KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومترمودینامیکقانون دوم و آنتروپی

قانون دوم، آنتروپی، اگزرژی حرارت و مشتق‌های ترمودینامیکی

موازنه‌های آنتروپی، اختلاط، مشتق‌های خواص با قید مشخص و اگزرژی، همراه با بیشینهٔ کار برگشت‌پذیر از جسم‌های حرارتی با ظرفیت محدود.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و محدودهٔ کاربرد

قانون اول انرژی را پایسته می‌دارد اما مانع از این نمی‌شود که یک فنجان قهوه خودبه‌خود دوباره گرم شود، یا آنکه تمام حرارت ورودی به یک موتور به کار تبدیل گردد. قانون دوم پیکان گمشدهٔ زمان را فراهم می‌کند. دو بیان کلاسیک با یکدیگر هم‌ارز هستند:

  • کلوین–پلانک: هیچ دستگاه چرخه‌ای نمی‌تواند در حین تبادل حرارت با یک منبع واحد کار خالص تولید کند — همواره به یک چاه سردتر نیاز دارید.
  • کلاوزیوس: حرارت نمی‌تواند بدون هیچ اثر دیگری از جسم سردتر به جسم گرم‌تر جریان یابد.

هر دو بیان توسط یک خاصیت واحد یکپارچه می‌شوند. با اعمال نامساوی کلاوزیوس به هر چرخه،

∮δQT≤0,\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0,

که برای چرخهٔ برگشت‌پذیر تساوی برقرار است، کمیت δQrev/T\delta Q_{rev}/T را وادار می‌کند که یک دیفرانسیل کامل باشد. این امر یک خاصیت حالتی را تعریف می‌کند، یعنی آنتروپی SS:

dS=(δQT) ⁣rev,ΔS=S2−S1=∫12δQrevT.dS = \left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{\!rev}, \qquad \Delta S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{\delta Q_{rev}}{T}.

از آنجا که SS یک تابع نقطه‌ای (حالتی) است، ΔS\Delta S تنها به حالت‌های ابتدایی و انتهایی بستگی دارد — هرگز به مسیر یا به اینکه فرایند واقعی برگشت‌پذیر بوده یا خیر. در طول هر چرخهٔ کامل هر خاصیت حالتی به مقدار اولیهٔ خود بازمی‌گردد، بنابراین ∮dS=0\oint dS = 0 صرف‌نظر از برگشت‌ناپذیری‌های درون آن.

۲. فرمول‌ها و قضایای کلیدی

موازنهٔ آنتروپی (شکل کاربردی قانون دوم). برای یک سیستم بسته،

S2−S1⏟ΔSsys=∫δQTb⏟transfer+Sgen⏟≥0,Sgen≥0,\underbrace{S_2 - S_1}_{\Delta S_{sys}} = \underbrace{\int \frac{\delta Q}{T_b}}_{\text{transfer}} + \underbrace{S_{gen}}_{\ge 0}, \qquad S_{gen} \ge 0,

که در آن TbT_b دمای مرز است و SgenS_{gen} آنتروپی تولیدشده توسط برگشت‌ناپذیری است (=0=0 برگشت‌پذیر، >0>0 برگشت‌ناپذیر، و اگر <0<0 باشد غیرممکن است). برای یک حجم کنترل در حالت پایا،

S˙gen=∑outm˙ s−∑inm˙ s−∑Q˙Tb≥0.\dot{S}_{gen} = \sum_{out}\dot{m}\,s - \sum_{in}\dot{m}\,s - \sum \frac{\dot{Q}}{T_b} \ge 0.

روابط گیبس (T ds) — تغییرات خواص مستقل از مسیر:

T ds=du+p dv,T ds=dh−v dp.T\,ds = du + p\,dv, \qquad T\,ds = dh - v\,dp.

گرماهای ویژه و مشتق‌های خواص با قید مشخص

برای ماده‌ای ساده و تراکم‌پذیر با ترکیب ثابت، در ناحیهٔ هموار و تک‌فازیِ تعادل، همهٔ خواص را به‌صورت ویژه به کار ببرید. از روابط گیبس، با ثابت گرفتن حجم ویژه یا فشار، داریم

cv=(∂u∂T)v=T(∂s∂T)v,cp=(∂h∂T)p=T(∂s∂T)p.c_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v,\qquad c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p.

این‌ها اتحادهای خواص هستند. زیرنویس، قید مورد استفاده در محاسبهٔ مشتق را تعیین می‌کند؛ بیان نمی‌کند که دستگاه واقعی فرایندی با حجم یا فشار ثابت دارد. به‌ویژه، جایگزینی انرژی داخلی با آنتالپی در حجم ثابت، پاسخ را تغییر می‌دهد:

(∂h∂T)v=cv+v(∂p∂T)v.\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_v=c_v+v\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v.

برای سه خاصیت که به‌طور موضعی وابسته‌اند، قواعد معکوس و چرخه‌ای عبارت‌اند از

(∂x∂y)z=1(∂y∂x)z,(∂x∂y)z(∂y∂z)x(∂z∂x)y=−1.\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z=\frac{1}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z},\qquad \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y=-1.

