سوال ۴۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — یک لیوان خالی را به‌صورت وارونه، یک‌بار به‌طور خیلی آهسته و بار دیگر…

Question

یک لیوان خالی را به‌صورت وارونه، یک‌بار به‌طور خیلی آهسته و بار دیگر به‌طور خیلی سریع تا یک ارتفاع مشخص از سطح آب فرو می‌بریم، در کدام حالت، به لیوان نیروی شناوری بزرگ‌تری وارد می‌شود؟ (شکل: مخزنی پر از آب با سطح آزاد در بالا؛ لیوان وارونه — به‌صورت ذوزنقه‌ای که به سمت بالا باریک می‌شود — در عمقی مشخص زیر سطح آب نگه داشته شده است، هوا در قسمت بسته بالای آن محبوس شده و آب از دهانه پایین لیوان بالا آمده است.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — دوم

پاسخ تشریحی

چه چیزی نیروی شناوری را تعیین می‌کند؟

بنا بر اصل ارشمیدس، نیروی شناوری برابر وزن آب جابه‌جاشده است:

F_B = \rho_w\, g\, V_{\text{disp}}, \qquad V_{\text{disp}} = V_{\text{glass material}} + V_{\text{air}}

جداره‌های جامد لیوان صُلب‌اند، پس $V_{\text{glass material}}$ در هر دو حالت فروبردن یکسان است. تنها کمیتی که می‌تواند تفاوت کند، حجم هوای محبوس‌شده زیر لیوان وارونه است. بنابراین مسئله به این پرسش تقلیل می‌یابد: در کدام حالت، هوای محبوس در همان عمق حجم بزرگ‌تری پیدا می‌کند؟

فشار وارد بر هوای محبوس — در هر دو حالت یکسان

در عمق نهایی، سطح مشترک هوا–آب درون لیوان (تقریباً) در همان ارتفاع قرار می‌گیرد، پس فشار مطلق گاز محبوس تنها با هیدرواستاتیک تعیین می‌شود:

p_2 \;\simeq\; p_0 + \rho_w\, g\, h \;>\; p_0

فشار را محلِ قرارگیری لیوان تعیین می‌کند، نه سرعتِ رسیدن به آن محل. بنابراین هر دو فرایند، جرم یکسانی از هوا را از $p_0$ تا فشار نهایی یکسان $p_2$ متراکم می‌کنند — اما در طول مسیرهای متفاوت.

مسیر ۱ — بسیار آهسته: هم‌دما

فرود آهسته به هوا فرصت کافی می‌دهد تا با آب پیرامون، که منبع حرارتی بسیار بزرگی در دمای $T_0$ است، حرارت مبادله کند. تراکم عملاً هم‌دما (ایزوترمال) است، $T_2 = T_0$ ، پس با $pV = mRT$ :

p_0 V_0 = p_2 V_{2,\text{iso}} \;\Rightarrow\; \frac{V_{2,\text{iso}}}{V_0} = \frac{p_0}{p_2}

مسیر ۲ — بسیار سریع: بی‌دررو

فرود سریع فرصتی برای انتقال حرارت باقی نمی‌گذارد ( $Q \to 0$ ): تراکم بی‌دررو (آدیاباتیک) است و با آرمانی‌سازی آن به‌صورت برگشت‌پذیر (ایزنتروپیک) برای گاز کامل با $k = c_p/c_v = 1.4$ :

p_0 V_0^{\,k} = p_2 V_{2,\text{ad}}^{\,k} \;\Rightarrow\; \frac{V_{2,\text{ad}}}{V_0} = \left(\frac{p_0}{p_2}\right)^{1/k}

مقایسهٔ دو حجم

فرض کنید $r = p_0/p_2 < 1$ . چون $1/k = 1/1.4 \approx 0.714 < 1$ است، به توانِ کوچک‌تر از یک رساندن عددی کوچک‌تر از یک، آن را بزرگ‌تر می‌کند:

\frac{V_{2,\text{ad}}}{V_{2,\text{iso}}} = \frac{r^{1/k}}{r} = r^{\,\frac{1-k}{k}} = r^{-0.286} > 1 \qquad\Longrightarrow\qquad V_{2,\text{ad}} > V_{2,\text{iso}}

حس عددی مسئله. در عمق $h \approx 10\ \text{m}$ از آب، $p_2 \approx 2p_0$ است، پس $r = 0.5$ :

فرایند	$V_2/V_0$
آهسته (هم‌دما)	$0.5 = 50\%$
سریع (بی‌دررو)	$0.5^{1/1.4} = 0.61 = 61\%$

فروبردن سریع حدود $22\%$ هوای محبوس بیشتری باقی می‌گذارد و در نتیجه حجم جابه‌جاشدهٔ بزرگ‌تری به همان نسبت ایجاد می‌کند.

تفسیر فیزیکی

در حالت سریع، کار تراکم جایی برای رفتن ندارد و به‌صورت انرژی درونی ذخیره می‌شود: هوا گرم می‌شود، $T_{2,\text{ad}} = T_0\, r^{(1-k)/k} > T_0$ . گاز گرم‌تر در فشار یکسان چگالی کمتری دارد، یعنی حجم بیشتری اشغال می‌کند و در نتیجه آب بیشتری جابه‌جا می‌کند:

F_{B,\text{fast}} = \rho_w g\left(V_{\text{wall}} + V_{2,\text{ad}}\right) \;>\; F_{B,\text{slow}} = \rho_w g\left(V_{\text{wall}} + V_{2,\text{iso}}\right)

(در حالت آهسته همان کار تراکم بی‌سروصدا به‌صورت حرارت به آب داده می‌شود و هوا به دمای آب بازمی‌گردد — یعنی بیشترین کاهش حجم ممکن.)

بررسی گزینه‌های ۳ و ۴

نامساوی $r^{1/k} > r$ برای هر $r < 1$ ، یعنی برای هر عمق $h > 0$ برقرار است، و نسبت $V_{2,\text{ad}}/V_{2,\text{iso}} = r^{-0.286}$ مستقل از $V_0$ است. عمق و حجم اولیهٔ لیوان تعیین می‌کنند که شناوری در حالت سریع چقدر بزرگ‌تر است، اما هرگز تعیین نمی‌کنند که کدام حالت برنده است. پس گزینه‌های ۳ و ۴ نادرست‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۲ (حالت دوم — فروبردن بسیار سریع).

نکتهٔ کنکوری: «بسیار آهسته» در زبان کنکور رمزِ هم‌دما است (فرصت برای به تعادل رسیدن با منبع) و «بسیار سریع» رمزِ بی‌دررو (بدون فرصت برای انتقال حرارت). در تراکم تا فشار یکسان، مسیر بی‌دررو همواره به حجم بزرگ‌تر و دمای بالاتر ختم می‌شود — مسیر هم‌دما شدیدترین فشردگی ممکن است.

Accepted Answer

دوم

Answer

اول

Answer

بستگی به عمق آب دارد.

Answer

بستگی به حجم اولیه لیوان دارد.