KonkurStudy
همه کارت‌ها
قضیهریاضی فیزیکحساب برداری

حساب برداری، تبدیل‌های متعامد و هندسهٔ منحنی

حساب برداری دیفرانسیلی و انتگرالی، پاریتهٔ قطبی و محوری در تبدیل‌های متعامد، و هندسهٔ طول قوس و فرنهٔ منحنی‌های منظم.

کارت قضیه کنکور ارشد فیزیک

اهمیت
۰/۵

حساب برداری میدان‌های نرده‌ای (اسکالر) ϕ(r⃗)\phi(\vec r) و میدان‌های برداری F⃗(r⃗)\vec F(\vec r) روی R3\mathbb{R}^3 و سه عملگر دیفرانسیلی مرتبهٔ اول ساخته‌شده از عملگر del (نابلا) را، به همراه قضایای انتگرالی که مشتق‌های یک میدان را به انتگرال‌های مرزی تبدیل می‌کنند، بررسی می‌کند. این شاخه ستون فقرات ریاضی الکترومغناطیس، دینامیک سیالات و هر نظریهٔ میدانی است: معادلات ماکسول، معادلات پیوستگی و نظریهٔ پتانسیل همگی گزاره‌هایی دربارهٔ ∇\nabla هستند.

۱. اشیای اصلی: عملگر del

در مختصات دکارتی، ∇\nabla عملگر دیفرانسیلی برداری زیر است

∇⃗=i^ ∂∂x+j^ ∂∂y+k^ ∂∂z.\vec\nabla = \hat i\,\frac{\partial}{\partial x} + \hat j\,\frac{\partial}{\partial y} + \hat k\,\frac{\partial}{\partial z}.

این عملگر به سه شیوهٔ متمایز با یک میدان ترکیب می‌شود.

عملگر ورودی →\to خروجی مفهوم
گرادیان ∇ϕ\nabla\phi نرده‌ای →\to برداری جهت/نرخ تندترین افزایش
دیورژانس ∇⋅F⃗\nabla\cdot\vec F برداری →\to نرده‌ای شار خالص خروجی در واحد حجم (چگالی چشمه)
کرل ∇×F⃗\nabla\times\vec F برداری →\to برداری گردش/چرخش موضعی
∇ϕ=∂ϕ∂xi^+∂ϕ∂yj^+∂ϕ∂zk^,∇⋅F⃗=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z,\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat i + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat j + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat k, \qquad \nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}, ∇×F⃗=∣i^j^k^∂x∂y∂zFxFyFz∣=(∂yFz−∂zFy)i^+(∂zFx−∂xFz)j^+(∂xFy−∂yFx)k^.\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \left(\partial_y F_z - \partial_z F_y\right)\hat i + \left(\partial_z F_x - \partial_x F_z\right)\hat j + \left(\partial_x F_y - \partial_y F_x\right)\hat k.

ترکیب چهارم، عملگر نرده‌ای هم‌رفتی (advective) A⃗⋅∇⃗=Ax∂x+Ay∂y+Az∂z\vec A\cdot\vec\nabla = A_x\partial_x + A_y\partial_y + A_z\partial_z است. توجه کنید که این یک عملگر نرده‌ای است: اعمال آن بر یک میدان برداری، هر مؤلفهٔ دکارتی را جداگانه مشتق می‌گیرد (بردارهای یکهٔ ثابت دست‌نخورده می‌مانند)،

(A⃗⋅∇⃗)F⃗=[(A⃗⋅∇⃗)Fx]i^+[(A⃗⋅∇⃗)Fy]j^+[(A⃗⋅∇⃗)Fz]k^.(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec F = \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_x\big]\hat i + \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_y\big]\hat j + \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_z\big]\hat k.

تبدیل‌های متعامد: رتبه و پاریته

تبدیل فعال را در پایهٔ دکارتی راست‌گرد ثابت در نظر بگیرید. برای ماتریس متعامد RR، η=det⁡R=±1\eta=\det R=\pm1 را تعریف کنید؛ آنگاه RTR=IR^{\mathsf T}R=I. دوران‌های سره دارای η=+1\eta=+1 و بازتاب و وارونگی دارای η=−1\eta=-1 هستند. بردارهای قطبی و محوری در دوران سره یکسان تبدیل می‌شوند ولی در تبدیل ناسره تفاوت دارند:

v⃗′=Rv⃗(polar),a⃗′=ηRa⃗(axial),s′=s(scalar),χ′=ηχ(pseudoscalar).\vec v'=R\vec v\quad\text{(polar)},\qquad \vec a'=\eta R\vec a\quad\text{(axial)},\qquad s'=s\quad\text{(scalar)},\qquad \chi'=\eta\chi\quad\text{(pseudoscalar)}.

مکان، جابه‌جایی، سرعت، تکانه و میدان الکتریکی قطبی‌اند. تکانهٔ زاویه‌ای مداری، گشتاور نیرو و میدان مغناطیسی محوری‌اند. نماد لوی‌چیویتا در پایهٔ راست‌گرد دارای ϵ123=+1\epsilon_{123}=+1 است. اتحاد دترمینانی و قانون تبدیل شبه‌تانسوری آن چنین‌اند:

RipRjqRkrϵpqr=ηϵijk,ϵijk′=ηRipRjqRkrϵpqr=ϵijk.R_{ip}R_{jq}R_{kr}\epsilon_{pqr}=\eta\epsilon_{ijk},\qquad \epsilon'_{ijk}=\eta R_{ip}R_{jq}R_{kr}\epsilon_{pqr}=\epsilon_{ijk}.

