos\theta,\qquad \Phi_{\mathrm{out}}=\frac{Ma^3}{3r^2}\cos\theta,\qquad \vec H_{\mathrm{in}}=-\frac13\vec M,\qquad \vec B_{\mathrm{in}}=\frac23\mu_0\vec M.

بیرون، میدان دوقطبی با m⃗=(4πa3/3)M⃗\vec m=(4\pi a^3/3)\vec M است. جریان سطحی معادل آن K⃗b=Msin⁡θϕ^\vec K_b=M\sin\theta\hat\phi و جریان حجمی مقید صفر است. این نتیجه ضریب مغناطش‌زداییِ استفاده‌شده در ادامه را بازیابی می‌کند، بدون حذف هیچ‌یک از دو نمایش.

مثال کوتاه حل‌شده: نیروی دقیق در میدان شعاعی

حلقه‌ای دایره‌ای به شعاع aa را در ارتفاع h>0h>0 با جریان II پادساعت‌گرد از دید محور قائم مثبت در نظر بگیرید. ابتدا میدان شعاعی تجویزشدهٔ B⃗=Br(r)r^\vec B=B_r(r)\hat r را بررسی کنید. روی حلقه، بردارهای یکهٔ استوانه‌ای پارامتری‌سازی زیر را می‌دهند

r⃗(ϕ)=acos⁡ϕx^+asin⁡ϕy^+hz^=as^+hz^,s∗=a2+h2,dℓ⃗=aϕ^ dϕ.\vec r(\phi)=a\cos\phi\hat x+a\sin\phi\hat y+h\hat z =a\hat s+h\hat z,\qquad s_*=\sqrt{a^2+h^2},\qquad d\vec\ell=a\hat\phi\,d\phi.

فاصله از مبدأ میدان در سراسر این منحنی ثابت است، اما جهت شعاعی می‌چرخد. پیش از انتگرال‌گیری از میدان موضعی و ضرب برداری استفاده کنید:

B⃗=Br(s∗)s∗(as^+hz^),ϕ^×s^=−z^,ϕ^×z^=s^,\vec B=\frac{B_r(s_*)}{s_*}\left(a\hat s+h\hat z\right),\qquad \hat\phi\times\hat s=-\hat z,\quad\hat\phi\times\hat z=\hat s, dF⃗=IaBr(s∗)s∗(hs^−az^)dϕ,∫02πs^ dϕ=0,F⃗=−2πIa2Br(s∗)s∗z^.d\vec F=\frac{IaB_r(s_*)}{s_*}\left(h\hat s-a\hat z\right)d\phi,\qquad \int_0^{2\pi}\hat s\,d\phi=0,\qquad \vec F=-\frac{2\pi Ia^2B_r(s_*)}{s_*}\hat z.

همهٔ مؤلفه‌های عرضی خنثی می‌شوند و مؤلفه‌های محوری جمع می‌شوند. به‌ویژه برای میدان شعاعی ریاضیِ عکس مجذوری با ضریب مثبت β\beta،

B⃗=βr⃗r3,F⃗=−2πβIa2(a2+h2)3/2z^.\vec B=\frac{\beta\vec r}{r^3},\qquad \vec F=-\frac{2\pi\beta Ia^2}{(a^2+h^2)^{3/2}}\hat z.

برای جای‌گذاری ابتکاری h=2ah=2a، نیروی دقیق F⃗=−2πβI/(53/2a)z^\vec F=-2\pi\beta I/(5^{3/2}a)\hat z است. برای جریان بیان‌شده، نیرو به سمت ارتفاع کمتر است. معکوس کردن جریان، نیرو را معکوس می‌کند. ضریب یکای چگالی شار ضرب‌در طول به توان دو دارد، پس نیروی نهایی یکای جریان ضرب‌در چگالی شار ضرب‌در طول دارد.

در حد کنترل‌شدهٔ حلقهٔ دوردست،

h≫a:m⃗=Iπa2z^,Bz(h)=βh2,Fz≃mzdBzdh=−2πβIa2h3.h\gg a:\qquad \vec m=I\pi a^2\hat z,\quad B_z(h)=\frac\beta{h^2},\qquad F_z\simeq m_z\frac{dB_z}{dh}=-\frac{2\pi\beta Ia^2}{h^3}.

