کارت‌های مفهوم و فرمول کنکور ارشد فیزیک

حرکت تحت نیرویی که در راستای شعاع سو دارد، به کمک پایستگی اندازه‌حرکت زاویه‌ای به حرکت شعاعی یک‌بعدی در یک پتانسیل مؤثر فروکاسته می‌شود — که مدارهای دایره‌ای، پایداری آنها و مدارهای مخروطی کپلری را حاکم می‌کند.

بازنویسی وردشی (اویلر-لاگرانژ) و متعارف (هامیلتون) مکانیک کلاسیک: مختصات تعمیم‌یافته، تکانه‌های مزدوج، تبدیل لژاندر از $L$ به $H$، کمیت‌های پایسته و کروشه‌های پواسون.

جعبه‌ابزار سینماتیک–دینامیک برداری در سطح مکانیک کلاسیک: سه روش نوشتن شتاب، قضیهٔ کار–انرژی برای نیروهای متغیر، پایستگی تکانه/انرژی در دستگاه‌های جفت‌شده، و معادلهٔ شعاعی برای حرکت مقیدشده روی منحنی‌ها.

همهٔ ابزارهای حرکت جسم صلب: مرکز جرم، تانسور اینرسی و محورهای اصلی آن، قضیهٔ محورهای موازی، اندازهٔ حرکت زاویه‌ای $\vec{L}=\mathbf{I}\vec{\omega}$، انرژی جنبشی و معادلات اویلر برای فرفرهٔ آزاد و تحت گشتاور.

جعبه‌ابزار کامل الکترواستاتیک — قانون کولن، قانون گاوس و صورت‌بندی پتانسیل — که پیرامون مسئلهٔ اصلی، یعنی حل معادلهٔ پواسون/لاپلاس با شرایط مرزی از طریق تقارن، تصاویر، جداسازی متغیرها و بسط چندقطبی، سازمان یافته است.

میدان‌های مغناطیسی جریان‌های پایا از قانون بیو–ساوار، قانون آمپر و پتانسیل برداری، که با استفاده از میدان H، جریان‌های مقید و پتانسیل اسکالر مغناطیسی به مواد مغناطیسی تعمیم می‌یابد.

از چهار معادلهٔ ماکسول تا امواج الکترومغناطیسی تخت: سرعت آن‌ها، روابط دامنه و جهت میان E و B، شار انرژی از طریق بردار پوینتینگ، انتشار در محیط‌های خطی و بازتاب در فصل مشترک (فرنل/بروستر).

تصویر پتانسیل نرده‌ای بارهای ساکن: کولن/گاوس برای میدان، $V$ برای انرژی و کار، و $C$ برای ذخیرهٔ بار — به‌همراه ابزارهای لازم برای حل هر مسئلهٔ الکترواستاتیک.

سه قانون بزرگ حسابداری در مکانیک — کار-انرژی، تکانهٔ خطی/زاویه‌ای و انرژی جنبشی دورانی — به‌همراه شرایط پایستگی و روش‌های گام‌به‌گام برای انتخاب اینکه کدام را باید به کار برد.

گرانش نیوتنی و مسئلهٔ کپلر: نیرو و پتانسیل عکس مجذوری، سه قانون کپلر، مدارهای مقاطع مخروطی، و روابط ویس-ویوا / انرژی کل $E=-GMm/2a$ که حرکت مداری مقید را کنترل می‌کنند.

جعبه‌ابزار کامل مغناطواستاتیک به‌همراه القا: نیروی لورنتس بر بارها و جریان‌ها، قوانین بیو–ساوار و آمپر برای میدان‌هایی که جریان‌ها ایجاد می‌کنند، و القای فارادی–لنز به‌همراه خودالقایی.

سینماتیک حرکت در یک و چند بعد به همراه سه قانون نیوتن، نیروها، اصطکاک و حرکت مقیدشده — دستورالعمل برداری برای تبدیل نمودار جسم آزاد به معادلات حرکت.

مرجعی یکپارچه دربارهٔ حرکت هماهنگ ساده، معادلهٔ موج و انتشار امواج مکانیکی (از جمله صوت) — روابط پاشندگی، سرعت موج از مدول‌های کشسانی، انرژی/شدت و امواج ایستاده.

سه آزمایشی که فیزیک کلاسیک را در هم شکستند — تابش جسم سیاه (پلانک)، اثر فوتوالکتریک (اینشتین) و پراکندگی کامپتون — که در کنار هم ثابت کردند نور به فوتون‌هایی با انرژی $E=hf$ و تکانهٔ $p=h/\lambda$ کوانتیده می‌شود.

دو اصل موضوعهٔ اینشتین به تبدیل لورنتس می‌انجامند که از آن اتساع زمان، انقباض طول، جمع سرعت نسبیتی و بازهٔ ناوردا و تکانهٔ چهاربُعدی همگی نتیجه می‌شوند.

