سوال ۴۲ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

اگر ‎$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-\alpha_n^{2} c^{2} t}\sin(\alpha_n x)$‎ جواب مسئله زیر باشد، آنگاه ‎$u(x,t)$‎ کدام است؟

$\begin{cases} u_t - c^{2}u_{xx}=0, & 0<x<\pi,\ t>0 \\ u(x,0)=\sin^{3}x, & 0\le x\le \pi \\ u(0,t)=u(\pi,t)=0, & t\ge 0 \end{cases}$