بنابراین این نماد به‌صورت شبه‌تانسور ناورداست، نه تانسور معمولی رتبهٔ سه تحت همهٔ تبدیل‌های متعامد. در مقابل، دلتای کرونکر تانسور ناوردای حقیقی است. این اتحادها می‌دهند:

(Ru⃗)⋅(Rv⃗)=u⃗⋅v⃗,(Ru⃗)×(Rv⃗)=ηR(u⃗×v⃗).(R\vec u)\cdot(R\vec v)=\vec u\cdot\vec v,\qquad (R\vec u)\times(R\vec v)=\eta R(\vec u\times\vec v).

برای بردارهایی با برچسب پاریتهٔ p,q∈{0,1}p,q\in\{0,1\} (قطبی صفر، محوری یک)، قوانین تبدیل u⃗′=ηpRu⃗\vec u'=\eta^pR\vec u و v⃗′=ηqRv⃗\vec v'=\eta^qR\vec v هستند. در نتیجه:

(u⃗⋅v⃗)′=ηp+q(u⃗⋅v⃗),(u⃗×v⃗)′=ηp+q+1R(u⃗×v⃗).(\vec u\cdot\vec v)'=\eta^{p+q}(\vec u\cdot\vec v),\qquad (\vec u\times\vec v)'=\eta^{p+q+1}R(\vec u\times\vec v).
شیء یا عمل نوع تبدیل وارونگی فضایی
بردار قطبی Rv⃗R\vec v v⃗→−v⃗\vec v\to-\vec v
بردار محوری ηRa⃗\eta R\vec a a⃗→a⃗\vec a\to\vec a
اسکالر s′=ss'=s بدون تغییر
شبه‌اسکالر χ′=ηχ\chi'=\eta\chi تغییر علامت
ضرب داخلی قطبی در قطبی اسکالر زوج
ضرب داخلی محوری در محوری اسکالر زوج
ضرب داخلی قطبی در محوری شبه‌اسکالر فرد
ضرب خارجی قطبی در قطبی محوری زوج
ضرب خارجی قطبی در محوری، یا محوری در قطبی قطبی فرد
ضرب خارجی محوری در محوری محوری زوج
سه بردار قطبی در ضرب سه‌گانهٔ نرده‌ای شبه‌اسکالر فرد

وارونگی دارای R=−IR=-I و η=−1\eta=-1 است. برای آزمونی تألیفی، بردارهای قطبی u⃗,v⃗\vec u,\vec v و محوری a⃗\vec a را در نظر بگیرید. هر دو بردار u⃗×a⃗\vec u\times\vec a و v⃗×a⃗\vec v\times\vec a قطبی‌اند؛ ضرب داخلی آن‌ها اسکالر و ضرب خارجی آن‌ها محوری است. ضرب داخلی چه اسکالر باشد چه شبه‌اسکالر، شاخص آزاد ندارد؛ ضرب خارجی چه قطبی باشد چه محوری، یک شاخص آزاد دارد. تعداد شاخص‌های آزاد رتبه را تعیین می‌کند، نه پاریته را. در نقاط تبدیل‌شدهٔ میدان، میدان اسکالر از ϕ′(Rr⃗)=ϕ(r⃗)\phi'(R\vec r)=\phi(\vec r) پیروی می‌کند؛ گرادیان آن قطبی است، در حالی که کرل میدان قطبی محوری است.

۲. اتحادهای کلیدی و قضایای انتگرالی

اتحادهای مشتق مرتبهٔ دوم (برای هر میدان C2C^2 برقرارند):

∇×(∇ϕ)=0⃗,∇⋅(∇×A⃗)=0,∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗.\nabla\times(\nabla\phi) = \vec 0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = 0, \qquad \nabla\times(\nabla\times\vec F) = \nabla(\nabla\cdot\vec F) - \nabla^2\vec F .

اولی می‌گوید میدان‌های گرادیانی (پایستار) بی‌چرخش (irrotational) هستند؛ دومی می‌گوید میدان‌های کرل سالنوئیدی (solenoidal) (بدون دیورژانس) هستند. عکس این گزاره‌ها به شرایط دامنه نیاز دارد: برای عکس گرادیانی، دامنهٔ ساده‌همبند کافی است؛ برای عکس مربوط به پتانسیل برداری، دامنهٔ انقباض‌پذیر کافی است: ∇×F⃗=0⇒F⃗=∇ϕ\nabla\times\vec F=0 \Rightarrow \vec F=\nabla\phi، و ∇⋅F⃗=0⇒F⃗=∇×A⃗\nabla\cdot\vec F=0 \Rightarrow \vec F=\nabla\times\vec A.

قواعد ضرب که دائماً به کار می‌روند:

∇⋅(ϕF⃗)=ϕ ∇⋅F⃗+F⃗⋅∇ϕ,∇×(ϕF⃗)=ϕ ∇×F⃗+(∇ϕ)×F⃗,\nabla\cdot(\phi\vec F) = \phi\,\nabla\cdot\vec F + \vec F\cdot\nabla\phi, \qquad \nabla\times(\phi\vec F) = \phi\,\nabla\times\vec F + (\nabla\phi)\times\vec F, ∇⋅(F⃗×G⃗)=G⃗⋅(∇×F⃗)−F⃗⋅(∇×G⃗).\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) = \vec G\cdot(\nabla\times\vec F) - \vec F\cdot(\nabla\times\vec G).

ضرب‌های سه‌گانهٔ برداری و دیورژانس ضرب خارجی تو‌در‌تو

ضرب خارجی شرکت‌پذیر نیست. با پرانتزگذاری صریح:

a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗),(a⃗×b⃗)×c⃗=b⃗(a⃗⋅c⃗)−a⃗(b⃗⋅c⃗).\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b(\vec a\cdot\vec c)-\vec c(\vec a\cdot\vec b),\qquad (\vec a\times\vec b)\times\vec c=\vec b(\vec a\cdot\vec c)-\vec a(\vec b\cdot\vec c).