در گرفتن معکوس، متغیر ثابت را تغییر ندهید؛ حاصل‌ضرب چرخه‌ای دارای علامت منفی است. این قواعد به مختصات با وارون‌پذیری موضعی و مخرج‌های متناهی و ناصفر نیاز دارند. روش هم‌ارز از دیفرانسیل کامل آغاز می‌شود:

ds=(∂s∂T)vdT+(∂s∂v)Tdv,(∂s∂T)v=−(∂s∂v)T(∂v∂T)s.ds=\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v dT+\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T dv, \qquad \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v=-\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_s.

بنابراین گرمای ویژه را می‌توان با مشتق‌هایی با قیود متفاوت بیان کرد:

cv=−T(∂s∂v)T(∂v∂T)s,cp=−T(∂s∂p)T(∂p∂T)s.c_v=-T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_s,\qquad c_p=-T\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_s.
کمیت خواسته‌شده اتحاد آغازین متغیر ثابت
cvc_v T ds=du+p dvT\,ds=du+p\,dv vv
cpc_p T ds=dh−v dpT\,ds=dh-v\,dp pp
(∂T/∂s)v(\partial T/\partial s)_v معکوس مشتق آنتروپی vv؛ نتیجه T/cvT/c_v

روش مشتق‌گیری: مختصات مستقل و زیرنویس دقیق را تعیین کنید؛ رابطهٔ گیبس شامل خاصیت مورد نظر را انتخاب کنید؛ دیفرانسیل متغیر مقید را صفر بگذارید؛ بر دیفرانسیل متغیر متغیرشونده تقسیم کنید؛ سپس با قواعد معکوس و چرخه‌ای یا معادلهٔ حالت، شکل خواسته‌شده را به دست آورید. این محاسبه روی سطح حالات تعادلی انجام می‌شود و به معنای فرض انتقال حرارت برگشت‌پذیر در مسیر واقعی نیست.

برای خواص کلی، رابطهٔ معکوس در فشار ثابت (∂T/∂S)P=T/CP(\partial T/\partial S)_P=T/C_P و برای خواص ویژه (∂T/∂s)p=T/cp(\partial T/\partial s)_p=T/c_p است. شیب صفر در دمای مثبت و متناهی، ظرفیت گرمایی مؤثر نامحدود را نشان می‌دهد؛ مانند تغییر فاز در فشار ثابت که حرارت و آنتروپی تغییر می‌کنند ولی دما ثابت می‌ماند. این حالت تکین یا حدی خارج از فرض مختصات معکوس‌پذیر با مشتق‌های متناهی در قواعد بالا است و ضریب انبساط حرارتی را تعیین نمی‌کند.

گاز ایده‌آل، گرمای ویژهٔ ثابت — ابزار روزمرهٔ کار:

Δs=cpln⁡T2T1−Rln⁡p2p1=cvln⁡T2T1+Rln⁡v2v1.\Delta s = c_p \ln\frac{T_2}{T_1} - R\ln\frac{p_2}{p_1} = c_v \ln\frac{T_2}{T_1} + R\ln\frac{v_2}{v_1}.

نتایج فرعی کارنو — سقف برگشت‌پذیر میان دو منبع THT_H و TLT_L:

ηth,max⁡=1−TLTH,COPref,max⁡=TLTH−TL,COPhp,max⁡=THTH−TL.\eta_{th,\max} = 1 - \frac{T_L}{T_H}, \qquad \text{COP}_{ref,\max} = \frac{T_L}{T_H - T_L}, \qquad \text{COP}_{hp,\max} = \frac{T_H}{T_H - T_L}.

هیچ دستگاهی که میان همان دو منبع کار کند نمی‌تواند از این مقادیر پیشی بگیرد، و همهٔ دستگاه‌های برگشت‌پذیر با هم برابرند.

جسم‌های حرارتی با ظرفیت محدود: کار برگشت‌پذیر تا تعادل

برخلاف منابع با دمای ثابت در رابطهٔ کارنو، جسم‌های با ظرفیت محدود هنگام استخراج کار سرد و گرم می‌شوند. دو جسم با دمای داخلی یکنواخت و یک موتور چرخه‌ای را در مرزی قرار دهید که از نظر تبادل حرارت با محیط عایق است. ظرفیت‌های گرمایی کل مثبت و ثابت CH,CLC_H,C_L با یکای J/K\mathrm{J/K}، ترکیب ثابت، نبود تغییر فاز و جسم‌های صلب یا کار انبساط ناچیز را فرض کنید. تغییر انرژی آن‌ها dUi=Ci dTidU_i=C_i\,dT_i است؛ CiC_i جرم جسم را نیز دربرمی‌گیرد. فرض کنید TH>TL>0T_H>T_L>0 و هر دو به TfT_f برسند. کار تحویلی به بیرون مثبت است. موتور به حالت اولیه بازمی‌گردد، بنابراین

W=CH(TH−Tf)+CL(TL−Tf),Sgen=CHln⁡TfTH+CLln⁡TfTL≥0.W=C_H(T_H-T_f)+C_L(T_L-T_f),\qquad S_{gen}=C_H\ln\frac{T_f}{T_H}+C_L\ln\frac{T_f}{T_L}\ge0.