توابع تحلیلی (هولومورفیک)، قضیه و فرمول انتگرال کوشی، سری لوران و قضیهٔ مانده — ابزار اصلی برای محاسبهٔ انتگرال‌های پیرامونی و انتگرال‌های معیّن حقیقی در فیزیک ریاضی.

نمایش توابع در پایه‌های متعامد (فوریه / اشتورم–لیوویل) و حل معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبهٔ دوم — کوشی–اویلر، فروبنیوس، لژاندر/بسل/هرمیت — که پشت روش جداسازی متغیرها در فیزیک قرار دارند.

مقادیر ویژه/بردارهای ویژه، قطری‌سازی و توابع ماتریس‌ها، به‌همراه تانسورهای کارتزین و نماد اندیسی — جعبه‌ابزار جبر خطی که زیربنای مکانیک کوانتومی و فیزیک محیط پیوسته است.

عملگر del (گرادیان، دیورژانس، کرل)، اتحادهای استاندارد مشتق مرتبهٔ دوم و ضربی، و قضایای انتگرالی گاوس/استوکس/گرادیان که مشتق‌های میدان را به انتگرال‌های مرزی تبدیل می‌کنند.

چگونه معادلهٔ شرودینگر مستقل از زمان یک‌بعدی را قطعه‌قطعه حل کنیم — با تطبیق $\psi$ و $\psi'$ در مرزها برای یافتن حالت‌های مقید (چاه‌ها، دلتا، نوسانگر، پاریته) و حالت‌های پراکندگی (پله‌ها، سدها، تونل‌زنی).

جبر انتزاعی تکانهٔ زاویه‌ای $[\hat J_i,\hat J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat J_k$ طیف، عملگرهای نردبانی، هماهنگ‌های کروی، اسپین و بازنمایی‌های ماتریسی را که در سراسر مکانیک کوانتومی تکرار می‌شوند، تعیین می‌کند.

اصول موضوعهٔ مکانیک کوانتومی در فضای هیلبرت — حالت‌ها به‌صورت کِت، مشاهده‌پذیرها به‌صورت عملگرهای هرمیتی، قاعدهٔ بورن و اندازه‌گیری تصویری، مقادیر مورد انتظار و عدم قطعیت، و معادلهٔ شرودینگر وابسته/مستقل از زمان همراه با انتشارگر صوری آن.

هر پتانسیل مرکزی معادلهٔ شرودینگر را به حاصل‌ضرب هارمونیک‌های کروی در یک تابع شعاعی تفکیک می‌کند که از یک معادلهٔ مؤثر یک‌بُعدی پیروی می‌کند؛ برای پتانسیل کولنی این کار طیف هیدروژن، توابع موج شعاعی لاگرِ آن، واگنی $n^2$ و توزیع‌های احتمال شعاعی را به دست می‌دهد.

نظریهٔ اختلال مستقل از زمان طیف یک هامیلتونی تقریباً حل‌پذیر را مرتبه‌به‌مرتبه تقریب می‌زند، در حالی که اصل موضوع تقارن‌سازی و اصل پاؤلی تعیین می‌کنند که بوزون‌ها/فرمیون‌های همسان چگونه آن ترازهای تک‌ذره‌ای را اشغال می‌کنند — این دو با هم جابه‌جایی‌های انرژی و پرشدن سامانه‌های واگن مانند گاز الکترون آزاد را حاکم‌اند.

آنتروپی به عنوان تابع حالتی که برگشت‌ناپذیری را می‌سنجد، قانون دوم در صورت‌های کلاوزیوس/کلوین/کارنو، و کران‌هایی که این قانون بر بازده موتورهای گرمایی و یخچال‌ها تحمیل می‌کند.

چهار قانون ترمودینامیک و رفتار انرژی درونی، گرما و کار در طول فرایندهای استاندارد گاز ایده‌آل (هم‌حجم، هم‌فشار، هم‌دما، آدیاباتیک) و چرخه‌ها.

چهار پتانسیل ترمودینامیکی $U,H,F,G$ به‌عنوان تبدیل‌های لژاندر همراه با متغیرهای طبیعی‌شان، روابط ماکسول که از دیفرانسیل‌های کامل نتیجه می‌شوند، و اینکه چگونه این پتانسیل‌ها معادلات حالت و توابع پاسخ مانند $K_T$ و $\alpha$ را تولید می‌کنند.

چگونگی پیدایش اعداد اشغال ماکسول–بولتزمان، بوز–اینشتین و فرمی–دیراک، نحوهٔ ترکیب آن‌ها با چگالی حالات برای رسیدن به ترمودینامیک، و حدهای کلاسیک، واگن (تباهیده) و دبای.

