سوال ۱۲۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

۱. توزیع تنش در استخوان تحت بارگذاری خمشی

تنهٔ (دیافیز) استخوان بلند را مانند یک تیر مدل می‌کنیم. خمش خالص حول یک محور اصلی، توزیع خطی تنش عمودی زیر را می‌دهد

$\sigma(y) = \frac{M\,y}{I}, \qquad |\sigma_{\max}| = \frac{M c}{I}$

که از تار خنثی اندازه‌گیری می‌شود، جایی که $\sigma = 0$ است.

هنگامی که استخوان تحت گشتاور خمشی خم می‌شود:

سمت استخوان خم‌شده	تغییرشکل تارها	حالت تنش
محدب (سمت بیرونی خمیدگی)	تارها بلند می‌شوند	کشش، $\sigma > 0$
مقعر (سمت درونی خمیدگی)	تارها کوتاه می‌شوند	فشار، $\sigma < 0$

برای یک مقطع (تقریباً) متقارن، بزرگی تنش در تارهای انتهایی برابر است، $|\sigma_{\text{convex}}| = |\sigma_{\text{concave}}| = Mc/I$. بنابراین سمتی که می‌شکند نه با تنش، بلکه با نامتقارنی استحکام مادّه تعیین می‌شود.

۲. استخوان کورتیکال در کشش ضعیف‌تر از فشار است

مقادیر معمول استحکام نهایی استخوان کورتیکال در بارگذاری در راستای طولی (راستای استئون‌ها):

نوع بارگذاری	استحکام نهایی (مرتبهٔ بزرگی)
فشار	$S_{uc} \approx 190\ \text{MPa}$
کشش	$S_{ut} \approx 130\ \text{MPa}$
برش	$S_{us} \approx 65\ \text{MPa}$

استخوان یک کامپوزیت مادّهٔ معدنی–کلاژن است: فاز معدنی هیدروکسی‌آپاتیت فشار را به‌خوبی تحمل می‌کند، در حالی که در کشش، خطوط سیمانی، لاکوناها و ریزترک‌های موجود باز می‌شوند و نقش آغازگر ترک را بازی می‌کنند. از این رو $S_{ut} < S_{uc}$.

۳. کدام سمت زودتر گسیخته می‌شود

شکست از جایی آغاز می‌شود که نسبت تنش به استحکام زودتر به یک برسد. با برابر بودن بزرگی تنش تارهای انتهایی $\sigma_{\max}$،

$\frac{\sigma_{\max}}{S_{ut}} \;>\; \frac{\sigma_{\max}}{S_{uc}} \quad \Rightarrow \quad \text{the tensile side reaches failure first}$

سمت کششی همان سمت محدب است. بنابراین یک ترک عرضی در کورتکس محدب (کششی) جوانه می‌زند و به سمت وجه مقعر گسترش می‌یابد. از نظر بالینی دقیقاً همین مشاهده می‌شود: خط شکست عرضی که از کورتکس کششی آغاز می‌شود و اغلب به‌صورت خطی مایل یا یک قطعهٔ پروانه‌ای (گوه‌ای) در سمت فشاری پایان می‌یابد، زیرا شکست فشاری در استخوان به‌صورت برش مایل روی صفحاتی نزدیک به $45^\circ$ رخ می‌دهد.

۴. رد کردن گزینه‌های انحرافی

• گزینهٔ ۲ (مقعر – ضعیف‌تر در کشش): سمت مقعر تحت فشار است نه کشش — از درون ناسازگار است.
• گزینهٔ ۳ (محدب – ضعیف‌تر در برش): هرچند $S_{us}$ واقعاً کمترین استحکام استخوان است، در خمش تیر لاغر تنش برشی عرضی روی سطح آزاد صفر است و در تار خنثی بیشینه می‌شود، جایی که $\sigma = 0$ است. سطح محدب تحت تنش کششی محوری می‌شکند، نه برش.
• گزینهٔ ۴ (مقعر – ضعیف‌تر در فشار): استخوان در فشار قوی‌تر است نه ضعیف‌تر، پس سمت مقعر اولین جایی نیست که می‌شکند.

$\boxed{\text{Convex side — bone's tensile strength is lower than its compressive strength}}$

گزینهٔ درست: گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: در هر مسئلهٔ خمش استخوان، نخست سمت‌ها را نام‌گذاری کنید (محدب = کشش، مقعر = فشار)، سپس ترتیب استحکام استخوان کورتیکال را به‌یاد آورید، $S_{uc} > S_{ut} > S_{us}$. برابری بزرگی تنش‌ها به‌همراه استحکام کششی کمتر، بی‌درنگ محل شکست را روی سمت محدب قرار می‌دهد.