با افزایش دمای نهایی مشترک، کار کاهش می‌یابد. پس کمترین TfT_f مجاز و بیشترین کار در تولید آنتروپی کل صفر رخ می‌دهند. موتور برگشت‌پذیر میان دماهای به‌تدریج متغیر به این کران می‌رسد:

CHln⁡TfTH+CLln⁡TfTL=0,Tf,rev=THCH/(CH+CL)TLCL/(CH+CL),C_H\ln\frac{T_f}{T_H}+C_L\ln\frac{T_f}{T_L}=0,\qquad T_{f,rev}=T_H^{C_H/(C_H+C_L)}T_L^{C_L/(C_H+C_L)}, Wmax⁡=CH(TH−Tf,rev)+CL(TL−Tf,rev).W_{\max}=C_H(T_H-T_{f,rev})+C_L(T_L-T_{f,rev}).

این میانگین هندسی با وزن ظرفیت گرمایی است، نه میانگین بازده‌های لحظه‌ای موتور. ظرفیت‌های برابر می‌دهند Tf,rev=THTLT_{f,rev}=\sqrt{T_HT_L}. با شرایط اولیهٔ یکسان، هر تولید آنتروپی TfT_f را افزایش و کار را کاهش می‌دهد. سهم جسم سرد در رابطهٔ کار منفی است: بخشی از انرژی آزادشدهٔ جسم گرم باید آن را گرم کند.

برای تماس مستقیم عایق‌شده بدون کار، پایستگی انرژی به‌جای آن میانگین حسابی وزن‌دار را می‌دهد:

Tf,dir=CHTH+CLTLCH+CL,Wdir=0,Sgen,dir=CHln⁡Tf,dirTH+CLln⁡Tf,dirTL>0.T_{f,dir}=\frac{C_HT_H+C_LT_L}{C_H+C_L},\qquad W_{dir}=0,\qquad S_{gen,dir}=C_H\ln\frac{T_{f,dir}}{T_H}+C_L\ln\frac{T_{f,dir}}{T_L}>0.

نامساوی آخر دماهای اولیهٔ نابرابر را فرض می‌کند. میانگین حسابی از میانگین هندسی بزرگ‌تر است، پس حالت نهایی برگشت‌پذیر انرژی کمتری دارد؛ اختلاف آن‌ها می‌دهد Wmax⁡=(CH+CL)(Tf,dir−Tf,rev)W_{\max}=(C_H+C_L)(T_{f,dir}-T_{f,rev}). در این کرانِ دو جسم، منبع محیطی مشخصی وجود ندارد؛ محاسبهٔ اگزرژی حرارت نسبت به T0T_0 شرط مرزی دیگری است.

ظرفیت‌های وابسته به دما. تحت همان قیود مکانیکی، لگاریتم‌ها و تغییرات خطی انرژی را با انتگرال جایگزین کنید؛ با Ci(T)=dUi/dT>0C_i(T)=dU_i/dT>0:

∫THTf,revCH(T)T dT+∫TLTf,revCL(T)T dT=0,\int_{T_H}^{T_{f,rev}}\frac{C_H(T)}{T}\,dT+ \int_{T_L}^{T_{f,rev}}\frac{C_L(T)}{T}\,dT=0, Wmax⁡=∫Tf,revTHCH(T) dT+∫Tf,revTLCL(T) dT.W_{\max}=\int_{T_{f,rev}}^{T_H}C_H(T)\,dT+ \int_{T_{f,rev}}^{T_L}C_L(T)\,dT.

انتگرال دوم انرژی منفی است. تماس مستقیم، همین مجموع انرژی را صفر می‌کند، نه مجموع آنتروپی را. ظرفیت‌های مثبت مجموع آنتروپی را نسبت به TfT_f اکیداً افزایشی می‌کنند و ریشهٔ برگشت‌پذیر یکتایی میان دماهای اولیه می‌دهند. در صورت تغییر فاز، گرمای نهان را جداگانه لحاظ کنید؛ کار مرزی قابل‌توجه به موازنهٔ کامل انرژی نیاز دارد.

کار و توان. WW انرژی است؛ W˙\dot W انرژی بر زمان است. بیشینه‌کردن کل کار استخراج‌شده، کران آنتروپی حالت نهایی را تعیین می‌کند. بیشینه‌کردن توان علاوه بر آن به رسانایی‌های انتقال حرارت، زمان‌بندی چرخه یا مدل نرخ دیگری نیاز دارد؛ دمای نهایی به‌تنهایی آن را تعیین نمی‌کند. استخراج آهسته و برگشت‌پذیر معیار ایدئال کار است و الزاماً توان دستگاه واقعی را بیشینه نمی‌کند.

