سوال ۱۲۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

این مسئله با روش تختهٔ عکس‌العمل (reaction-board) برای یافتن مرکز ثقل یک جسم حل می‌شود: فرد روی تخته‌ای صُلب با وزن معلوم که در دو انتهایش تکیه‌گاه دارد دراز می‌کشد و یکی از انتهاها روی ترازو قرار می‌گیرد. سپس یک معادلهٔ تعادل گشتاوری، مرکز ثقل جسم را مشخص می‌کند.

دستگاه مختصات را برقرار می‌کنیم. فرض کنید انتهای چپ تخته $x=0$ و انتهای راست آن $x=2\text{ m}$ باشد. تکیه‌گاه‌ها همان دو انتها هستند: $RF_1$ در $x=0$ و $RF_2$ در $x=2$، که $RF_2$ همان مقداری است که ترازو نشان می‌دهد.

نیروها (وزن‌ها، با $g=10\ \mathrm{m/s^2}$):

گشتاورها را حول انتهای چپ می‌گیریم ($x=0$)، تا $RF_1$ حذف شود. چون $g$ در همهٔ جملات مشترک است حذف می‌شود و می‌توانیم مستقیماً برحسب کیلوگرم‌نیرو کار کنیم:

بررسی درستی. اگر هیچ‌کس روی تخته نباشد، ترازو نیمی از وزن تخته یعنی $16.5$ کیلوگرم را نشان می‌دهد؛ فرد مقدار $55-16.5 = 38.5$ کیلوگرم به تکیه‌گاه راست اضافه می‌کند. این بار اضافی ضرب‌در دهانه، $38.5 \cdot 2 = 77$، برابر با $70\,d$ است و $d = 1.1$ متر به‌دست می‌آید — مرکز ثقل فرد کمی آن‌سوتر از وسط دهانه و به‌سمت انتهای ترازو قرار دارد، که با نمایش بیش از نیمی از وزن کل توسط ترازو سازگار است.

مرکز جرم فرد در فاصلهٔ ۱٫۱ متر از انتهای چپ قرار دارد — گزینهٔ ۳.

نکتهٔ کنکوری: در روش تختهٔ عکس‌العمل هرگز لازم نیست وزن تخته و $g$ را برای محاسبهٔ عددی نیروها به‌کار ببرید — گشتاورها را حول تکیه‌گاه مقابل ترازو جمع کنید تا $RF_1$ حذف شود، و چون $g$ در همهٔ جملات ضرب می‌شود می‌توانید در سراسر محاسبه جرم‌ها را برحسب کیلوگرم‌نیرو نگه دارید.