سوال ۵۱ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۰

مدل و موازنهٔ کار

مدل متعارفِ بیشینهٔ کار را به کار ببرید: دو جسم با ظرفیت محدود و یک موتور گرمایی چرخه‌ای، دستگاهی تشکیل می‌دهند که از نظر تبادل حرارت با محیط عایق است. ظرفیت گرمایی کل هر جسم برابر مقدار ثابت $C$ است و همهٔ دماها مطلق‌اند. موتور به حالت اولیهٔ خود بازمی‌گردد، پس تغییرات خالص انرژی و آنتروپی آن صفر است.

کار تحویلی $W$ را مثبت بگیرید. چون دستگاه مرکب با محیط گرما مبادله نمی‌کند، کاهش انرژی آن برابر کار خروجی است:

بنابراین برای بیشینه‌کردن کار، کمترین دمای نهایی مجاز طبق قانون دوم لازم است.

اعمال کران آنتروپی

تغییر آنتروپی دستگاه مرکب برابر تولید آنتروپی نامنفی آن است:

نتیجه می‌شود $T_f\ge2T_L$. در حد برگشت‌پذیر، با استفاده از موتوری ایدئال میان منابعی که دمایشان به‌تدریج تغییر می‌کند، برابری قابل‌دستیابی است. پس

پاسخ موردنظر گزینهٔ ۳ است. هر تولید آنتروپی، $T_f$ را افزایش می‌دهد و کار استخراج‌شده را کاهش می‌دهد.

بررسی نتیجه و هر گزینهٔ دیگر

دمای نهایی بین دماهای اولیه قرار دارد. بیشینهٔ کار برابر $W_{\max}=CT_L>0$ است؛ چون $C$ واحد $\mathrm{J/K}$ دارد، واحد این حاصل انرژی است.

• گزینهٔ ۱: مقدار $\sqrt{2}T_L$ به $S_{\mathrm{gen}}=C\ln(1/2)<0$ می‌انجامد و قانون دوم را برای دستگاه مرکب عایق نقض می‌کند.
• گزینهٔ ۲: عبارت چاپی $2\sqrt{T_L}$ واحد جذر دما دارد، نه دما.
• گزینهٔ ۴: مقدار $2.5T_L$ دمای میانگین حسابیِ حاصل از تماس مستقیم حرارتی بدون استخراج کار است؛ جای‌گذاری آن می‌دهد $W=0$.

Note / توجه: صورت سؤال «توان ماکزیمم» می‌گوید، اما زمان یا مدلی برای نرخ انتقال حرارت نمی‌دهد؛ کمیت موردنظر بیشینهٔ کار قابل‌استخراج است که گزینهٔ ۳ کلید را می‌دهد.

نکتهٔ کنکوری: ظرفیت‌های گرمایی محدود، ثابت و مساوی برای استخراج برگشت‌پذیر کار میانگین هندسی می‌دهند و برای رسیدن به تعادل بدون کار میانگین حسابی.