سوال ۴۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — دو جرم مساوی از یک گاز ایده‌آل در فشار برابر، ولی در دماهای T_1 و T_2…

Question

دو جرم مساوی از یک گاز ایده‌آل در فشار برابر، ولی در دماهای $T_1$ و $T_2$ درون ظرف عایقی مخلوط می‌شوند تا به تعادل برسند. تولید آنتروپی فرایند (بر واحد جرم) چقدر است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $C_p \ln \dfrac{T_1 + T_2}{2\sqrt{T_1 T_2}}$

پاسخ تشریحی

صورت‌بندی مسئله. دو جرم برابر $m$ از یک گاز ایده‌آل یکسان، در فشار یکسان $P$ ولی دماهای $T_1$ و $T_2$ ، درون یک ظرف صلب و عایق‌بندی‌شده (آدیاباتیک) با هم مخلوط می‌شوند. چون هر دو جریان یک ماده در فشار یکسان هستند، آنتروپی اختلاط (ترکیبی) وجود ندارد — تنها برگشت‌ناپذیری، همان برگشت‌ناپذیری حرارتی ناشی از یکسان‌شدن دماهاست. فشار در سرتاسر ظرف به‌طور یکنواخت برابر $P$ باقی می‌ماند، بنابراین هر جرم یک تغییر حالت در فشار ثابت را طی می‌کند.

موازنهٔ انرژی (یافتن دمای تعادل). ظرف آدیاباتیک است و کاری انجام نمی‌شود، پس انرژی درونی کل پایسته است؛ در فشار ثابت، اختلاط جرم‌های برابر، دمای میانگین وزنی بر حسب جرم را می‌دهد. با جرم‌های برابر و $C_p$ برابر:

m C_p T_1 + m C_p T_2 = 2 m C_p\, T_f \;\Rightarrow\; T_f = \frac{T_1 + T_2}{2}.

موازنهٔ آنتروپی. برای یک فرایند آدیاباتیک، انتقال آنتروپی صفر است، پس تولید آنتروپی برابر با تغییر آنتروپی کل دو جرم گاز می‌شود. برای یک گاز ایده‌آل در فشار ثابت، $\Delta s = C_p \ln\!\dfrac{T_f}{T_i}$ . با جمع کردن روی دو جرم:

S_{gen} = m C_p \ln\frac{T_f}{T_1} + m C_p \ln\frac{T_f}{T_2} = m C_p \ln\frac{T_f^{2}}{T_1 T_2}.

به ازای واحد جرم (کل). با تقسیم بر جرم کل $2m$ :

\sigma = \frac{S_{gen}}{2m} = \frac{C_p}{2}\ln\frac{T_f^{2}}{T_1 T_2} = C_p \ln\frac{T_f}{\sqrt{T_1 T_2}}.

با جای‌گذاری $T_f = \tfrac{1}{2}(T_1+T_2)$ :

\boxed{\;\sigma = C_p \ln\frac{T_1 + T_2}{2\sqrt{T_1 T_2}}\;}

که گزینهٔ ۲ است. چون میانگین حسابی $\tfrac{T_1+T_2}{2}$ هرگاه $T_1 \neq T_2$ باشد از میانگین هندسی $\sqrt{T_1 T_2}$ بزرگ‌تر است (نامساوی AM–GM)، آرگومان لگاریتم $>1$ است و $\sigma > 0$ — همان‌طور که قانون دوم ترمودینامیک ایجاب می‌کند، فرایند برگشت‌ناپذیر است. این مقدار تنها زمانی صفر می‌شود که $T_1 = T_2$ باشد.

نکتهٔ کنکوری: گاز یکسان + فشار یکسان یعنی هیچ جملهٔ اختلاط ترکیبی وجود ندارد — تنها جمله‌های حرارتی $C_p\ln(T_f/T)$ باقی می‌مانند. ترکیب آن‌ها $\ln\frac{T_f}{\sqrt{T_1T_2}}$ را می‌دهد، و نامساوی AM $>$ GM مثبت بودن تولید آنتروپی را تضمین می‌کند.

Accepted Answer

C_p ln dfrac T_1 + T_2 2√(T_1 T_2)

Answer

صفر

Answer

C_p ln (T_1 T_2)/((T_1 + T_2)^2)

Answer

C_p ln 2

کارت‌های مرتبط