سوال ۱۲۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

مدل‌سازی پرش به‌صورت حرکت پرتابی

به‌محض آنکه پای پرنده تخته را ترک می‌کند، تنها نیروی وارد بر مرکز جرم (با صرف‌نظر از مقاومت هوا) نیروی گرانش است. بنابراین مرکز جرم یک مسیر بالستیک (پرتابی) را طی می‌کند و کل زمان پرواز تنها با سه کمیت اندازه‌گیری‌شده در لحظهٔ جدا شدن از تخته (takeoff) تعیین می‌شود:

• سرعت جدا شدن $v_0$،
• زاویهٔ جدا شدن $\theta$،
• ارتفاع مرکز جرم در لحظهٔ جدا شدن $h_0$ (نسبت به ارتفاع فرود).

هیچ رویدادی پس از جدا شدن نمی‌تواند چیزی به پرواز بیفزاید — در هوا هیچ نیروی پیشرانی وجود ندارد.

مسافت پرواز

با در نظر گرفتن $x$ به‌عنوان محور افقی و $y$ به‌عنوان محور قائم،

با قرار دادن $y(t_f) = 0$ و جای‌گذاری، برد کلی مرکز جرم به دست می‌آید:

برای حالت ایده‌آل $h_0 = 0$ این رابطه به شکل آشنای زیر ساده می‌شود:

چرا سرعت لحظهٔ جدا شدن نقش غالب را دارد

برد نسبت به سرعت جدا شدن درجه‌دوم است:

یک افزایش $1\%$ در سرعت جدا شدن حدود $2\%$ افزایش در مسافت به همراه دارد، در حالی که حساسیت نسبت به زاویه در نزدیکی مقدار بهینه به‌طور نسبی ضعیف است (در زاویهٔ بهینه $\partial R/\partial\theta = 0$ است، پس خطاهای مرتبهٔ اول در زاویه هزینه‌ای ندارند). دقیقاً به همین دلیل است که مطالعات بیومکانیک ورزشی روی پرندگان طول نخبه، سرعت لحظه‌ای افقی (برایند) در آخرین تماس با تخته را قوی‌ترین پیش‌بینی‌کنندهٔ منفرد مسافت پرش گزارش می‌کنند ($r \approx 0.8\!-\!0.9$).

حذف سایر گزینه‌ها

پاسخ: گزینهٔ ۳ — سرعت لحظه‌ای در لحظهٔ جدا شدن از تخته.

نکتهٔ کنکوری: در هر پرسش ورزشی از نوع حرکت پرتابی (پرش طول، پرتاب وزنه، پرتاب نیزه، پرش ارتفاع)، مسافت با شرایط اولیه در لحظهٔ رهاسازی/جدا شدن تعیین می‌شود و برد با مجذور سرعت رهاسازی رشد می‌کند. هر چیزی که در طول دورخیز اندازه‌گیری شود تنها وسیله‌ای برای رسیدن به آن لحظه است، و هر چیزی که پس از آن اندازه‌گیری شود یک اثر است، نه یک علت.