اثبات مؤلفه‌ای از جمع روی شاخص تکراری و انقباض لوی‌چیویتا استفاده می‌کند:

[a⃗×(b⃗×c⃗)]i=ϵijkϵklmajblcm=(δilδjm−δimδjl)ajblcm=biajcj−ciajbj.[\vec a\times(\vec b\times\vec c)]_i =\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}a_jb_lc_m =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_jb_lc_m =b_i a_jc_j-c_i a_jb_j.

برای بردارهای ثابت و بردار مکان، F⃗=a⃗×(b⃗×r⃗)\vec F=\vec a\times(\vec b\times\vec r) را در نظر بگیرید. در مؤلفه‌های دکارتی:

Fi=biajxj−xiajbj,∂iFi=biajδij−δiiajbj=(1−3)a⃗⋅b⃗=−2a⃗⋅b⃗.F_i=b_i a_jx_j-x_i a_jb_j,\qquad \partial_iF_i=b_i a_j\delta_{ij}-\delta_{ii}a_jb_j =(1-3)\vec a\cdot\vec b=-2\vec a\cdot\vec b.

محاسبهٔ مستقل با اتحادهای دیفرانسیلی، G⃗=b⃗×r⃗\vec G=\vec b\times\vec r را قرار می‌دهد و از روابط زیر استفاده می‌کند:

∇×(b⃗×r⃗)=b⃗(∇⋅r⃗)−r⃗(∇⋅b⃗)+(r⃗⋅∇)b⃗−(b⃗⋅∇)r⃗=3b⃗−b⃗=2b⃗,\nabla\times(\vec b\times\vec r) =\vec b(\nabla\cdot\vec r)-\vec r(\nabla\cdot\vec b) +(\vec r\cdot\nabla)\vec b-(\vec b\cdot\nabla)\vec r =3\vec b-\vec b=2\vec b, ∇⋅(a⃗×G⃗)=G⃗⋅(∇×a⃗)−a⃗⋅(∇×G⃗)=−2a⃗⋅b⃗.\nabla\cdot(\vec a\times\vec G) =\vec G\cdot(\nabla\times\vec a)-\vec a\cdot(\nabla\times\vec G) =-2\vec a\cdot\vec b.

ثابت بودن بردارها ضروری است؛ میدان‌های متغیر جمله‌های مشتقی اضافی ایجاد می‌کنند. نتیجه برای ثابت‌های عمود بر هم صفر است و واحد میدان تقسیم بر طول دارد. برای نمونه، a⃗=x^+2z^\vec a=\hat x+2\hat z و b⃗=3x^−y^\vec b=3\hat x-\hat y را انتخاب کنید؛ دیورژانس در واحدهای ضمنی −6-6 است، پس طبق گاوس، شار رو به بیرون از هر ناحیهٔ بسته −6Vol⁡(V)-6\operatorname{Vol}(V) است. این کنترل هم ضرب داخلی و هم تعداد ابعاد را می‌آزماید.

قضایای انتگرالی (نتیجهٔ نهایی — مشتق حجمی/سطحی را به یک انتگرال مرزی تبدیل می‌کنند):

Divergence (Gauss): ∫V(∇⋅F⃗) dV=∮∂VF⃗⋅da⃗,\textbf{Divergence (Gauss): } \quad \int_V (\nabla\cdot\vec F)\,dV = \oint_{\partial V} \vec F\cdot d\vec a , Stokes (curl): ∫S(∇×F⃗)⋅da⃗=∮∂SF⃗⋅dℓ⃗,\textbf{Stokes (curl): } \quad \int_S (\nabla\times\vec F)\cdot d\vec a = \oint_{\partial S} \vec F\cdot d\vec\ell , Gradient theorem: ∫ab∇ϕ⋅dℓ⃗=ϕ(b)−ϕ(a).\textbf{Gradient theorem: } \quad \int_a^b \nabla\phi\cdot d\vec\ell = \phi(b) - \phi(a).

یک نتیجهٔ کلیدی: برای میدانی با B⃗=∇×A⃗\vec B=\nabla\times\vec A، شار عبوری از هر سطح بسته برابر صفر است، ∮SB⃗⋅da⃗=∫V∇⋅B⃗ dV=0\oint_S\vec B\cdot d\vec a = \int_V\nabla\cdot\vec B\,dV = 0 — همان محتوای ریاضیِ ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec B=0 در مغناطواستاتیک.

شرایط دامنه و جهت‌گیری

این قضایا به میدان‌های به‌اندازهٔ کافی هموار و مرزهای تکه‌وار هموار نیاز دارند. در قضیهٔ گاوس، بردار عمود رو به بیرون است؛ در قضیهٔ استوکس، پیمایش مرز نسبت به عمود انتخاب‌شدهٔ سطح از قاعدهٔ دست راست پیروی می‌کند. برای نتیجه‌گیری مستقیم از قضیهٔ شار بسته، پتانسیل برداری باید در سراسر حجم مربوط به‌طور هموار تعریف شده باشد.

عکس‌های مربوط به پتانسیل، به‌صورت موضعی بدون فرض توپولوژیک برقرارند. در حالت سراسری، ساده‌همبند بودن برای گرادیانی بودن میدان بی‌چرخش کافی است، اما به‌تنهایی وجود پتانسیل برداری برای میدان بدون دیورژانس را تضمین نمی‌کند. برای نمونه، میدان هموار F⃗=r⃗/r3\vec F=\vec r/r^3 در فضای سه‌بعدی با مبدأ حذف‌شده، در آن دامنه دیورژانس صفر دارد ولی شار آن از کره‌ای که مبدأ حذف‌شده را در بر می‌گیرد ناصفر است؛ بنابراین نمی‌تواند کرل یک پتانسیل برداری سراسری و هموار در آن دامنه باشد. دامنهٔ انقباض‌پذیر هر دو مانع را برطرف می‌کند.