اگزرژی منتقل‌شده با حرارت: کیفیت انرژی نسبت به حالت مرده

حالت مرده تعادل با محیطی در دمای مطلق ثابت T0T_0 و فشار p0p_0 است؛ در این حالت دیگر کار مفیدی قابل استخراج نیست. اگزرژی حرارت بیشترین کار مفید همراه با یک انتقال حرارت مشخص را می‌سنجد، نه صرفاً مقدار انرژی آن را.

ضریب آن را با یک موتور چرخه‌ای برگشت‌پذیر بی‌نهایت‌کوچک به دست آورید که حرارت مثبت δQ\delta Q را در دمای مرزی Tb>T0T_b>T_0 دریافت و مقدار مثبت δQ0\delta Q_0 را به محیط دفع می‌کند. تغییر آنتروپی چرخه‌ای صفر و تولید آنتروپی صفر ایجاب می‌کنند

δQTb−δQ0T0=0,δWrev=δQ−δQ0=(1−T0Tb)δQ.\frac{\delta Q}{T_b}-\frac{\delta Q_0}{T_0}=0,\qquad \delta W_{rev}=\delta Q-\delta Q_0=\left(1-\frac{T_0}{T_b}\right)\delta Q.

روی انتقال انتگرال بگیرید. اگر دمای مرز یا منبع تغییر کند، مقدار لحظه‌ای آن را داخل انتگرال نگه دارید؛ برای منبع گرم با دمای ثابت، ضریب از انتگرال خارج می‌شود:

XQ=∫(1−T0Tb)δQ,Tb=TH=constant:XQ=Q(1−T0TH).X_Q=\int\left(1-\frac{T_0}{T_b}\right)\delta Q,\qquad T_b=T_H=\text{constant}:\quad X_Q=Q\left(1-\frac{T_0}{T_H}\right).

از کلوین استفاده کنید و حرارت ورودی به سیستم انتخاب‌شده را مثبت بگیرید. موتور برگشت‌پذیر معیار پتانسیل کار است؛ لازم نیست موتور واقعی در مرز وجود داشته باشد. برای جسم متناهیِ در حال سردشدن، رابطهٔ حرارت و دما را بیابید و انتگرال بگیرید، به‌جای آنکه دمای میانگین دلخواهی جایگذاری کنید.

اگزرژی منتقل‌شده با اگزرژی تخریب‌شده متفاوت است. حتی در فرایند کاملاً برگشت‌پذیر، حرارت می‌تواند اگزرژی را از مرز عبور دهد. تخریب فقط بر اثر برگشت‌ناپذیری رخ می‌دهد:

Xdest=T0Sgen≥0,X˙dest=T0S˙gen.X_{dest}=T_0S_{gen}\ge0,\qquad \dot X_{dest}=T_0\dot S_{gen}.
کمیت مفهوم یکا
QQ انرژی حرارتی منتقل‌شده انرژی
XQX_Q پتانسیل کار منتقل‌شده با آن حرارت انرژی
SgenS_{gen} آنتروپی تولیدشده درون مرز انتخابی انرژی بر کلوین
T0SgenT_0S_{gen} پتانسیل کار تخریب‌شده، نه انتقال انرژی

برای مقایسهٔ منابع گرم، ابتدا مشخص کنید مقدار حرارت یا نرخ انتقال حرارت ثابت نگه داشته می‌شود و محیط با همان T0T_0 را حفظ کنید. در QQ مثبت و T0T_0 ثابت، منبع گرم‌تر اگزرژی بیشتری منتقل می‌کند، اما این افزایش با دما خطی نیست:

(∂XQ∂TH)Q,T0=QT0TH2>0,TH→T0+:XQ→0,TH→∞:XQ→Q.\left(\frac{\partial X_Q}{\partial T_H}\right)_{Q,T_0}=\frac{QT_0}{T_H^2}>0,\qquad T_H\to T_0^+:X_Q\to0,\qquad T_H\to\infty:X_Q\to Q.

بنابراین حرارت در دمای محیط انرژی دارد ولی پتانسیل کارِ انتقال حرارت ندارد؛ حتی منبع بی‌نهایت گرم نیز نمی‌تواند بیش از حرارت ورودی ثابت، کار تولید کند. برای Tb<T0T_b<T_0 ضریب علامت‌دار منفی است: جهت انتقال و زمینهٔ تبرید یا منبع سرد را لحاظ کنید، نه آنکه آن را مقدار منفی اگزرژی تخریب‌شده بدانید.