پاسخ دقیق برابر این نتیجهٔ پیشرو ضرب‌در (1+a2/h2)−3/2=1−3a2/(2h2)+O(a4/h4)(1+a^2/h^2)^{-3/2}=1-3a^2/(2h^2)+O(a^4/h^4) است. مؤلفهٔ شعاعی میدان، نیروی محوری خالص می‌دهد؛ میدان محوری نیروهای عرضی تولید می‌کند که خنثی می‌شوند. نگه داشتن فقط میدان محوری در مرکز حلقه، نیرو را از دست می‌دهد مگر آنکه گرادیان مکانی آن در تقریب معتبر دوقطبی وارد شود.

این میدان شعاعی عکس مجذوری، میدان ریاضی تجویزشده دور از مبدأ تکین خود است. دیورژانس آن در آن ناحیه صفر است، اما شارش از کرهٔ دربرگیرندهٔ مبدأ 4πβ4\pi\beta است، پس بدون چشمهٔ تکینِ تک‌قطبی‌مانند، میدان مغناطیسی منظم سراسریِ جریان‌های الکتریکی پایای معمولی نیست. انتگرال حلقهٔ متناهی فقط از مقادیر غیرتکین میدان روی حلقه استفاده می‌کند؛ وجود تک‌قطبی مغناطیسی منفرد فیزیکی را ادعا نمی‌کند.

برای تقارن کروی کامل، خود قیدِ حجمِ بدون چشمه شرط r−2 d(r2Br)/dr=0r^{-2}\,d(r^2B_r)/dr=0 را لازم می‌کند، پس r2Brr^2B_r روی هر بازهٔ شعاعی غیرتکین ثابت است. رابطهٔ عمومی نیروی شعاعی، الگویی هندسی برای انتگرال‌گیری است؛ حالت عکس مجذوری، صورت کاملاً شعاعیِ سازگار با دیورژانس صفر دور از تکینگی است.

تلهٔ رایج: قانون میدان حجمی را از شرط سطحی آن تشخیص دهید. جریان‌های پوشاننده پرش میدان مماسی را مجاز می‌کنند، مغناطش به چشمه‌های حجمی و سطحی نیاز دارد و حلقهٔ متناهی میدان را در سراسر محیط خود نمونه‌برداری می‌کند.

۵. حالت‌ها، موارد خاص و حدها

  • بدون جریان آزاد در ناحیه (J⃗free=0\vec J_{\text{free}}=0): از پتانسیل اسکالر مغناطیسی به‌صورت موضعی، یا سراسری در دامنه‌ای بدون گردش ناصفر ناشی از جریان پیوندخورده، استفاده کنید. در نواحی با دیورژانس مغناطش صفر، معادلهٔ لاپلاس را حل کنید؛ در غیر این صورت، معادلهٔ پواسون را با چگالی حجمی قطب مغناطیسی و σM=M⃗⋅n^\sigma_M=\vec M\cdot\hat n حل کنید — از نظر ریاضی با مسئلهٔ دی‌الکتریک قطبیده یکسان است.

  • بیضی‌گون با مغناطش یکنواخت: میدان مغناطش‌زدای خودی H⃗\vec H درونی یکنواخت است. در امتداد محور اصلی (یا برای کره) خلاف جهت M⃗\vec M است، اما در جهت‌گیری عمومی لزوماً هم‌راستا نیست، H⃗in=−NM⃗\vec H_{\text{in}}=-\mathsf{N}\vec M، با یک تانسور مغناطش‌زدایی N\mathsf N؛ برای یک کره بدون میدان خارجی اعمال‌شده N=13N=\tfrac13، که جفت به‌خاطرسپردنی H⃗in=−13M⃗\vec{H}_{\text{in}}=-\tfrac13\vec{M} و B⃗in=23μ0M⃗\vec{B}_{\text{in}}=\tfrac23\mu_0\vec{M} را می‌دهد.

  • محیط‌های خطی در فصل مشترک بدون جریان سطحی آزاد: زاویه‌های اندازه‌گیری‌شده از عمود، از قانون شکست خطوط BB پیروی می‌کنند، tan⁡θ1/tan⁡θ2=μ1/μ2\tan\theta_1/\tan\theta_2=\mu_1/\mu_2؛ مادهٔ با μ\mu بالا شار را به درون می‌کشد (حفاظ‌گذاری مغناطیسی).

  • سلسله‌مراتب چندقطبی: بدون تک‌قطبی (∮B⃗⋅da⃗=0\oint\vec B\cdot d\vec a=0 همیشه)؛ اگر گشتاور دوقطبی خالص ناصفر باشد، میدان دور در مرتبهٔ O(1/r3)O(1/r^3) دوقطبی است؛ اگر این گشتاور صفر شود، چندقطبی‌های بالاتر پیشرو می‌شوند.