منحنی‌های منظم: مشتق، طول قوس و جهت‌گیری

منحنی پارامتری r⃗(t)\vec r(t) در نقاطی که r⃗′(t)≠0⃗\vec r^{\prime}(t)\ne\vec 0 باشد منظم است. اگر s(t)s(t) طول قوس انباشته با افزایش پارامتر باشد،

s(t)−s(t0)=∫t0t∣r⃗′(u)∣ du,dsdt=∣r⃗′(t)∣,T^=dr⃗ds=r⃗′∣r⃗′∣.s(t)-s(t_0)=\int_{t_0}^{t}\lvert\vec r^{\prime}(u)\rvert\,du,\qquad \frac{ds}{dt}=\lvert\vec r^{\prime}(t)\rvert,\qquad \hat T=\frac{d\vec r}{ds}=\frac{\vec r^{\prime}}{\lvert\vec r^{\prime}\rvert}.

مؤلفه‌های دکارتی را با بردارهای پایهٔ مربوط به خود مشتق بگیرید. مشتق دارای واحد طول بر واحد پارامتر است و هم جهت و هم نرخ پیمایش را در بر دارد؛ بردار مماس یکه بی‌بُعد است. اگر پارامتر زمان فیزیکی باشد، مشتق همان سرعت برداری و اندازهٔ آن تندی است. اگر پارامتر زاویه باشد، مشتق آن تا پیش از ضرب شدن در آهنگ تغییر زاویه، سرعت فیزیکی نیست.

در بازپارامتری‌سازی هموار t=f(u)t=f(u) با مشتق ناصفر، قاعدهٔ زنجیره‌ای می‌دهد

dr⃗du=r⃗′(t)f′(u),T^u=f′(u)∣f′(u)∣T^t.\frac{d\vec r}{du}=\vec r^{\prime}(t)f^{\prime}(u),\qquad \hat T_u=\frac{f^{\prime}(u)}{\lvert f^{\prime}(u)\rvert}\hat T_t.

بازپارامتری‌سازی صعودی جهت‌گیری را حفظ و بازپارامتری‌سازی نزولی آن را معکوس می‌کند. یک منحنی هندسی بدون جهت‌گیری، دو انتخاب برای مماس یکه دارد. جهت حرکت ذره با تحول زمانی واقعی آن تعیین می‌شود.

انحنا و چارچوب فرنه

برای منحنی منظم با دو بار مشتق‌پذیری، انحنا آهنگ چرخش مماس بر واحد طول قوس است:

κ=∣dT^ds∣=∣r⃗′×r⃗′′∣∣r⃗′∣3.\kappa=\left\lvert\frac{d\hat T}{ds}\right\rvert =\frac{\lvert\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}\rvert}{\lvert\vec r^{\prime}\rvert^3}.

در نقاطی که κ>0\kappa>0 است، عمود اصلی و دوعمود را تعریف می‌کنیم،

N^=1κdT^ds,B^=T^×N^=r⃗′×r⃗′′∣r⃗′×r⃗′′∣.\hat N=\frac{1}{\kappa}\frac{d\hat T}{ds},\qquad \hat B=\hat T\times\hat N =\frac{\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}}{\lvert\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}\rvert}.

عمود اصلی به‌سوی خمیدگی موضعی منحنی اشاره می‌کند. این سه بردار یک چارچوب متعامد یکه و راست‌گرد تشکیل می‌دهند. شعاع انحنای موضعی برابر 1/κ1/\kappa است. برای منحنی سه بار مشتق‌پذیر با انحنای ناصفر، تابِ علامت‌دار میزان خروج از یک صفحه را می‌سنجد:

τ=(r⃗′×r⃗′′)⋅r⃗′′′∣r⃗′×r⃗′′∣2,dT^ds=κN^,dN^ds=−κT^+τB^,dB^ds=−τN^.\tau=\frac{(\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime})\cdot\vec r^{\prime\prime\prime}}{\lvert\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}\rvert^2},\qquad \frac{d\hat T}{ds}=\kappa\hat N,\qquad \frac{d\hat N}{ds}=-\kappa\hat T+\tau\hat B,\qquad \frac{d\hat B}{ds}=-\tau\hat N.

انحنا و تاب هر دو واحد معکوس طول دارند. معکوس کردن پیمایش، مماس و دوعمود را معکوس می‌کند، عمود اصلی را حفظ می‌کند و انحنا و تاب را بدون تغییر باقی می‌گذارد.

کمیت اطلاعات آن واحد در پارامتر زمان فیزیکی
r⃗′\vec r^{\prime} جهت و آهنگ پیمایش طول بر زمان
∣r⃗′∣\lvert\vec r^{\prime}\rvert تندی در امتداد منحنی طول بر زمان
T^\hat T فقط جهت مماسِ جهت‌دار بی‌بُعد
κ\kappa خمیدگی بر واحد طول قوس معکوس طول
τ\tau پیچش چارچوب فرنه معکوس طول