۳. روش — چگونه مسائل قانون دوم را حل کنیم

  1. مرز را رسم کنید و سیستم را طبقه‌بندی کنید: بسته در برابر باز (حجم کنترل)، و توجه کنید چه چیزی از مرز عبور می‌کند (حرارت، کار، جرم).
  2. منابع / دماها را مکان‌یابی کنید و هر دما را به کلوین تبدیل کنید — روابط کارنو و T dsT\,ds قوانینی بر پایهٔ دمای مطلق هستند.
  3. ابتدا موازنهٔ انرژی برای تثبیت حالت مجهول (دمای تعادل/خروجی، Q˙H\dot{Q}_H، W˙\dot{W}): Q˙H=W˙net+Q˙L\dot{Q}_H = \dot{W}_{net} + \dot{Q}_L برای یک نیروگاه چرخه‌ای؛ انرژی داخلی یا آنتالپی پایسته برای اختلاط.
  4. موازنهٔ آنتروپی برای برگشت‌ناپذیری: مجموع Δs\Delta s هر جریان/جرم را بگیرید (تابع حالتی است، از فرمول گاز ایده‌آل یا T dsT\,ds استفاده کنید)، جملهٔ انتقال ∫δQ/Tb\int \delta Q/T_b را کم کنید، و باقی‌مانده همان SgenS_{gen} است.
  5. علامت / حدود را بررسی کنید: همواره Sgen≥0S_{gen} \ge 0؛ Sgen=0S_{gen}=0 نشانگر بهترین حالت برگشت‌پذیر است (کمترین برگشت‌ناپذیری، بیشترین کار، بازده کارنو). برگشت‌ناپذیری (کار از دست‌رفته) برابر است با I˙=T0 S˙gen\dot{I} = T_0\,\dot{S}_{gen}.

۴. مثال کوچک حل‌شده

هدایت حرارتی مستقیم میان دو منبع. مقداری حرارت QQ از میان یک دیوار از منبع گرم در دمای THT_H به منبع سرد در دمای TLT_L نشت می‌کند (هر یک آن‌قدر بزرگ که دمایشان ثابت می‌ماند). چه مقدار آنتروپی تولید می‌شود؟

هر منبع یک تبادل هم‌دمای درونی برگشت‌پذیر را تجربه می‌کند، بنابراین تغییر آنتروپی آن برابر Q/TQ/T است. منبع گرم مقدار QQ را از دست می‌دهد؛ منبع سرد مقدار QQ را به دست می‌آورد:

Sgen=ΔShot+ΔScold=−QTH+QTL=Q ⁣(1TL−1TH)=Q TH−TLTHTL.S_{gen} = \Delta S_{hot} + \Delta S_{cold} = -\frac{Q}{T_H} + \frac{Q}{T_L} = Q\!\left(\frac{1}{T_L} - \frac{1}{T_H}\right) = Q\,\frac{T_H - T_L}{T_H T_L}.

از آنجا که TH>TLT_H > T_L، این مقدار مثبت است — هدایت حرارت در طول یک اختلاف دمای متناهی برگشت‌ناپذیر است، و تولید آنتروپی تنها هنگامی که TH→TLT_H \to T_L (پتانسیل محرک ناپدیدشونده) به صفر می‌رسد. کار از دست‌رفتهٔ مربوطه برابر است با I˙=T0S˙gen\dot{I}=T_0 \dot{S}_{gen}: در حالت T0=TLT_0=T_L با کاری برابر است که موتور کارنو می‌توانست از همان جریان حرارت استخراج کند.

مثال کوچک مشتق‌ها (ساختگی). گازی با گرماهای ویژهٔ ثابت دارای cv=0.72 kJ/(kg K)c_v=0.72\,\mathrm{kJ/(kg\,K)} و R=0.30 kJ/(kg K)R=0.30\,\mathrm{kJ/(kg\,K)} است. در T=360 KT=360\,\mathrm K و v=0.60 m3/kgv=0.60\,\mathrm{m^3/kg}، شیب موضعی حجم در آنتروپی ثابت را بیابید. دیفرانسیل آنتروپی می‌دهد

0=cvTdT+Rvdv,(∂v∂T)s=−cvvRT=−0.0040 m3/(kg K).0=\frac{c_v}{T}dT+\frac{R}{v}dv,\qquad \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_s=-\frac{c_vv}{RT}=-0.0040\,\mathrm{m^3/(kg\,K)}.

چون (∂s/∂v)T=R/v(\partial s/\partial v)_T=R/v، جایگذاری دو مشتق در اتحاد، مقدار زیر را بازمی‌گرداند

−T(∂s∂v)T(∂v∂T)s=−360(0.300.60)(−0.0040)=0.72 kJ/(kg K).-T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_s =-360\left(\frac{0.30}{0.60}\right)(-0.0040) =0.72\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}.

شیب منفی منطقی است: افزایش دما در آنتروپی ثابت با تراکم همراه است. هیچ مسیر فرایند واقعی تعیین نشده بود.

مثال کوچک اگزرژی حرارت (ابداعی). منبعی Q=240 kJQ=240\,\mathrm{kJ} را در TH=600 KT_H=600\,\mathrm K به محیطی در T0=300 KT_0=300\,\mathrm K می‌دهد. معیار برگشت‌پذیر می‌دهد

XQ=240(1−300600)=120 kJ,Q0=QT0TH=120 kJ.X_Q=240\left(1-\frac{300}{600}\right)=120\,\mathrm{kJ},\qquad Q_0=Q\frac{T_0}{T_H}=120\,\mathrm{kJ}.