  • نیرو و گشتاور روی دوقطبی نقطه‌ای دائمی و ثابت در میدان خارجی: F⃗=∇(m⃗⋅B⃗)\vec{F}=\nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})، τ⃗=m⃗×B⃗\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}، انرژی U=−m⃗⋅B⃗U=-\vec{m}\cdot\vec{B}.

  • دیامغناطیس کامل / ابررسانا (اثر مایسنر): B⃗=0\vec{B}=0 در درون، یعنی χm=−1\chi_m=-1، μ=0\mu=0؛ توصیفی ایده‌آل از طرد شار در حجمِ حالت مایسنر است، نه مدل معمول تراوایی ثابت برای میدان‌های دلخواه. عمق نفوذ متناهی و حدهای میدان بحرانی به مدل ابررسانایی نیاز دارند.

  • چگالی حجمی یکنواخت و چرخان: بدون ورقهٔ سطحی، انتگرال عمومی استوانه به Hz(s)−Hbg=ρ0Ω(a2−s2)/2H_z(s)-H_{\mathrm{bg}}=\rho_0\Omega(a^2-s^2)/2 فروکاسته می‌شود. جریان، مشتق شعاعی میدان را تعیین می‌کند، نه مقدار مطلق آن را.

  • حدهای علامت و هندسه: معکوس کردن علامت بار یا دوران، میدان چشمه را معکوس می‌کند، در حالی که زمینهٔ اعمال‌شده بدون تغییر می‌ماند. استوانهٔ متناهی میدان‌های انتهایی دارد و به محاسبهٔ هندسهٔ متناهی نیاز دارد؛ میدان چشمهٔ خارجی فقط در حد ایده‌آل استوانهٔ بی‌نهایت صفر است.

  • حرکت تجویزشده در برابر حرکت خودسازگار: این محاسبات فرض می‌کنند نیروهای خارجی حرکت بیان‌شدهٔ بار را حفظ می‌کنند. آن‌ها میدان مغناطیسی را تعیین می‌کنند، نه تعادل مکانیکی جسم باردار را.

نکتهٔ کنکوری: برای یک کرهٔ با مغناطش یکنواخت این جفت را به خاطر بسپارید — میدان مغناطش‌زدای درونی H⃗in=−13M⃗\vec{H}_{\text{in}}=-\tfrac13\vec{M} (خلاف M⃗\vec M) و B⃗in=23μ0M⃗\vec{B}_{\text{in}}=\tfrac23\mu_0\vec{M} (در امتداد M⃗\vec M). ضریب 13\tfrac13 همان ضریب مغناطش‌زدایی کره است، آنالوگ مغناطیسی دقیق E⃗in=−P⃗/3ε0\vec{E}_{\text{in}}=-\vec{P}/3\varepsilon_0 برای کرهٔ با قطبش یکنواخت. تشخیص اینکه سؤال دربارهٔ H⃗\vec H (نه B⃗\vec B) است، همان چیزی است که تلهٔ علامت را به یک پاسخ تک‌خطی تبدیل می‌کند.

تلهٔ رایج: پیش از انتخاب فرمول میدان، جریان را بسازید. جریان سمتی، میدان محوری استوانه را تولید می‌کند و ثابت انتگرال از میدان خارجی و هر پرش جریان سطحی به دست می‌آید. شدت میدان واحد آمپر بر متر دارد؛ چگالی شار به تبدیل ساختاری نیاز دارد.