۳. روش — چگونه به یک مسئله حمله کنیم

  1. نوع عملگر را تشخیص دهید. آیا ∇ϕ\nabla\phi است (خروجی برداری از نرده‌ای)، ∇⋅\nabla\cdot (نرده‌ای)، ∇×\nabla\times (برداری)، یا عملگر نرده‌ای A⃗⋅∇\vec A\cdot\nabla؟ این تعیین می‌کند پاسخ شما باید چه نوع شیئی باشد — پاسخی با رتبهٔ نادرست بلافاصله قابل حذف است.
  2. برای (A⃗⋅∇)F⃗(\vec A\cdot\nabla)\vec F: ابتدا عملگر نرده‌ایِ یگانهٔ Ax∂x+Ay∂y+Az∂zA_x\partial_x+A_y\partial_y+A_z\partial_z را بسازید، سپس آن را مؤلفه‌به‌مؤلفه بر F⃗\vec F اعمال کنید. هرگز از A⃗\vec A مشتق نگیرید.
  3. برای انتگرال روی یک حلقهٔ بسته یا سطح بسته، آن را با یک قضیه تطبیق دهید: شار سطح بسته ∮S(⋯ )⋅da⃗\oint_S(\cdots)\cdot d\vec a →\to گاوس (دیورژانس را می‌سنجد)؛ گردش روی حلقهٔ بسته ∮C(⋯ )⋅dℓ⃗\oint_C(\cdots)\cdot d\vec\ell →\to استوکس (کرل را می‌سنجد).
  4. از اتحادهای استاندارد بهره ببرید (∇×∇ϕ=0\nabla\times\nabla\phi=0، ∇⋅∇×A⃗=0\nabla\cdot\nabla\times\vec A=0) پیش از هر محاسبه‌ای — اغلب یک انتگرال را یکسره از بین می‌برند.
  5. تقارن/مختصات را بررسی کنید. برای تقارن کروی یا استوانه‌ای، به‌جای دست‌وپنجه نرم کردن با مشتق‌های دکارتی، به فرمول‌های ∇\nabla آن دستگاه‌ها سوئیچ کنید.
  6. برای منحنی پارامتری: پیش از جای‌گذاری مقدار پارامتر مشتق بگیرید، اندازهٔ مشتق را حساب کنید، منظم بودن را بررسی و سپس آن را یکه کنید. مشخص کنید که افزایش پارامتر با جهت حرکت سازگار است یا نه. از فرمول ضرب خارجی برای انحنا استفاده کنید و شتاب را با عمود یکه اشتباه نگیرید.

۴. مثال کوچک حل‌شده

فرض کنید ϕ=x2y\phi = x^2 y و F⃗=∇ϕ\vec F = \nabla\phi. نشان دهید F⃗\vec F پایستار است و گردش آن را روی هر حلقهٔ بسته محاسبه کنید.

F⃗=∇ϕ=2xy i^+x2 j^+0 k^.\vec F = \nabla\phi = 2xy\,\hat i + x^2\,\hat j + 0\,\hat k .

کرل آن:

∇×F⃗=(∂xFy−∂yFx)k^=(2x−2x)k^=0⃗,\nabla\times\vec F = (\partial_x F_y - \partial_y F_x)\hat k = (2x - 2x)\hat k = \vec 0,

پس F⃗\vec F بی‌چرخش است، همان‌طور که ∇×∇ϕ=0\nabla\times\nabla\phi=0 تضمین می‌کند. بنا بر قضیهٔ استوکس،

∮CF⃗⋅dℓ⃗=∫S(∇×F⃗)⋅da⃗=0\oint_C \vec F\cdot d\vec\ell = \int_S (\nabla\times\vec F)\cdot d\vec a = 0

برای هر حلقهٔ بسته — به‌طور معادل، قضیهٔ گرادیان نتیجه می‌دهد ϕ(b)−ϕ(a)=0\phi(b)-\phi(a)=0 هنگامی که b=ab=a باشد. انتگرال خطی بین دو نقطهٔ ثابت مستقل از مسیر است و برابر Δϕ\Delta\phi می‌شود.

شار گرادیان: از لاپلاسین استفاده کنید

برای میدان اسکالر هموار در سراسر حجم محصور و عمود رو به بیرون:

∮∂V∇ϕ⋅da⃗=∫V∇2ϕ dV.\oint_{\partial V}\nabla\phi\cdot d\vec a=\int_V\nabla^2\phi\,dV.

این انتگرال لزوماً صفر نیست: گرادیان کرل صفر دارد، نه لزوماً دیورژانس صفر. در سه بعد، اسکالرهای شعاعی از روابط زیر پیروی می‌کنند:

∇2ϕ(r)=1r2ddr(r2dϕdr),∇2rn=n(n+1)rn−2(r>0).\nabla^2\phi(r)=\frac1{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right),\qquad \nabla^2r^n=n(n+1)r^{n-2}\quad(r>0).

در نقاط تکین، توزیع‌ها و فرض‌های قضیه را جداگانه بررسی کنید. برای تابع هموار r2r^2، محاسبهٔ دکارتی ∇2(x2+y2+z2)=6\nabla^2(x^2+y^2+z^2)=6 را در همه‌جا می‌دهد. برای مثالی تألیفی، ϕ=A(x2+y2+z2)+Bx2\phi=A(x^2+y^2+z^2)+Bx^2 را با ضرایب ثابت در نظر بگیرید. شار آن از هر سطح بسته (6A+2B)Vol⁡(V)(6A+2B)\operatorname{Vol}(V) است و به شکل وابسته نیست. واحد، واحد اسکالر ضرب در طول است؛ هر دو انتگرال گرادیان در مساحت و لاپلاسین در حجم همین واحد را می‌طلبند.

مثال کوچک حل‌شده: مارپیچ با زمان‌سنج فیزیکی

فرض کنید ℓ>0\ell>0 یک طول و Ω>0\Omega>0 بسامد زاویه‌ای باشد. مسیر ابتکاری زیر را در نظر بگیرید

r⃗(t)=2ℓcos⁡(Ωt)i^+2ℓsin⁡(Ωt)j^+ℓΩtk^.\vec r(t)=2\ell\cos(\Omega t)\hat i+2\ell\sin(\Omega t)\hat j+\ell\Omega t\hat k.