موتور برگشت‌پذیر این کار را با Sgen=0S_{gen}=0 تولید می‌کند. اگر همان حرارت مستقیماً به منبع محیط هدایت شود، موازنهٔ هدایت قبلی می‌دهد

Sgen=240(1300−1600)=0.40 kJ/K,Xdest=300(0.40)=120 kJ.S_{gen}=240\left(\frac1{300}-\frac1{600}\right)=0.40\,\mathrm{kJ/K},\qquad X_{dest}=300(0.40)=120\,\mathrm{kJ}.

در اینجا تمام اگزرژی حرارت ورودی تخریب می‌شود و کاری به دست نمی‌آید. موازنهٔ انرژی همچنان برقرار است: محیط کل حرارت را دریافت می‌کند. برابری انتقال و تخریب برای این مثال انتقال مستقیم به محیط رخ می‌دهد، نه برای هر فرایند.

مثال کوچک جسم‌های با ظرفیت محدود (ابداعی). فرض کنید CH=2 kJ/KC_H=2\,\mathrm{kJ/K}، CL=1 kJ/KC_L=1\,\mathrm{kJ/K}، TH=600 KT_H=600\,\mathrm K و TL=300 KT_L=300\,\mathrm K. آنگاه

Tf,rev=6002/33001/3=476.22 K,Wmax⁡=2(600−476.22)+(300−476.22)=71.34 kJ.T_{f,rev}=600^{2/3}300^{1/3}=476.22\,\mathrm K,\qquad W_{\max}=2(600-476.22)+(300-476.22)=71.34\,\mathrm{kJ}.

تماس مستقیم Tf,dir=500 KT_{f,dir}=500\,\mathrm K، کار صفر و Sgen,dir=2ln⁡(500/600)+ln⁡(500/300)=0.1462 kJ/KS_{gen,dir}=2\ln(500/600)+\ln(500/300)=0.1462\,\mathrm{kJ/K} می‌دهد. هر دو دمای نهایی میان دماهای اولیه‌اند. کنترل کار برابر 3(500−476.22)=71.34 kJ3(500-476.22)=71.34\,\mathrm{kJ} است؛ ظرفیت ضرب‌در دما یکای انرژی دارد.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

  • فرایند آیزنتروپیک: آدیاباتیک (δQ=0\delta Q=0) و برگشت‌پذیر (Sgen=0S_{gen}=0) ⇒Δs=0\Rightarrow \Delta s = 0. معیار سنجش برای توربین‌ها/کمپرسورها/نازل‌های ایده‌آل (نمونه‌های واقعی آدیاباتیک Δs>0\Delta s > 0 دارند؛ از این رو بازده آیزنتروپیک).

  • سیستم منزوی / جهان: بدون انتقال، بنابراین ΔSiso=Sgen≥0\Delta S_{iso} = S_{gen} \ge 0 — سرخط «آنتروپی همواره افزایش می‌یابد» صرفاً همان موازنه است با حذف جملهٔ انتقال.

  • اختلاط آدیاباتیک (مادهٔ یکسان، فشار pp یکسان): بدون جملهٔ ترکیبی؛ تنها تولید حرارتی باقی می‌ماند، Sgen=∑micpln⁡(Tf/Ti)>0S_{gen} = \sum m_i c_p \ln(T_f/T_i) > 0 هرگاه دماهای ورودی متفاوت باشند (نامساوی AM >> GM مثبت بودن را تضمین می‌کند).

  • آنتروپی اختلاط (گونه‌های متفاوت): یک جملهٔ اضافی S˙gen=−Rˉ∑n˙iln⁡yi>0\dot{S}_{gen} = -\bar{R}\sum \dot{n}_i \ln y_i > 0 حتی در دمای مشترک؛ کمترین برگشت‌ناپذیری نیازمند TT یکسان و ترکیب یکسان است.

  • موتور واقعی با کسری از کارنو: η=f⋅ηCarnot\eta = f\cdot\eta_{Carnot}؛ Q˙H=W˙/η\dot{Q}_H = \dot{W}/\eta را به دست آورید، سپس Q˙L=Q˙H−W˙\dot{Q}_L = \dot{Q}_H - \dot{W}.

  • موتور و یخچال متصل: حرارت‌های دو دستگاه را جداگانه نام‌گذاری و کار مشترک، We=WrW_e=W_r، را حذف کنید تا QL,r/QH,e=ηe COPrQ_{L,r}/Q_{H,e}=\eta_e\,\mathrm{COP}_r به دست آید؛ برگشت‌پذیری برای حدود کارنو لازم است، نه برای این اتحاد اتصال کار.

مخلوط‌ها و جریان‌های واکنش‌دهنده. برای گونهٔ گاز ایدئال از فشار جزئی استفاده کنید: sˉi(T,yip)=sˉi∘(T)−Rˉln⁡(yip/p∘)\bar s_i(T,y_i p)=\bar s_i^\circ(T)-\bar R\ln(y_i p/p^\circ). پیش از جمع‌زدن آنتروپی‌های ورودی و خروجی، مقدار گونه‌ها و واکنش را موازنه کنید؛ ورودی‌های خالص و جداگانه yi=1y_i=1 دارند، ولی محصولات مخلوط عموماً چنین نیستند. جدول آنتروپی استاندارد به‌تنهایی سهم اختلاط را حذف می‌کند. موازنهٔ موجود آنتروپی حجم کنترل و سپس I=T0SgenI=T_0S_{gen} را بر همان مبنای مولی یا جریان به کار ببرید.

