سوال ۴۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

معادلهٔ انرژی جریان پایا برای نازل

قانون اول (معادلهٔ انرژی جریان پایا، SFEE) را برای نازل آدیاباتیک به کار می‌بریم. با فرض نبود کار و انتقال حرارت ($\dot{Q}=0$، $\dot{W}=0$) و ناچیز بودن سرعت ورودی ($V_1 \approx 0$)، به ازای واحد جرم داریم:

$h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2} \;\Rightarrow\; \frac{V_2^2}{2} = h_1 - h_2.$

انرژی جنبشی به ازای واحد دبی جرمی در خروجی دقیقاً همین جمله است:

$\text{KE} = \frac{V_2^2}{2} = h_1 - h_2 = C_p\left(T_0 - T_2\right).$

افت دمای ایزنتروپیک (ایده‌آل)

یک نازل آدیاباتیک ایده‌آل ایزنتروپیک است. برای گاز ایده‌آل، رابطهٔ ایزنتروپیک میان دما و فشار عبارت است از:

$\frac{T_2}{T_0} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r_p^{\frac{k-1}{k}},$

پس $T_2 = T_0\, r_p^{\frac{k-1}{k}}$.

ترکیب روابط

$\text{KE} = C_p\left(T_0 - T_2\right) = C_p T_0\left[1 - r_p^{\frac{k-1}{k}}\right].$

از آنجا که نازل فشار را کاهش می‌دهد، $r_p = P_2/P_1 < 1$ است، بنابراین $r_p^{(k-1)/k} < 1$ و عبارت داخل کروشه مثبت می‌شود، همان‌طور که انرژی جنبشی باید مثبت باشد. این گزینهٔ ۳ است.

تلهٔ رایج: پرسش، انرژی جنبشی به ازای واحد جرم ($V_2^2/2$) را می‌خواهد، نه سرعت خروجی را. سرعت دارای یک ریشهٔ دوم است (گزینه‌های ۲ و ۴)، اما انرژی چنین ریشه‌ای ندارد. همچنین به علامت توان دقت کنید — $T_2/T_0 = r_p^{(k-1)/k}$ است، نه $(1-k)/k$.