آرگومان هر تابع مثلثاتی بی‌بُعد است. هر مؤلفه را مشتق می‌گیریم:

r⃗′=ℓΩ[−2sin⁡(Ωt)i^+2cos⁡(Ωt)j^+k^],r⃗′′=−2ℓΩ2[cos⁡(Ωt)i^+sin⁡(Ωt)j^].\vec r^{\prime}=\ell\Omega\left[-2\sin(\Omega t)\hat i+2\cos(\Omega t)\hat j+\hat k\right],\qquad \vec r^{\prime\prime}=-2\ell\Omega^2\left[\cos(\Omega t)\hat i+\sin(\Omega t)\hat j\right].

مشتق یک سرعت برداری است، در حالی که جهت یکه‌شده برابر است با

dsdt=5 ℓΩ,s(t)−s(0)=5 ℓΩt,T^(t)=−2sin⁡(Ωt)i^+2cos⁡(Ωt)j^+k^5.\frac{ds}{dt}=\sqrt5\,\ell\Omega,\qquad s(t)-s(0)=\sqrt5\,\ell\Omega t,\qquad \hat T(t)=\frac{-2\sin(\Omega t)\hat i+2\cos(\Omega t)\hat j+\hat k}{\sqrt5}.

در t=0t=0، سرعت برداری ℓΩ(2j^+k^)\ell\Omega(2\hat j+\hat k) است، ولی مماس یکه (2j^+k^)/5(2\hat j+\hat k)/\sqrt5 است. مجذور اندازهٔ آن (4+1)/5=1(4+1)/5=1 می‌شود. تندی واحد طول بر زمان دارد؛ مماس یکه فاقد واحد است.

در محاسبهٔ انحنا، هم ضرب خارجی و هم یکه‌سازی را نگه می‌داریم:

r⃗′×r⃗′′=2ℓ2Ω3[sin⁡(Ωt)i^−cos⁡(Ωt)j^+2k^],κ=25 ℓ2Ω3(5 ℓΩ)3=25ℓ.\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime} =2\ell^2\Omega^3\left[\sin(\Omega t)\hat i-\cos(\Omega t)\hat j+2\hat k\right],\qquad \kappa=\frac{2\sqrt5\,\ell^2\Omega^3}{(\sqrt5\,\ell\Omega)^3}=\frac{2}{5\ell}.

چارچوب کامل فرنه و تاب برابرند با

N^=−cos⁡(Ωt)i^−sin⁡(Ωt)j^,B^=sin⁡(Ωt)i^−cos⁡(Ωt)j^+2k^5,τ=15ℓ.\hat N=-\cos(\Omega t)\hat i-\sin(\Omega t)\hat j,\qquad \hat B=\frac{\sin(\Omega t)\hat i-\cos(\Omega t)\hat j+2\hat k}{\sqrt5},\qquad \tau=\frac{1}{5\ell}.

مماس بر عمود شعاعیِ رو به درون عمود است و ضرب خارجی آن‌ها دوعمود نوشته‌شده را می‌دهد. انحنا و تاب هر دو از آهنگ پیمایش مستقل‌اند. جایگزینی tt با −u-u مماس را در نقطهٔ متناظر معکوس می‌کند، بی‌آنکه منحنی هندسی یا انحنای آن تغییر کند.

۵. حالت‌های خاص، موارد ویژه و حدها

  • میدان بی‌چرخش: ∇×F⃗=0⇒F⃗=∇ϕ\nabla\times\vec F=0 \Rightarrow \vec F=\nabla\phi، کار مستقل از مسیر، وجود یک پتانسیل نرده‌ای (الکترواستاتیک: E⃗=−∇V\vec E=-\nabla V).
  • میدان سالنوئیدی: ∇⋅F⃗=0⇒F⃗=∇×A⃗\nabla\cdot\vec F=0 \Rightarrow \vec F=\nabla\times\vec A، شار خالص صفر از سطوح بسته، وجود یک پتانسیل برداری (مغناطواستاتیک: B⃗=∇×A⃗\vec B=\nabla\times\vec A).
  • میدان همساز (harmonic): هم ∇⋅F⃗=0\nabla\cdot\vec F=0 و هم ∇×F⃗=0\nabla\times\vec F=0 ⇒\Rightarrow F⃗=∇ϕ\vec F=\nabla\phi با ∇2ϕ=0\nabla^2\phi=0 (لاپلاس).
  • تجزیهٔ هلمهولتز: هر میدان خوش‌رفتار به‌صورت F⃗=−∇ϕ+∇×A⃗\vec F = -\nabla\phi + \nabla\times\vec A تجزیه می‌شود (یک بخش بدون کرل به‌علاوهٔ یک بخش بدون دیورژانس).
  • مختصات منحنی‌الخط: عملگرها ضرایب مقیاس hih_i می‌گیرند؛ مثلاً در مختصات کروی ∇⋅F⃗=1r2∂r(r2Fr)+1rsin⁡θ∂θ(sin⁡θ Fθ)+1rsin⁡θ∂ϕFϕ\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2 F_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,F_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi F_\phi.
  • قضیهٔ گرین حالت خاص دوبعدی هر دو قضیهٔ استوکس و دیورژانس است.

گزاره‌های مربوط به پتانسیل در این بخش، فرض‌های دامنهٔ بیان‌شده در بالا را به کار می‌برند. تجزیهٔ هلمهولتز در کل فضا به همواری و افت مناسب نیاز دارد؛ در دامنه‌های محدود باید داده‌های مرزی و سهم‌های همساز احتمالی را نیز مشخص کرد.

