سوال ۴۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲

اهمیت

۰/۵

مقداری از یک گاز در یک فرایند دومرحله‌ای متراکم می‌شود. در مرحلهٔ اول فشار گاز طی یک فرایند پلی‌تروپیک $pv^۲=\text{ثابت}$ ، دو برابر می‌شود. در مرحلهٔ دوم تراکم یک فرایند هم‌فشار رخ می‌دهد. اگر فشار گاز در ابتدای فرایند $p$ و حجم مخصوص آن $v$ باشد، برای به‌دست آوردن نسبت تراکم حجمی یک به سه، چه میزان کار باید بر روی واحد جرم ماده کوچک انجام شود؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ D — $\left(\dfrac{۵}{۳}-۲\sqrt{۲}\right)pv$

پاسخ تشریحی

انتگرال‌گیری کار مرزی با رعایت علامت

کار مرزی ویژه را در صورت انجام‌شدن توسط گاز مثبت می‌گیریم. حالت میانی و نهایی عبارت‌اند از:

p_2=2p,\qquad pv^2=2pv_2^2,\qquad v_2=\frac{v}{\sqrt{2}},\qquad v_3=\frac{v}{3}.

فشار مرحلهٔ اول در حجم مخصوص متغیر از قانون پلی‌تروپیک به دست می‌آید. انتگرال آن را با کار هم‌فشار جمع می‌کنیم:

w_{12}=\int_v^{v/\sqrt{2}}\frac{pv^2}{\tilde v^2}\,d\tilde v=pv(1-\sqrt{2}),

w_{23}=2p\left(\frac{v}{3}-\frac{v}{\sqrt{2}}\right)=pv\left(\frac{2}{3}-\sqrt{2}\right),

w_{\mathrm{by}}=w_{12}+w_{23}=\left(\frac{5}{3}-2\sqrt{2}\right)pv\approx-1.162\,pv.

این نتیجه گزینهٔ ۴ و کار مرزی علامت‌دارِ درج‌شده در آزمون است. به‌طور دقیق، کار ورودی به گاز مثبت و برابر قرینهٔ این مقدار است؛ این مقدار مثبت در گزینه‌ها وجود ندارد. هر دو مرحله تراکمی‌اند، بنابراین با قرارداد علامت گزینه‌ها، هر دو سهم کار باید منفی باشند.

w_{\mathrm{on}}=-w_{\mathrm{by}}=\left(2\sqrt{2}-\frac{5}{3}\right)pv,\qquad [pv]=\mathrm{J\,kg^{-1}}.

تلهٔ رایج: کار علامت‌دارِ انجام‌شده توسط گاز را از کار ورودی مثبتِ لازم برای تراکم تفکیک کنید.

#boundary-work#polytropic-compression#constant-pressure#sign-convention

کارت‌های مرتبط

مفهومترمودینامیک

قانون اول: موازنهٔ انرژی سیستم بسته و باز

موازنه‌های انرژی بسته و باز، علامت گرمای پلی‌تروپیک، موجودی مخزن اشباع، پیستون فنردار با محدودکننده و بررسی اختناق و تبخیر ناگهانی هم‌آنتالپی.

first-lawpolytropic-heatsaturated-mixturerigid-tank-discharge