کنترل دیفیوزر آدیاباتیک. در جریان پایا بدون کار محور و با تغییر ارتفاع ناچیز، h1+V12/2=h2+V22/2h_1+V_1^2/2=h_2+V_2^2/2 است. با ورودی یکسان و سرعت خروجی ناچیز، خروجی‌های برگشت‌پذیر و برگشت‌ناپذیر آنتالپی برابر و در گاز ایدئال دمای برابر دارند؛ خروجی برگشت‌ناپذیر آنتروپی بیشتر و فشار کمتر دارد. روی نمودار TT–ss در همان ارتفاع و سمت راست قرار می‌گیرد. فشار خروجی مشترکِ تحمیل‌شده یا سرعت خروجی قابل‌توجه، مقایسه را تغییر می‌دهد.

تلهٔ رایج: هرگز تغییر آنتروپی سیستم یعنی ΔSsys\Delta S_{sys} (یک خاصیت حالتی — صفر در هر چرخه، مستقل از مسیر میان دو حالت) را با تولید آنتروپی یعنی SgenS_{gen} (کمیتی وابسته به مسیر/برگشت‌ناپذیری — اکیداً مثبت هرگاه هر مرحله برگشت‌ناپذیر باشد) اشتباه نگیرید. دو مسیر میان حالت‌های یکسان دارای ΔS\Delta S یکسان اما SgenS_{gen} متفاوت‌اند؛ و «کمترین برگشت‌ناپذیری» همواره به معنای راندن Sgen→0S_{gen}\to 0 از طریق حذف هر گرادیان دما، فشار و ترکیب است.

فرمول‌های کلیدی

Clausius inequality
∮δQT≤0\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0

Equality for a reversible cycle; the deficit measures the cycle's total entropy generation.

Entropy (definition)
dS=(δQT)rev,∮dS=0dS = \left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{rev}, \qquad \oint dS = 0

S is a state function; its cyclic integral vanishes regardless of internal irreversibilities.

Entropy balance with generation
S2−S1=∫δQTb+Sgen,Sgen≥0S_2 - S_1 = \int \frac{\delta Q}{T_b} + S_{gen}, \qquad S_{gen} \ge 0

System entropy change = boundary transfer + generation; S_gen = 0 reversible, > 0 irreversible.

Control-volume entropy generation (steady)
S˙gen=∑outm˙ s−∑inm˙ s−∑Q˙Tb≥0\dot{S}_{gen} = \sum_{out}\dot{m}\,s - \sum_{in}\dot{m}\,s - \sum \frac{\dot{Q}}{T_b} \ge 0

Steady-flow form for mixers, turbines, nozzles; irreversibility is I = T_0 S_gen.

Gibbs (T ds) relations
T ds=du+p dv,T ds=dh−v dpT\,ds = du + p\,dv, \qquad T\,ds = dh - v\,dp

Path-independent property relations linking entropy to internal energy and enthalpy.

Ideal-gas entropy change (constant c)
Δs=cpln⁡T2T1−Rln⁡p2p1=cvln⁡T2T1+Rln⁡v2v1\Delta s = c_p \ln\frac{T_2}{T_1} - R\ln\frac{p_2}{p_1} = c_v \ln\frac{T_2}{T_1} + R\ln\frac{v_2}{v_1}

Two equivalent forms; at constant pressure it reduces to c_p ln(T2/T1).

Carnot limits
ηth,max⁡=1−TLTH,COPref,max⁡=TLTH−TL,COPhp,max⁡=THTH−TL\eta_{th,\max} = 1 - \frac{T_L}{T_H}, \qquad \text{COP}_{ref,\max} = \frac{T_L}{T_H - T_L}, \qquad \text{COP}_{hp,\max} = \frac{T_H}{T_H - T_L}

Reversible ceilings between reservoirs T_H, T_L (kelvin); no real device exceeds them.