  • پاره‌خط منظم: κ=0\kappa=0؛ مماس وجود دارد، اما فرمول‌های بالا عمود اصلی و دوعمود فرنه را تعیین نمی‌کنند.
  • نقطهٔ توقف پارامتر: در r⃗′=0⃗\vec r^{\prime}=\vec0 یکه‌سازی تعریف نمی‌شود؛ حدها را بررسی کنید یا پارامتری‌سازی منظم دیگری برگزینید.
  • دایره به شعاع a>0a>0: κ=1/a\kappa=1/a و τ=0\tau=0. یک قطعهٔ خمیدهٔ مسطح هر جا چارچوب فرنهٔ آن وجود داشته باشد تاب صفر دارد.
  • مؤلفه‌های منحنی‌الخط: بردارهای پایه ممکن است با پارامتر تغییر کنند؛ پس مشتق گرفتن صرفاً از توابع مؤلفه‌ای، مشتق‌های پایه را حذف می‌کند. مشتق‌گیری مؤلفه‌به‌مؤلفهٔ دکارتی از پایه‌های ثابت استفاده می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: با رعایت شرایط دامنهٔ پتانسیل که در بالا آمد، ابتدا رتبه‌ها را تطبیق دهید. «B⃗\vec B کرلِ چیزی است» ≡∇⋅B⃗=0\equiv \nabla\cdot\vec B=0، پس سراغ شار سطح بسته (گاوس) بروید، نه گردش روی حلقه (استوکس) که در عوض کرل را می‌سنجد. و (B⃗⋅∇⃗)A⃗≠B⃗(∇⋅A⃗)≠(A⃗⋅∇⃗)B⃗(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A \ne \vec B(\nabla\cdot\vec A) \ne (\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B — عملگر نرده‌ای B⃗⋅∇⃗\vec B\cdot\vec\nabla فقط هر مؤلفهٔ A⃗\vec A را مشتق می‌گیرد.

تلهٔ رایج: پیش از یکه‌سازی یا جای‌گذاری، مشتق را محاسبه کنید. برچسب چاپی یک بردار پایه نمی‌تواند جای مشتق واقعی مؤلفه را بگیرد، و معکوس کردن جهت‌گیری تمام مماس را معکوس می‌کند، نه فقط یک مؤلفه را.

فرمول‌های کلیدی

Del operator (Cartesian)
∇⃗=i^ ∂x+j^ ∂y+k^ ∂z\vec\nabla = \hat i\,\partial_x + \hat j\,\partial_y + \hat k\,\partial_z
Gradient
∇ϕ=∂xϕ i^+∂yϕ j^+∂zϕ k^\nabla\phi = \partial_x\phi\,\hat i + \partial_y\phi\,\hat j + \partial_z\phi\,\hat k
Divergence
∇⋅F⃗=∂xFx+∂yFy+∂zFz\nabla\cdot\vec F = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z
Curl
∇×F⃗=(∂yFz−∂zFy)i^+(∂zFx−∂xFz)j^+(∂xFy−∂yFx)k^\nabla\times\vec F = (\partial_y F_z - \partial_z F_y)\hat i + (\partial_z F_x - \partial_x F_z)\hat j + (\partial_x F_y - \partial_y F_x)\hat k
Scalar advective operator
(A⃗⋅∇⃗)F⃗=[(A⃗⋅∇⃗)Fx]i^+[(A⃗⋅∇⃗)Fy]j^+[(A⃗⋅∇⃗)Fz]k^(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec F = \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_x\big]\hat i + \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_y\big]\hat j + \big[(\vec A\cdot\vec\nabla)F_z\big]\hat k
Curl of gradient vanishes
∇×(∇ϕ)=0⃗\nabla\times(\nabla\phi) = \vec 0
Divergence of curl vanishes
∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = 0
Curl of curl
∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗\nabla\times(\nabla\times\vec F) = \nabla(\nabla\cdot\vec F) - \nabla^2\vec F
Divergence (Gauss) theorem
∫V(∇⋅F⃗) dV=∮∂VF⃗⋅da⃗\int_V (\nabla\cdot\vec F)\,dV = \oint_{\partial V} \vec F\cdot d\vec a
Stokes' theorem
∫S(∇×F⃗)⋅da⃗=∮∂SF⃗⋅dℓ⃗\int_S (\nabla\times\vec F)\cdot d\vec a = \oint_{\partial S} \vec F\cdot d\vec\ell
Gradient theorem
∫ab∇ϕ⋅dℓ⃗=ϕ(b)−ϕ(a)\int_a^b \nabla\phi\cdot d\vec\ell = \phi(b) - \phi(a)
Helmholtz decomposition
F⃗=−∇ϕ+∇×A⃗\vec F = -\nabla\phi + \nabla\times\vec A
Arc-length rate and unit tangent
dsdt=∣r⃗′∣,T^=r⃗′∣r⃗′∣\dfrac{ds}{dt}=\lvert\vec r^{\prime}\rvert,\qquad \hat T=\dfrac{\vec r^{\prime}}{\lvert\vec r^{\prime}\rvert}
Curvature and Frenet normal/binormal
κ=∣r⃗′×r⃗′′∣∣r⃗′∣3,N^=1κdT^ds,B^=T^×N^\kappa=\dfrac{\lvert\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}\rvert}{\lvert\vec r^{\prime}\rvert^3},\qquad \hat N=\dfrac{1}{\kappa}\dfrac{d\hat T}{ds},\qquad \hat B=\hat T\times\hat N
Torsion
τ=(r⃗′×r⃗′′)⋅r⃗′′′∣r⃗′×r⃗′′∣2\tau=\dfrac{(\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime})\cdot\vec r^{\prime\prime\prime}}{\lvert\vec r^{\prime}\times\vec r^{\prime\prime}\rvert^2}
Orientation under reparametrization
T^u=f′(u)∣f′(u)∣T^t\hat T_u=\dfrac{f^{\prime}(u)}{\lvert f^{\prime}(u)\rvert}\hat T_t
Scalar-vector product identities
∇⋅(ϕF⃗)=ϕ∇⋅F⃗+F⃗⋅∇ϕ,∇×(ϕF⃗)=ϕ∇×F⃗+(∇ϕ)×F⃗\nabla\cdot(\phi\vec F)=\phi\nabla\cdot\vec F+\vec F\cdot\nabla\phi,\qquad \nabla\times(\phi\vec F)=\phi\nabla\times\vec F+(\nabla\phi)\times\vec F
Divergence of a cross product
∇⋅(F⃗×G⃗)=G⃗⋅(∇×F⃗)−F⃗⋅(∇×G⃗)\nabla\cdot(\vec F\times\vec G)=\vec G\cdot(\nabla\times\vec F)-\vec F\cdot(\nabla\times\vec G)
Vector triple product
a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b(\vec a\cdot\vec c)-\vec c(\vec a\cdot\vec b)
Nested-cross divergence for constant vectors
∇⋅[a⃗×(b⃗×r⃗)]=−2a⃗⋅b⃗\nabla\cdot[\vec a\times(\vec b\times\vec r)]=-2\vec a\cdot\vec b
Polar and axial transformation
v⃗′=Rv⃗,a⃗′=(det⁡R)Ra⃗\vec v\prime=R\vec v,\qquad\vec a\prime=(\det R)R\vec a
Levi-Civita determinant identity
RipRjqRkrϵpqr=(det⁡R)ϵijkR_{ip}R_{jq}R_{kr}\epsilon_{pqr}=(\det R)\epsilon_{ijk}
Dot/cross orthogonal laws
(Ru⃗)⋅(Rv⃗)=u⃗⋅v⃗,(Ru⃗)×(Rv⃗)=(det⁡R)R(u⃗×v⃗)(R\vec u)\cdot(R\vec v)=\vec u\cdot\vec v,\quad(R\vec u)\times(R\vec v)=(\det R)R(\vec u\times\vec v)
Gradient flux and radial Laplacian
∮∂V∇ϕ⋅da⃗=∫V∇2ϕ dV,∇2ϕ(r)=r−2ddr(r2dϕdr)\oint_{\partial V}\nabla\phi\cdot d\vec a=\int_V\nabla^2\phi\,dV,\quad\nabla^2\phi(r)=r^{-2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\phi}{dr})
#vector-calculus#polar-axial-parity#vector-triple-product#integral-theorems#laplacian#curve-geometry