فرمول‌های کلیدی

Magnetostatic Maxwell equations
∇⋅B⃗=0,∇×B⃗=μ0J⃗\nabla\cdot\vec{B}=0,\qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}
Biot–Savart law
B⃗=μ04π∫J⃗(r⃗ ′)×(r⃗−r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣3 dV′\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{J}(\vec{r}\,')\times(\vec{r}-\vec{r}\,')}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|^{3}}\,dV'
Ampère's law (integral)
∮CB⃗⋅dℓ⃗=μ0Ienc\oint_{\mathcal C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}
Vector potential (Coulomb gauge)
B⃗=∇×A⃗,∇2A⃗=−μ0J⃗,A⃗=μ04π∫J⃗∣r⃗−r⃗ ′∣ dV′\vec{B}=\nabla\times\vec{A},\quad \nabla^{2}\vec{A}=-\mu_0\vec{J},\quad \vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{J}}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}\,dV'
Magnetic dipole field
B⃗dip=μ04πr3[3(m⃗⋅r^)r^−m⃗]\vec{B}_{\text{dip}}=\frac{\mu_0}{4\pi r^{3}}\big[3(\vec{m}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{m}\big]
Auxiliary field H and constitutive relation
H⃗=B⃗μ0−M⃗,∇×H⃗=J⃗free\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M},\qquad \nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{\text{free}}
Bound currents
J⃗b=∇×M⃗,K⃗b=M⃗×n^\vec{J}_b=\nabla\times\vec{M},\qquad \vec{K}_b=\vec{M}\times\hat{n}
Uniformly magnetized sphere
H⃗in=−13M⃗,B⃗in=23μ0M⃗\vec{H}_{\text{in}}=-\tfrac13\vec{M},\qquad \vec{B}_{\text{in}}=\tfrac23\mu_0\vec{M}
Prescribed transport currents
I=qT,K⃗=σv⃗,J⃗=ρv⃗I=\dfrac{q}{T},\qquad \vec K=\sigma\vec v,\qquad \vec J=\rho\vec v
Circular orbit central field (quasistatic vacuum)
T=2πav,B⃗center=μ0qv4πa2z^T=\dfrac{2\pi a}{v},\qquad \vec B_{\mathrm{center}}=\dfrac{\mu_0 qv}{4\pi a^2}\hat z
Azimuthal rotation current and axial curl
Jϕ(s)=ρ(s)Ωs,−dHzds=Jϕ(s)J_\phi(s)=\rho(s)\Omega s,\qquad -\dfrac{dH_z}{ds}=J_\phi(s)
Cylinder field with specified exterior and surface sheet
Hz(s)=Hbg+Kϕ+∫saJϕ(u) duH_z(s)=H_{\mathrm{bg}}+K_\phi+\int_s^a J_\phi(u)\,du
Magnetic material boundary conditions
Babove⊥=Bbelow⊥,n^×(H⃗above−H⃗below)=K⃗freeB^\perp_{\text{above}}=B^\perp_{\text{below}},\qquad \hat n\times(\vec H_{\text{above}}-\vec H_{\text{below}})=\vec K_{\text{free}}
Magnetic scalar potential and pole sources
H⃗=−∇ΦM,∇2ΦM=−ρM,ρM=−∇⋅M⃗,σM=M⃗⋅n^\vec H=-\nabla\Phi_M,\qquad \nabla^2\Phi_M=-\rho_M,\qquad \rho_M=-\nabla\cdot\vec M,\qquad \sigma_M=\vec M\cdot\hat n
Linear isotropic constitutive laws
M⃗=χmH⃗,B⃗=μH⃗,μ=μ0(1+χm)\vec M=\chi_m\vec H,\qquad \vec B=\mu\vec H,\qquad \mu=\mu_0(1+\chi_m)
Solenoid vector potential
Aϕ(s)={μ0nIs/2,s<R,μ0nIR2/(2s),s>R.A_\phi(s)=\begin{cases}\mu_0 n I s/2,&s<R,\\ \mu_0 n I R^2/(2s),&s>R.\end{cases}
Long-wire logarithmic potential and curl sign
Az(s)=−μ0I2πln⁡(ss0),Bϕ=−∂sAzA_z(s)=-\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s}{s_0}\right),\quad B_\phi=-\partial_sA_z
Equal opposite wire currents
A⃗=μ0I2πln⁡(s2s1)z^\vec A=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\left(\frac{s_2}{s_1}\right)\hat z
Flux-excluding sphere exterior scalar potential
Φout=−H∗(r+a32r2)cos⁡θ,C=−H∗a32\Phi_{\mathrm{out}}=-H_*\left(r+\frac{a^3}{2r^2}\right)\cos\theta,\quad C=-\frac{H_*a^3}{2}
Linear sphere in a uniform applied field
H⃗in=3μ0μ+2μ0H∗z^,C=μ−μ0μ+2μ0H∗a3\vec H_{\mathrm{in}}=\frac{3\mu_0}{\mu+2\mu_0}H_*\hat z,\quad C=\frac{\mu-\mu_0}{\mu+2\mu_0}H_*a^3
Pole-source potential
ΦM=14π[∫VρM(r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣dV′+∮SσM(r⃗ ′)∣r⃗−r⃗ ′∣dS′]\Phi_M=\frac1{4\pi}\left[\int_V\frac{\rho_M(\vec r\,')}{\lvert\vec r-\vec r\,'\rvert}dV'+\oint_S\frac{\sigma_M(\vec r\,')}{\lvert\vec r-\vec r\,'\rvert}dS'\right]
Exact loop force
F⃗=I∮dℓ⃗×B⃗ext(r⃗)\vec F=I\oint d\vec\ell\times\vec B_{\mathrm{ext}}(\vec r)
Circular-loop force in an inverse-square radial field
F⃗=−2πβIa2(a2+h2)3/2z^\vec F=-\frac{2\pi\beta Ia^2}{(a^2+h^2)^{3/2}}\hat z
Fixed point-dipole force, torque and energy
F⃗=∇(m⃗⋅B⃗),τ⃗=m⃗×B⃗,U=−m⃗⋅B⃗\vec F=\nabla(\vec m\cdot\vec B),\quad\vec\tau=\vec m\times\vec B,\quad U=-\vec m\cdot\vec B
#magnetostatics#convection-current#rotating-charge#ampere-law#vector-potential#magnetization#boundary-conditions