صورت‌بندی کانونی مکانیک کلاسیک: تبدیل لژاندر از L به H، معادلات مرتبهٔ اول هامیلتون روی فضای فاز، شرط برابری H با انرژی، کروشه‌های پواسون و کمیت‌های پایسته، تبدیل‌های کانونی و توابع مولد آن‌ها، قضیهٔ لیوویل و متغیرهای هامیلتون-ژاکوبی/کنش-زاویه.

بسط هر تعادل پایدار تا مرتبهٔ دوم، یک سامانهٔ با $n$ درجهٔ آزادی را به مسئلهٔ مقدار ویژهٔ تعمیم‌یافتهٔ $(\mathbf{V}-\omega^{2}\mathbf{M})\mathbf{a}=0$ تبدیل می‌کند که ریشه‌هایش فرکانس‌های طبیعی و بردارهای ویژه‌اش مُدهای طبیعی‌اند — به‌علاوهٔ حدهای میرا ($\gamma$ در برابر $\omega_0$) و واداشتهٔ همین معادلات.

صورت‌بندی پتانسیلی الکترودینامیک: B = curl A و E = -grad Phi - dA/dt معادلات همگن ماکسول را به‌طور اتحادی حل می‌کنند، تبدیل پیمانه‌ای (A + grad lambda, Phi - d lambda/dt) میدان‌ها را دست‌نخورده باقی می‌گذارد، و انتخاب پیمانهٔ لورنتس (ناوردا، پتانسیل‌های تأخیری، معادلات موج ناجفت) یا پیمانهٔ کولنی (Phi آنی، A عرضی) صرفاً از سر راحتی است.

جعبه‌ابزار کامل سینماتیک — مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از $\vec{r}(t)$، مسیرهای $a=v\,dv/dx$ و $t(x)$ ضمنی برای حرکت غیریکنواخت، مسیر و برد پرتابه، تجزیهٔ مماسی/عمودی همراه با شعاع انحنا، و سرعت نسبی گالیله‌ای.

جعبه‌ابزار کامل دوران حول محور ثابت — ممان اینرسی همراه با قضایای محورهای موازی و عمود، گشتاور و قانون دوم نیوتون در حالت دورانی، اندازهٔ حرکت زاویه‌ای و پایستگی آن، انرژی جنبشی دورانی و غلتش بدون لغزش — به‌همراه روشی برای تشخیص اینکه یک مسئلهٔ مشخص واقعاً به کدام‌یک از این‌ها نیاز دارد.

موازنهٔ انرژی برای گرما و تغییر فاز ($Q=mc\,\Delta T$، $Q=mL$، $\sum Q_i=0$، نمودارهای $T$–$t$ با آهنگ ثابت) به‌همراه قوانین سیالاتی که از همین منطق پیروی می‌کنند — فشار هیدرواستاتیکی، نیروی شناوری ارشمیدس، پیوستگی و تخلیهٔ برنولی/توریچلی.

نیمهٔ «امواج ماده» از فیزیک مدرن — طول موج دوبروی، بستهٔ موج و سرعت گروه، و قاعدهٔ بورن برای $|\psi|^{2}$ — به‌همراه انرژی‌شناسی هسته‌ای و قانون واپاشی نمایی $N = N_{0}2^{-t/T_{1/2}}$.

رده‌بندی و حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبهٔ دوم فیزیک — ضریب‌ثابت، کوشی–اویلر و سری فروبنیوس حول نقاط تکین منظم — و استخراج توابع ویژهٔ لژاندر، بسل، هرمیت و لاگر، تعامد آن‌ها و تعمیم‌های تابع گرین / معادلات انتگرالی.

تجزیهٔ هامیلتونی هماهنگ به عملگرهای نردبانی، طیف با فاصله‌های مساوی $E_n=(n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega$ را می‌دهد و هر مقدار چشم‌داشتی یا عنصر ماتریسی $\hat{x}$ و $\hat{p}$ را به یک حسابداری ساده با $\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$ و $\hat{a}^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$ تبدیل می‌کند.

اصل موضوعهٔ تقارن‌سازی ایجاب می‌کند حالت کل ذرات همسان تحت تعویض متقارن (بوزون) یا پادمتقارن (فرمیون) باشد؛ همین قید عددهای اِشغال مجاز را تعیین می‌کند، اصل طرد پاؤلی و برهم‌کنش تبادلی را پدید می‌آورد و از این راه انرژی حالت پایه، واگنی و نحوهٔ پرشدن ترازها را در هر سامانهٔ چندذره‌ای بدون برهم‌کنش مشخص می‌سازد.

چگونه مجموعه‌های میکروکانونیک، کانونیک و کانونیک بزرگ تابع پارش را تعریف می‌کنند، چگونه هر کمیت ترمودینامیکی (U، S، P، C_V) از مشتق‌های ln Z به دست می‌آید، و چگونه هم‌بخشی انرژی، سامانهٔ دوترازی و نوسانگر هماهنگ نتایج استاندارد کلاسیک و حد کلاسیک را می‌دهند.