کارت‌های مرتبط

مفهومالکترومغناطیس
مغناطیس‌ایستایی: بار متحرک، پتانسیل‌ها و مواد مغناطیسی

میدان‌های جریان پایا، پتانسیل‌های نرده‌ای و برداری، مغناطش و شرایط مرزی را برای بارهای چرخان، کره‌های مغناطیسی، پاسخ مواد و نیروهای دقیق حلقهٔ متناهی به کار ببرید.

magnetostaticsconvection-currentrotating-chargeampere-law
مفهومفیزیک پایه
سینماتیک: حرکت یک‌بعدی و دوبعدی، پرتابه‌ها و حرکت نسبی

جعبه‌ابزار کامل سینماتیک — مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از r(t) ، مسیرهای a=v dv/dx و t(x) ضمنی برای حرکت غیریکنواخت، مسیر و برد پرتابه، تجزیهٔ مماسی/عمودی همراه با شعاع انحنا، و سرعت نسبی گالیله‌ای.

kinematicsone-dimensional-motionprojectile-motionrelative-velocity

سوالات تمرینی · 8/12

ریاضی فیزیکآسانحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۳

برای بردارهای A = x^۲ i + xz j + y k و B = z i + y j + x k حاصل عبارت (B·∇)A کدام است؟

ریاضی فیزیکآسانحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۴

اگر B = ∇ × A ، کدام مورد درست است؟ ( c یک منحنی بستهٔ دلخواه و s مساحت سطح آن است.)

ریاضی فیزیکمتوسطحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۴ — سؤال ۲۹

میدان برداری F در مختصات کروی به‌شکل F (r,θ,φ)=cosφ r+sinφ θ است. حاصل عبارت ∇×(rtimesF) کدام است؟

ریاضی فیزیکآسانحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۵۵

اگر A برداری ثابت و r بردار مکان باشد، حاصل عبارت ∇(Acdotr) کدام است؟

ریاضی فیزیکمتوسطحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۳ — سؤال ۵۸

معادلهٔ پارامتری مسیر ذره‌ای به شکل زیر است: x=acosθ و y=asinθ و z=bθ . a و b مقادیر ثابتی هستند. بردار یکهٔ مماس بر مسیر، در نقطهٔ θ=(π)/۲ ، کدام است؟

ریاضی فیزیکآسانحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۵۹

واگرایی (دیورژانس) بردار vec a×(vec b×vec r) چیست؟ ( vec r بردار مکان و vec a و vec b دو بردار ثابت در فضای ۳ بعدی هستند.)

ریاضی فیزیکمتوسطحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۶۱

اگر vec r و vec p و vec L به‌ترتیب بردارهای مکان، تکانهٔ خطی و تکانهٔ زاویه‌ای باشند، کدام عبارت نادرست است؟

ریاضی فیزیکآسانحساب برداریکنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۲ — سؤال ۶۲

فرض کنید S سطح بسته‌ای است که حجم V را دربرگرفته است. حاصل انتگرال ∮_Svec∇(r^۲)· dvec S چیست؟ (بردار dvec S در هر نقطه از سطح، برداری عمود بر سطح و مقدار آن dS است.)

همهٔ 12 سؤال →