کارت‌های مرتبط

مفهومفیزیک پایه
نیروهای مغناطیسی، دوقطبی‌های جریان، اثر هال، میدان‌ها، القا و مدارهای متناوب

جریان بار متحرک، نیروها و میدان‌های مغناطیسی، دوقطبی بار چرخان، کالیبراسیون هال، القا، گذراهای RL و فازورهای سینوسی RLC مجموعه‌ای یکپارچه برای مغناطیس و مدارها می‌سازند.

ac-phasorselectromagnetic-inductionrl-transienthall-effect
قضیهریاضی فیزیک
حساب برداری، تبدیل‌های متعامد و هندسهٔ منحنی

حساب برداری دیفرانسیلی و انتگرالی، پاریتهٔ قطبی و محوری در تبدیل‌های متعامد، و هندسهٔ طول قوس و فرنهٔ منحنی‌های منظم.

vector-calculuspolar-axial-parityvector-triple-productintegral-theorems
مفهومالکترومغناطیس
الکترواستاتیک: چشمه‌ها، چندقطبی‌ها، انرژی و مسائل مقدار مرزی

میدان الکترواستاتیکی را با چشمه‌های بهنجارشده، تقارن و پتانسیل حل کنید؛ شامل روش تصاویر، چندقطبی‌ها، دی‌الکتریک‌های متغیر و مُدهای مرزی کروی، استوانه‌ای و تخت.

electrostatic-boundary-valuesdistributional-chargemultipole-momentsgraded-dielectrics

سوالات تمرینی · 8/18

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۷۶

بردار مغناطش در داخل کره‌ای به شعاع R ، یکنواخت و به شکل M = M_∘ k است. بردار میدان مغناطیسی H در مرکز کره کدام است؟

الکترومغناطیسآسانمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۷۹

بردار پتانسیل مغناطیسی در فضای آزاد A = e^(-α y)sin α x k است ( α مقداری است ثابت). بردار چگالی شار مغناطیسی B کدام است؟

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۸۰

ناحیهٔ ۰ > x با ماده‌ای به ضریب تراوایی نسبی ۲ و ناحیهٔ ۰ < x با ماده‌ای به ضریب تراوایی نسبی ۴ اشغال شده است. در مرز بین این دو ناحیه، جریان لایه‌ای 5j A/m جاری است. اگر میدان مغناطیسی در ناحیهٔ ۰ >…

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۸۴

شکل زیر یک حلقهٔ رسانا حامل جریان I=۱A به شکل مستطیل در صفحهٔ z=۰ را نشان می‌دهد. اضلاع این مستطیل با معادلات x=۱cm و x=۳cm و y=۲cm و y=۵cm توصیف می‌شوند. (در شکل، جهت جریان پادساعت‌گرد است: در ضلع…

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۸۶

درون استوانهٔ بسیار درازی به شعاع R بار الکتریکی با چگالی حجمی یکنواخت ρ_0 توزیع شده است. محور استوانه منطبق بر محور z است. این استوانه حول محورش با سرعت زاویه‌ای ω می‌چرخد. میدان مغناطیسی H در…

الکترومغناطیسآسانمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۸۷

ذره‌ای با بار الکتریکی q بر روی یک مسیر دایره‌ای به شعاع R با تندی ثابت v حرکت می‌کند. میدان مغناطیسی در مرکز دایره کدام است؟

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۸۸

میدان مغناطیسی H درون یک کرهٔ مغناطیده به شعاع R و مغناطش M=M_0k ، کدام است؟ ( M_0 مقدار ثابت است.)

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیک (Magnetostatics)کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۸۹

فرض کنید یک میدان مغناطیسی یکنواخت B=B_0j ، موازی با محور y برقرار کرده‌ایم. ناحیهٔ ۰≤ z≤ ۱ cm را از ماده‌ای پر می‌کنیم که ضریب تراوایی آن ۳ برابر ضریب تراوایی خلأ است. بردار مغناطش M در این ماده…

همهٔ 18 سؤال →