سوال ۸۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. معادلات جسم آزاد (تعادل گشتاور)

این همان درایو کلاسیک دو-اینرسی / شفت انعطاف‌پذیر است. هر جسم دوّار از قانون دوم نیوتون برای دوران پیروی می‌کند: گشتاور اینرسی + گشتاور اصطکاک لزج = مجموع گشتاورهای اعمالی. فنر پیچشی گشتاوری متناسب با پیچش $\theta_m - \theta_\ell$ منتقل می‌کند و بنا بر قانون سوم نیوتون با علامت‌های مخالف بر دو سر آن اثر می‌گذارد.

سمت موتور (تحریک‌شده با $u$ و بازدارنده‌اش فنر):

$J_m \ddot{\theta}_m + B_m \dot{\theta}_m + k(\theta_m - \theta_\ell) = u$

سمت بار (بدون گشتاور خارجی، فقط توسط فنر تحریک می‌شود):

$J_\ell \ddot{\theta}_\ell + B_\ell \dot{\theta}_\ell + k(\theta_\ell - \theta_m) = 0$

۲. تبدیل لاپلاس (با شرایط اولیهٔ صفر)

$\left(J_m s^{2} + B_m s + k\right)\Theta_m(s) - k\,\Theta_\ell(s) = U(s)$

$\left(J_\ell s^{2} + B_\ell s + k\right)\Theta_\ell(s) - k\,\Theta_m(s) = 0$

با نمادگذاری اختصاری داده‌شده در صورت مسئله، یعنی $P_m = J_m s^{2} + B_m s + k$ و $P_\ell = J_\ell s^{2} + B_\ell s + k$، این دستگاه $2\times 2$ به‌صورت زیر درمی‌آید

$\begin{bmatrix} P_m & -k \\ -k & P_\ell \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Theta_m \\ \Theta_\ell \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U \\ 0 \end{bmatrix}$

به متقارن بودن ماتریس امپدانس توجه کنید — این ویژگیِ شاخص یک شبکهٔ مکانیکی پسیو است و وارسی سریعی است برای اینکه علامت‌های فنر درست نوشته شده باشند.

۳. حذف زاویهٔ بار

از سطر دوم داریم

$\Theta_\ell = \frac{k}{P_\ell}\,\Theta_m$

با جایگذاری در سطر اول:

$P_m \Theta_m - k\cdot\frac{k}{P_\ell}\Theta_m = U \;\Rightarrow\; \left(P_m - \frac{k^{2}}{P_\ell}\right)\Theta_m = U$

$\Rightarrow\; \frac{P_m P_\ell - k^{2}}{P_\ell}\,\Theta_m = U$

$\boxed{\,G(s) = \frac{\Theta_m(s)}{U(s)} = \frac{P_\ell}{P_m P_\ell - k^{2}}\,}$

همین نتیجه با قاعدهٔ کرامر نیز به‌دست می‌آید: $\Theta_m = \dfrac{\det\begin{bmatrix} U & -k \\ 0 & P_\ell\end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix} P_m & -k \\ -k & P_\ell\end{bmatrix}} = \dfrac{U P_\ell}{P_m P_\ell - k^{2}}$. پس گزینهٔ ۴ درست است.

۴. چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

نتیجهٔ همراه، که از $\Theta_\ell = (k/P_\ell)\Theta_m$ به‌دست می‌آید، تابع تبدیل سمت بار است

$\frac{\Theta_\ell(s)}{U(s)} = \frac{k}{P_m P_\ell - k^{2}}$

که احتمالاً همان چیزی است که گزینهٔ ۱ می‌خواسته (و نتوانسته) تقلید کند.

۵. وارسی‌های صحت

• مرتبه: $P_m P_\ell - k^{2}$ نسبت به $s$ از درجهٔ ۴ است و صورت $P_\ell$ از درجهٔ ۲ — یعنی یک سیستم سرهٔ مرتبهٔ چهارم، دقیقاً همان چیزی که دو اینرسی به‌همراه یک فنر باید بدهد.
• حد شفت صُلب $k \to \infty$: با نوشتن $P_mP_\ell - k^{2} = (J_ms^2+B_ms)(J_\ell s^2+B_\ell s) + k\left[(J_ms^2+B_ms)+(J_\ell s^2+B_\ell s)\right]$، جمله‌های $k^{2}$ عیناً حذف می‌شوند، پس $G(s) \xrightarrow{k\to\infty} \frac{k}{k\left[(J_m+J_\ell)s^{2}+(B_m+B_\ell)s\right]} = \frac{1}{(J_m+J_\ell)s^{2}+(B_m+B_\ell)s}$ یعنی همان مدل تک‌جسمی صُلب با اینرسی و اصطکاک تجمیع‌شده — چنان‌که باید.
• حد بارِ آزاد $k \to 0$: $G \to P_\ell/(P_mP_\ell) = 1/P_m = 1/(J_ms^{2}+B_ms)$، یعنی تنها خودِ موتور. ✓
• یکاها: $[\Theta/U] =$ رادیان بر (نیوتون·متر)؛ یکای $P_\ell$ برابر N·m/rad و یکای $P_mP_\ell$ برابر (N·m/rad)$^2$ است، پس نسبت آن‌ها rad/(N·m) می‌شود. ✓ صورتِ گزینهٔ ۱ یعنی $kP_m$ نیز همین یکا را دارد؛ به همین دلیل آزمون ابعادی به‌تنهایی آن را رد نمی‌کند — جبر آن را رد می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: برای هر شبکهٔ مکانیکی دوجسمی (یا الکتریکی دومِشی)، یک‌بار ماتریس امپدانس متقارن $\begin{bmatrix} P_m & -k \\ -k & P_\ell \end{bmatrix}$ را بنویسید و سپس هر تابع تبدیلی را با قاعدهٔ کرامر از روی آن بخوانید. مخرج همیشه دترمینان $P_mP_\ell - k^{2}$ است؛ صورت برای مختصات تحریک‌شده همان درایهٔ قطری دیگر است ($P_\ell$) و برای مختصات دور جملهٔ کوپلاژ است ($k$). گزینه‌هایی که در مخرجشان $B_m, B_\ell$ دوباره افزوده شده است را می‌توان در نگاه اول حذف کرد، چون میرایی از پیش درون $P_m$ و $P_\ell$ جای دارد.