سوال ۴۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

اهمیت

۰/۵

در یک چرخه برایتون ایده‌آل، دمای ورود هوا به کمپرسور ۳۰۰K و دمای ورود هوا به توربین ۱۴۰۰K است. اگر جذب حرارت در این چرخه ۹۵۰ kJ/kg باشد، بازده چرخه چند درصد است؟ ( $C_{p_\circ} = ۱۰۰۰\ \frac{J}{kg\,K}$ )

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — ۳۳

پاسخ تشریحی

برپاسازی چرخهٔ ایدئال برایتون (استاندارد هوای سرد)

شماره‌گذاری حالت‌ها برای چرخهٔ سادهٔ توربین گاز:

حالت	موقعیت	مقدار
1	ورودی کمپرسور	$T_1 = 300\ \mathrm{K}$
2	خروجی کمپرسور = ورودی محفظهٔ احتراق	نامعلوم
3	ورودی توربین	$T_3 = 1400\ \mathrm{K}$
4	خروجی توربین	نامعلوم

چهار فرایند عبارت‌اند از: $1\to2$ تراکم آیزنتروپیک، $2\to3$ گرمادهی در فشار ثابت، $3\to4$ انبساط آیزنتروپیک و $4\to1$ دفع گرما در فشار ثابت. با گرمای ویژهٔ ثابت $c_p = 1000\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} = 1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ .

گام ۱ — استفاده از گرمای ورودی برای یافتن $T_2$

گرمادهی در فشار ثابت بین حالت‌های ۲ و ۳ رخ می‌دهد؛ بنابراین موازنهٔ انرژی جریان پایا روی محفظهٔ احتراق می‌دهد

q_{\text{in}} = h_3 - h_2 = c_p\left(T_3 - T_2\right)

950 = 1\cdot\left(1400 - T_2\right) \;\Rightarrow\; T_2 = 1400 - 950 = 450\ \mathrm{K}

گام ۲ — استخراج پارامتر نسبت فشار

فرایند $1\to2$ آیزنتروپیک است، پس

\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r_p^{\frac{k-1}{k}} = \frac{450}{300} = 1.5

توجه کنید که هرگز به $k$ یا $r_p$ به‌صورت جداگانه نیاز نداریم — تنها به ترکیب $r_p^{(k-1)/k} = 1.5$ نیاز است.

گام ۳ — بازده حرارتی

برای چرخهٔ ایدئال برایتون،

\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{1}{r_p^{\frac{k-1}{k}}} = 1 - \frac{T_1}{T_2}

\eta_{\text{th}} = 1 - \frac{300}{450} = 1 - 0.6\overline{6} = 0.333 \;\Rightarrow\; \boxed{33\%}

راستی‌آزمایی از اصول اولیه

فرایند $3\to4$ نیز آیزنتروپیک و با همان نسبت فشار است، پس

T_4 = \frac{T_3}{r_p^{\frac{k-1}{k}}} = \frac{1400}{1.5} = 933.3\ \mathrm{K}

q_{\text{out}} = c_p\left(T_4 - T_1\right) = 1\cdot\left(933.3 - 300\right) = 633.3\ \mathrm{kJ/kg}

w_{\text{net}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}} = 950 - 633.3 = 316.7\ \mathrm{kJ/kg}

\eta_{\text{th}} = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = \frac{316.7}{950} = 0.333 = 33\%

هر دو مسیر به یک نتیجه می‌رسند، پس گزینهٔ ۳ درست است.

نکتهٔ کنکوری: بازده برایتون $\eta = 1 - T_1/T_2$ تنها به نسبت دمای کمپرسور بستگی دارد، نه به دمای ورودی توربین. به‌محض اینکه $q_{\text{in}}$ مقدار $T_2$ را در اختیارتان گذاشت، پاسخ در یک خط به دست می‌آید — و $T_3 = 1400\ \mathrm{K}$ فقط برای یافتن $T_2$ به کار می‌رود. رابطهٔ کارنو یعنی $1 - T_1/T_3 = 1 - 300/1400 = 78.6\%$ را به کار نبرید؛ آن کران بالای برگشت‌پذیر میان دو منبع است، نه بازده برایتون (گزینهٔ انحرافی ۸۹ نیز لغزشی مشابه از نوع $1 - 300/2700$ را طعمه قرار می‌دهد).

#brayton-cycle#gas-turbine#thermal-efficiency#isentropic#cold-air-standard#ideal-gas

کارت‌های مرتبط

مفهومترمودینامیک

چرخه‌های توان و تبرید: رانکین، برایتون، اتو، دیزل و چرخهٔ ترکیبی

قوانین چرخه‌های توان و تبرید، روش تحلیل حالت‌به‌حالت و تحلیل اگزرژی، همراه با بازیافت گرما در چرخهٔ ترکیبی، اتلاف دودکش و موازنهٔ احتراق تکمیلی.

combined-cycleheat-recoveryrankine-cyclebrayton-cycle