Heat capacities from entropy
cv=T(∂s∂T)v,cp=T(∂s∂T)pc_v=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v,\qquad c_p=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p
Reciprocal and cyclic derivative rules
(∂x∂y)z=1(∂y/∂x)z,(∂x/∂y)z(∂y/∂z)x(∂z/∂x)y=−1\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z=\frac{1}{(\partial y/\partial x)_z},\qquad (\partial x/\partial y)_z(\partial y/\partial z)_x(\partial z/\partial x)_y=-1
Entropy-coordinate heat capacity
cv=−T(∂s∂v)T(∂v∂T)sc_v=-T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_s
Exergy transferred with heat
XQ=∫(1−T0Tb)δQX_Q=\int\left(1-\frac{T_0}{T_b}\right)\delta Q
Constant-reservoir heat exergy
XQ=Q(1−T0TH)X_Q=Q\left(1-\frac{T_0}{T_H}\right)
Exergy destruction (Gouy–Stodola)
Xdest=T0Sgen,X˙dest=T0S˙genX_{dest}=T_0S_{gen},\qquad \dot X_{dest}=T_0\dot S_{gen}
Finite-body reversible entropy constraint
CHln⁡(Tf/TH)+CLln⁡(Tf/TL)=0C_H\ln(T_f/T_H)+C_L\ln(T_f/T_L)=0
Finite-body weighted geometric mean
Tf,rev=THCH/(CH+CL)TLCL/(CH+CL)T_{f,rev}=T_H^{C_H/(C_H+C_L)}T_L^{C_L/(C_H+C_L)}
Finite-body maximum work
Wmax⁡=CH(TH−Tf,rev)+CL(TL−Tf,rev)W_{\max}=C_H(T_H-T_{f,rev})+C_L(T_L-T_{f,rev})
Direct-contact energy-weighted equilibrium
Tf,dir=CHTH+CLTLCH+CLT_{f,dir}=\frac{C_HT_H+C_LT_L}{C_H+C_L}
Variable-capacity reversible equilibrium
∫THTfCH(T)T dT+∫TLTfCL(T)T dT=0\int_{T_H}^{T_f}\frac{C_H(T)}{T}\,dT+\int_{T_L}^{T_f}\frac{C_L(T)}{T}\,dT=0
Ideal-gas species entropy at partial pressure
sˉi=sˉi∘(T)−Rˉln⁡yipp∘\bar s_i=\bar s_i^\circ(T)-\bar R\ln\frac{y_ip}{p^\circ}
#entropy-balance#finite-reservoirs#reversible-work#exergy#ideal-gas-mixtures#thermodynamic-derivatives

کارت‌های مرتبط

مفهومترمودینامیک
قانون اول: موازنهٔ انرژی سیستم بسته و باز

موازنه‌های انرژی بسته و باز، علامت گرمای پلی‌تروپیک، موجودی مخزن اشباع، پیستون فنردار با محدودکننده و بررسی اختناق و تبخیر ناگهانی هم‌آنتالپی.

first-lawpolytropic-heatsaturated-mixturerigid-tank-discharge

سوالات تمرینی · 8/19

ترمودینامیکمتوسطقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۴۶

دو جرم مساوی از یک گاز ایده‌آل در فشار برابر، ولی در دماهای T_1 و T_2 درون ظرف عایقی مخلوط می‌شوند تا به تعادل برسند. تولید آنتروپی فرایند (بر واحد جرم) چقدر است؟

ترمودینامیکآسانقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۴۸

یک سیکل ترمودینامیکی از دو فرایند عمومی تشکیل شده است. فرایند AB بازگشت‌پذیر بوده و فرایند BA بازگشت‌ناپذیر است. کدام مورد درخصوص این سیکل درست است؟

ترمودینامیکمتوسطقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۴۹

در یک حجم کنترل در یک محفظه، دو جریان ورودی با سرعت و فشار یکسان به‌صورت بی‌دررو مخلوط شده و با یک جریان خروجی یکنواخت از آن خارج می‌شود. کمترین مقدار ممکن برگشت‌ناپذیری در این فرایند اختلاط در چه…

ترمودینامیکآسانقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۵۰

یک نیروگاه از آب داغ یک منبع زیرزمینی با دمای ۱۲۷ درجه سلسیوس برای تولید ۲۰ مگاوات توان استفاده می‌کند. گرما از کندانسور نیروگاه به هوای محیط در ۲۷ درجه سلسیوس دفع می‌شود. بازده حرارتی نیروگاه ۸۰٪…

ترمودینامیکآسانقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۴۶

به‌ترتیب، کدام فرایند، امکان‌پذیر و کدام‌یک، امکان‌ناپذیر است؟ الف ـ افزایش آنتروپی آدیاباتیک ب ـ کاهش آنتروپی آدیاباتیک ج ـ آیزنتروپیک جذب حرارت

ترمودینامیکمتوسطقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۴۹

یک مخترع مدعی است که یک موتور حرارتی ساخته است که با عملکرد بین لایه سطح و کف اقیانوس به‌ترتیب با دمای C°۲۷ و C°۱۰، ۹۹۰۰ کیلوژول در دقیقه گرما با کف اقیانوس تلف می‌نماید و توان ۱۰ کیلووات تولید…

ترمودینامیکآسانقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۵۰

کدام مورد، شیب خط حجم ثابت روی نمودار T-S برای یک گاز ایده‌آل است؟ ( γ = dfrac C_(p_∘) C_(v_∘) )

ترمودینامیکآسانقانون دوم و آنتروپیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۴۶

یک ماشین گرمایی مطابق شکل زیر را در نظر بگیرید. با توجه به مقدار کار و دمای منبع سرد، کدام عبارت درست است؟ در شکل، گرمای Q_in از منبع T_H وارد ماشین می‌شود، کار خروجی W_out=۳/۴Q_in است و گرمای…

همهٔ 19 سؤال →