سوال ۴۱ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴ — ۴۰ طریق.

مدل مسئله

مهره‌ها شماره‌گذاری شده (numbered) هستند، پس هر شش مهره **قابل تمایز (distinguishable)**‌اند، و عبارت «مهرهٔ سوم سیاه باشد» یک شرط را به یک جایگاه در برداشت گره می‌زند؛ بنابراین شمارش روی برداشت‌های مرتب بدون جای‌گذاری (جایگشت / permutation) انجام می‌شود، نه روی زیرمجموعه‌ها.

راه تمیز آن است که ابتدا جایگاه مقیدشده را پر کنیم:

گزینهٔ ۴.

بررسی ۱ — تفکیک حالت‌ها بر پایهٔ رنگ دو مهرهٔ نخست

بررسی ۲ — تقارن

همهٔ برداشت‌های مرتب سه مهره: $P(6,3)=6\times 5\times 4 = 120$. بنا بر تقارن، شانس قرار گرفتن هر مهره در جایگاه سوم یکسان است، پس در کسری برابر $\tfrac{2}{6}=\tfrac13$ از آن‌ها یک مهرهٔ سیاه در آن جایگاه می‌نشیند:

سه مسیر مستقل، همگی بر ۴۰ توافق دارند.

تلهٔ رایج: هر گزینهٔ انحرافی، حاصل یک خطای مشخص و قابل نام‌گذاری است.

• ۲۰ = $\binom{6}{3}$ (هم‌ارز با $\binom{2}{1}\binom{5}{2}=20$) — شمارش انتخاب‌های نامرتب و نادیده گرفتن اینکه صورت مسئله یک جایگاه را تثبیت کرده است؛ «مهرهٔ سوم» برداشت را مرتب می‌کند.
• ۲۴ = $4\times 3\times 2$ — نگه داشتن تنها حالت سفید-سفید-سیاه و فراموش کردن اینکه مهرهٔ دوم خودش هم می‌تواند سیاه باشد (مهرهٔ سیاه دیگر همچنان برای جایگاه سوم در دسترس است).
• ۳۶ = $\binom{4}{2}\binom{2}{1}\times 3 = 6\times 2\times 3$ — انتخاب مجموعهٔ $\{2\text{ white},1\text{ black}\}$ و سپس اجازه دادن به مهرهٔ سیاه که در هر یک از سه جایگاه بنشیند، به جای تثبیت آن در جایگاه سوم (و باز هم حذف حالت‌های دو-سیاه).
• ۴۰ — تنها شمارشی که هم ترتیب را رعایت می‌کند و هم حضور یک مهرهٔ سیاه در دو برداشت نخست را می‌پذیرد.